Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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1 Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Michel Lavrauw Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Università di Padova Lezione 19

2 Capitolo 8-1. Rango di una matrice Il rango di A M(m n, K) è la dimensione del sottospazio di K m = M(m 1, K) generato dalle colonne di A. Notazione rk(a) = dim A 1, A 2,..., A n, con A j la j-esima colonna di A. Osservazione Sia F A : K n K m l applicazione associata ad A. Allora rk(a) = dim(imf A ). rka min{m, n}. Proposizione (1.3) Per ogni A M(m n, K), rka è uguale alla dimensione del sottospazio di M(1 n, K) generato dalle righe di A.

3 Capitolo 8-1. Rango di una matrice Teorema (1.4) (i) A M(m n, K) e B M(n p, K): rk(ab) rk(a), e rk(ab) rkb, (ii) A M(m n, K), B M(m m, K) e C M(n n, K): rk(ba) = rk(a) = rk(ac). (iii) L Hom(V, W ): rka B L B = dim(iml). (iv) Una matrice A M(n n, K) è invertibile rka = n.

4 Capitolo 8-2. Sistemi lineari: teoria Un sistema lineare (SL) di m equizioni in n incognite a coefficienti nel campo K ha la seguente forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, dove a ij, b i K, per i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. A = (a ij ) M(m n, K): matrice incompleta del SL. X = B = x 1. x n b 1. b n : colonna delle incognite. : colonna dei termini noti. C = (A B) M(m (n + 1), K): matrice completa del SL.

5 Capitolo 8-2. Sistemi lineari: teoria Modi equivalenti per esprimere un SL: Equazione vettoriale: x 1 A 1 + x 2 A x n A n = B Equazione matriciale AX = B Se B = 0 m 1, il SL viene detto SL omogeneo. Se esiste almeno una soluzione: SL compatibile, i.e. X 0 K n : AX 0 = B. Dato un SL AX = B, il SL AX = 0 m 1, si chiama SL omogeneo associato ad AX = B.

6 Capitolo 8-2. Sistemi lineari: teoria Sia W l insieme delle soluzioni del SL AX = 0. Considera F A Hom(K n, K m ) : X AX. W = kerf A, in particolare W è un sottospazio di K n. W : spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema AX = B. Sia V uno spazio vettoriale. Per u V e W sottospazio di V, la varietà lineare è l insieme di vettori: u + W = {u + w : w W }. Teorema (2.4) Soluzioni del SL AX = B è la varietà v 0 + W, dove Av 0 = B e W è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

7 Capitolo 8-3. Il teorema di Rouché-Capelli Considera SL AX = B, con soluzioni la varietà v 0 + W. Abbiamo: dimw = n rka. Teorema (Rouché-Capelli) Un SL AX = B è compatibile rka = rk(a B). Equivalente: Un SL AX = B è compatibile, se e solo se il rango della sua matrice incompleta (A) è uguale al rango della sua matrice completa (A B).

8 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K), con righe: A 1, A 2,..., A m e colonne A 1, A 2,..., A n. y 1 y 2 Sia X = (x 1 x 2... x m ) e Y =. Allora abbiamo. y n AY = A 1 y 1 + A 2 y A n y n CL delle colonne di A XA = x 1 A 1 + x 2 A x 3 A 3 CL delle righe di A Esercizio Se B M(m n, K), allora il prodotto AB è una matrice dove le colonne di AB sono CL delle colonne A. le righe di AB sono CL delle righe di B;

9 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K). Le operazioni elementari sulle righe: (i) Moltiplicare una riga per uno scalare r 0. (ii) Sommare ad una riga un altra riga moltiplicata per uno scalare r qualsiasi. (iii) Scambiare due righe.

10 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Proposizione Le operazioni elementari sulle righe di A non cambiano (a) il sottospazio generato dalle righe di A (b) il rango di A (c) le soluzioni del SL (nel caso che A = (A B ) sia la matrice completa di un SL). Due SL con lo stesso insieme di soluzioni SL equivalenti. Un operazione lineare sulla matrice completa, un SL si trasforma in un sistema equivalente.

11 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K). Le operazioni elementari sulle righe: (i) Moltiplicare una riga per uno scalare r 0: A H ii (r)a (ii) Sommare ad una riga un altra riga moltiplicata per uno scalare r qualsiasi: A H ij ra (iii) Scambiare due righe: A H ij A (i j). con (sia I = (e kl ) la matrice identica di ordine m) H ii (r)= (h kl ), con h ii = r, e h kl = e kl per (k, l) (i, i). H ij (r)= (h kl ), con h ij = r, e h kl = e kl per (k, l) (i, j). H ij : ottenuta da I m scambiandone i-esima e j-esima riga.

12 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K). Il pivot di una riga A i : primo elemento 0 di A i. Una matrice a scala: una matrice dove il pivot della riga A j+1 sta più a destra del pivot di A i. Esempio Una matrice a scala: M = con pivot 1, 5, 6 Proposizione Con operazioni elementari sulle righe di tipe (ii) or (iii) è possibile trasformare ogni matrice in una matrice a scala.

13 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Esempio Trasformare in matrice a scala la matrice A = Proposizione In una matrice a scala, le righe non nulle sono LI. per trovare il rango di una matrice, conviene trasformarla in una matrice a scala.

14 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. Esempio Base di W = (0, 1, 0, 1), (2, 0, 0, 3), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 3)

15 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. 2. Decidere se i vettori v 1,..., v r sono LI. Esempio Decidere se la famiglia F = (0, 1, 0, 1), (2, 0, 0, 3), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 3) è LI.

16 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. 2. Decidere se i vettori v 1,..., v r sono LI. 3. Risolvere un sistema lineare Esempio Trovare le soluzioni del SL: x + y z = 0 2x y + z = 3 x 2y + 2z = 3

17 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. 2. Decidere se i vettori v 1,..., v r sono LI. 3. Risolvere un sistema lineare. 4. Decidere se un vettore u v 1, v 2,..., v n Esempio Decidere se u = (0, 0, 5, 4) (1, 0, 1, 2), (0, 1, 3, 1), (1, 2, 0, 0).

18 Capitolo 8-5. Applicazioni Esercizi 1. Trasformare in matrice a scala la matrice A = Risolvere il sistema lineare x + 2y z = 3 2x + 4y + z + t = 0 3x + 6y + t = 3 5x + 10y 2z + t = 9