Forme bilineari simmetriche

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1 Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3 ) = b(v 1, v 3 ) + b(v 2, v 3 ), t R v 1, v 2 V b(tv 1, v 2 ) = tb(v 1, v 2 ), v 1, v 2, v 3 V b(v 1, v 2 + v 3 ) = b(v 1, v 2 ) + b(v 1, v 3 ), t R v 1, v 2 V b(v 1, tv 2 ) = tb(v 1, v 2 ) Equivalentemente, per ogni v V, b(, v) e b(v, ) sono forme lineari su V In generale, b(t 1 v 1 +t 2 v 2, t 3 v 3 +t 4 v 4 ) = t 1 t 3 b(v 1, v 3 )+t 1 t 4 b(v 1, v 4 )+t 2 t 3 b(v 2, v 3 )+t 2 t 4 b(v 2, v 4 ) Sia A = (a i j ) una matrice n n Possiamo definire una forma bilineare b A su R n nel modo seguente: per ogni coppia di vettori x, y di R n, pensati come vettori colonna poniamo cioè x = x 1 x n y = b A (x, y) = x T Ay, y 1 y n, a 1 1 a 1 n ( ) x1 x n a n 1 a n n Consideriamo la base canonica (e 1,, e n ) di R n, osserviamo che, per ogni i, j, b A (e i, e j ) = a i j In generale, sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n e sia b una forma bilineare su V Data B = (v 1,, v n ) una base di V, definiamo la matrice associata alla forma bilineare b rispetto alla base B M B (b) = (m i j ), matrice n n ottenuta ponendo per ogni i, j m i j = b(v i, v j ) y 1 y n 1

2 Cioè M B (b) = b(v 1, v 1 ) b(v 1, v n ) b(v n, v 1 ) b(v n, v n ) Per ogni coppia di vettori v, v in V, abbiamo b(v, v ) = (v B ) T M B (b)v B, dove v B è il vettore colonna delle coordinate di v rispetto alla base B Fissata una base B, l applicazione che a ogni forma bilineare b su V associa la matrice M B (b) è biettiva (in effetti è un isomorfismo di spazi vettoriali) Date due basi B 1 e B 2 di V, consideriamo la matrice di cambiamento di base M B1,B 2 (id V ) Per ogni forma bilineare b su V abbiamo M B2 (b) = (M B1,B 2 (id V )) T M B1 (b)m B1,B 2 (id V ) Infatti, (v B2 ) T (M B1,B 2 (id V )) T M B1 (b)m B1,B 2 (id V )v B 2 = = ( M B1,B 2 (id V )v B2 ) T MB1 (b)m B1,B 2 (id V )v B 2 = (v B1 ) T M B1 (b)v B 1 Due matrici A e B n n si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile M tale che A = M T BM Due matrici n n rappresentano la stessa forma bilineare (rispetto a due basi eventualmente distinte) se e solo se sono congruenti Esercizio Consideriamo A = e definiamo b(x, y) = x T Ay Abbiamo A = M E (b) Consideriamo un altra base di R B = ( 0, 1, 1 ) Scrivere la matrice M B (b) Definizione 2 Una forma bilineare b su V si dice simmetrica se per ogni v 1, v 2 in V b(v 1, v 2 ) = b(v 2, v 1 ) 2

3 Una forma bilineare b su V è simmetrica se e solo se la sua matrice associata rispetto a una qualsiasi base B è una matrice simmetrica, cioè (M B (b)) T = M B (b) D ora in avanti consideriamo solo forme bilineari simmetriche Sia b una forma bilineare simmetrica fissata Due vettori v 1, v 2 si dicono ortogonali se b(v 1, v 2 ) = 0, si scrive anche v 1 v 2 Un vettore v si dice isotropo se b(v, v) = 0 Per ogni sottoinsieme U di V, l ortogonale è un sottospazio vettoriale di V Abbiamo Il radicale di b è U = {v V b(v, u) = 0 u U} U 1 U 2 U 1 U 2 (U 1 + U 2 ) = U 1 U 2 (U 1 U 2 ) = U 1 + U 2 V = {v V b(v, w) = 0 w V } Definizione 3 La forma bilineare simmetrica b si dice non degenere se il suo radicale V è zero Si dice definita positiva se b(v, v) > 0 per ogni v 0 Una forma bilineare simmetrica definita positiva è necessariamente nondegenere La forma bilineare simmetrica b è non-degenere se e solo se la matrice associata a b rispetto a una qualsiasi base di V è di rango massimo Infatti, fissato v V, b(v, ) è una forma lineare su V, e v V se e solo se b(v, ) è la forma lineare nulla La matrice associata all applicazione lineare b(v, ): V R rispetto alla base B (e alla base canonica in R) è uguale al vettore riga (v B ) T M B (b), quindi v V se e solo se tale vettore riga è zero, ovvero (trasponendo) se e solo se il vettore colonna M B (b)v B è zero, ovvero il vettore colonna v B appartiene a un sottospazio di R n di dimensione dim V rg(m B (b)) Teorema 1 (Teorema di Sylvester) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n, sia b una forma bilineare simmetrica su V Allora esiste una base B 3

4 di V tale che la matrice associata alla forma bilineare b rispetto alla base B è della forma a blocchi I p I q con p 0, q 0 e p + q n, dove p e q non dipendono dalla base B scelta, ma solo dalla forma bilineare b Attenzione, precisiamo che i blocchi sulla diagonale della matrice dell enunciato del Teorema di Sylvester sono rispettivamente della forma p p, q q e (n p q) (n p q), ma qualcuno di questi interi p, q, n p q può anche essere zero, quindi qualcuno di questi blocchi può anche non comparire Ad esempio, se p = n (quindi q = 0) la matrice diventa semplicemente I n La coppia di tali numeri naturali (p, q) si chiama segnatura della forma bilineare simmetrica b La forma bilineare simmetrica di segnatura (p, q) è non-degenere se e solo se p + q = n, ed è definita positiva se e solo se p = n Dimostrazione Prima di tutto dimostriamo che per ogni spazio vettoriale V di dimensione finita e per ogni forma bilineare simmetrica b su V esiste una base B di V rispetto alla quale la matrice associata a b sia diagonale Procediamo per induzione sulla dimensione n di V Se n = 1 è banale Supponiamo che sia vero per ogni spazio vettoriale di dimensione n 1, e consideriamo V di dimensione n con b forma bilineare simmetrica Se b è identicamente nulla allora tutte le basi di V vanno bene Supponiamo che b non sia identicamente nulla, prendiamo un vettore v 1 non isotropo Questo è sempre possibile infatti poiché b non è identicamente nulla esistono u 1, u 2 V tali che b(u 1, u 2 ) 0, ma se u 1 e u 2 sono entrambi isotropi, allora u 1 +u 2 non è isotropo: b(u 1 + u 2, u 1 + u 2 ) = b(u 1, u 1 ) + b(u 2, u 2 ) + 2b(u 1, u 2 ) = 2b(u 1, u 2 ) 0 Consideriamo {v 1 }, esso ha dimensione n 1, infatti coincide con Ker ( b(v 1, ) ) e per costruzione b(v 1, ) è una forma lineare non nulla su V Inoltre v 1 {v 1 } La restrizione di b a {v 1 } è una forma bilineare simmetrica, diciamo b, quindi per ipotesi induttiva esiste una base B = (v 2,, v n ) di {v 1 } rispetto alla quale la matrice associata a b è diagonale Ora (v 1, v 2,, v n ) è una base di V rispetto alla quale la matrice associata a b è della forma a blocchi ( b(v1, v 1 ) 0 0 M B (b ) Sia quindi B = (v 1,, v n ) una base rispetto alla quale la matrice associata a b è diagonale Gli elementi sulla diagonale sono ) m 1 1 = b(v 1, v 1 ),, m n n = b(v n, v n ) 4

5 Eventualmente riordinando i vettori della base possiamo supporre che i primi p elementi siano > 0, i successivi q siano < 0 e i restanti = 0 (per qualche p e q) Possiamo quindi riscalare i vettori della base nel modo seguente, v 1 (,, m1 1 v p mp p, ottenendo la matrice desiderata v p+1 mp+1 p+1,, v p+q mp+q p+q, v p+q+1,, v n ), Rimane da dimostrare che gli interi p e q non dipendono dalla base scelta La loro somma è uguale al rango della matrice quindi non dipende dalla base Mostriamo che p non dipende dalla base scelta, perché è la dimensione massima di un sottospazio vettoriale di V su cui la restrizione di b sia definita positiva Sia W un sottospazio di V su cui la restrizione di b è definita positiva Se dim W fosse > p, intersecando con W = Span{v p+1,, v n }, per la Formula di Grassmann avremmo dim(w W ) = dim W + dim W dim(w + W ) > p + (n p) n = 0, cioè che è impossibile W Span{v p+1,, v n } {0} Esercizio A = Trovare una matrice invertibile M tale che M T AM sia della forma prescritta dal Teorema di Sylvester (Si procede ricorsivamente come nella dimostrazione: se la forma è non nulla si trova un vettore non isotropo e ci si restringe al sottospazio ortogonale, e poi si ricomincia da capo fino a che non si arriva al sottospazio zero o a un sottospazio su cui la forma bilineare sia nulla) 5