1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo.

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1 Geometria Lingotto LeLing: Sistemi lineari non-omogenei Ārgomenti svolti: Sistemi lineari non-omogenei Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei Scrittura della soluzione generale Soluzione generale = soluzioni del sistema omogeneo associato + soluzione particolare Interpretazione geometrica delle soluzioni Ēsercizi consigliati: Geoling, Geoling 5 Definizione di sistema lineare non-omogeneo Un sistema di equazioni della forma: S = a x + a a n x n = b a 2 x + a a 2 n x n = b 2 a x + a a n x n = b a m x + a m a m n x n = b m dove almeno uno dei b j e non nullo si chiama sistema d equazioni lineari nonomogeneo con n incognite ed m equazioni Notare che la colonna nulla = non e mai soluzione di un sistema non- omogeneo Esempio Ecco due esempi: A = { x y = x + y = B = { x + x 4 = x 5 x 6 = 2 E facile ricordare il sistema tramite la matrice completa : Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing Geometria

2 Geometria Lingotto a a 2 a n a 2 a 2 2 a 2 n a a 2 a n a m a m 2 a m n b b 2 b b m La matrice seguente A si chiama matrice dei coefficienti: e la colonna B = b b 2 b b m a a 2 a n a 2 a 2 2 a 2 n a a 2 a n a m a m 2 a m n si chiama colonna dei termini noti La notazione (A B si usa per denotare la matrice completa di un sistema nonomogeneo dove A e la matrice dei coefficienti e B la colonna dei termini noti Esempio 2 Ecco le due matrici complete corrispondenti agli esempi precedenti: ( ( Notare il collegamento tra la incognita x e la prima colonna della matrice A, tra la incognita e la seconda colonna della matrice A, etc Inoltre notare il collegamento tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A Osservazione Si deve fare molta attenzione nel passagio{ dal sistema alla matrice per evitare errori gravi Ad esempio la matrice del sistema non e x + y = ( y + x = Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing 2 Geometria

3 Concetto di soluzione Geometria Lingotto Concetto di soluzione La differenza piu importante tra i sistemi omogenei e i sistemi non omogenei e quella della esistenza di almeno una soluzione (la colonna nulla non e mai soluzione di un sistema non omogeneo per definizione!! Cioe i sistemi non omogenei possono non averne soluzioni Ecco un esempio abbastanza semplice di sistema senza soluzioni: I = { x = x = Si tratta dunque di un sistema di equazione ( con incognita chiaramente senza soluzioni Ecco la matrice di questo sistema: Definizione 4 Un sistema lineare si chiama incompatibile se non ammette nessuna soluzione Altrimenti il sistema si chiama compatibile o risolubile Piu avanti si risolvera il problema di decidere quando un sistema e compatibile e quando non lo e Come per i sistemi omogenei durante questo corso per soluzione di un sistema S si intende una colonna R = (r i tale che, se il numero r i si sostituisce all incognita x i, tutte le equazioni di S sono soddisfatte Dunque le soluzioni si scrivono come colonne 2 Sistemi equivalenti e operazioni elementari Come con i sistemi omogenei due sistemi S e S si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni Le operazioni elementari OPE, OPE2 e OPE si possono usare per produrre dei sistemi equivalenti iniziando da un sistema dato Come nel caso omogeneo si lavora sulla matrice del sistema Cosí, usando le operazioni elementari possiamo cercare di ottenere un sistema facile da risolvere o gia risolto in modo analogo al caso omogeneo Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing Geometria

4 Il metodo di Gauss-Jordan Geometria Lingotto Il metodo di Gauss-Jordan Il metodo di Gauss-Jordan si puo adattare per risolvere i sistemi non-omogenei Semplicemente si opera sulla matrice completa come se si tratasse di un sistema omogeneo con l unica differenza di terminare la tappa di Gauss limitandosi alla matrice dei coefficienti A Esempio 5 Ecco come si risolve il sistema la cui matrice completa e Allora ( R 2 R = ( 2 ( R 2 /2 = Qui termina la tappa Gauss e inizia la tappa Jordan Dunque ( /2 R +R 2 = ( /2 /2 ( /2 ( Finita la tappa Jordan risulta x = /2 e y = /2, cioe la soluzione e la colonna /2 /2 Notare che la sbarra che separa la matrice dei coefficenti con la colonna dei termini noti serve come indicatore per finire la tappa di Gauss Puo capitare che si abbia bisogno di risolvere un sistema per diversi termini noti In questo caso si possono aggiungere le colonne dei termini noti una dietro l altra dopo la sbarra e cosí risolvere contemporaneamente i sistemi Ecco un esempio: Esempio 6 I sistemi { x + x 4 + x 5 = x 5 x 6 = { x + x 4 + x 5 = 4 x 5 x 6 = 7 hanno la stessa matrice dei coefficenti Dunque possiamo risolverli contemporaneamente tramite la matrice: ( ( / / Facendo R / risulta 4 7 / 4/ 7 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing 4 Geometria

5 4 Soluzione generale = soluzioni dell omogeneo + soluzione Geometria particolare Lingotto Cosa che termina la tappa di Gauss Facendo R R 2 si ottiene ( / / 4/ 7/ 7 cosa che termina la tappa di Jordan Ecco i sistemi equivalenti ottenuti: { x / + /x 4 + x 6 = 4/ x 5 x 6 = { x / + /x 4 + x 6 = 7/ x 5 x 6 = 7 Dunque tutte le soluzioni si trovano assegnando a, x, x 4, x 6 qualsiasi valore e x 4 x ricavando i valori di x, x 5 tramite il sistema, cioe x x 4 per il primo x 6 x 6 x 4 x 6 7 sistema e x x 4 per il secondo x x 6 4 Soluzione generale = soluzioni dell omogeneo + soluzione particolare Come abbiamo visto le soluzioni del sistema { x + x 4 + x 5 = x 5 x 6 = sono Questa colonna soluzione si puo scrivere come la somma di due colonne, cioe x 4 4 x 6 x x 4 + x 6 x 6 x 4 x x x 4 x 6 x 6 Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing 5 Geometria

6 4 Soluzione generale = soluzioni dell omogeneo + soluzione Geometria particolare Lingotto dove la prima colonna coinvolge i parametri o incognite libere e invece la seconda colonna non dipende delle incognite Questa seconda colonna si chiama soluzione particolare Dato un sistema non-omogeneo S la cui matrice completa e (A B le si associa un sistema omogeneo nel seguente modo: semplicemente si prende la matrice A dei coefficienti come la matrice di un sistema omogeneo Teorema 7 Sia S un sistema non omogenea e sia (A B la sua matrice completa Sia X una soluzione del sistema S Allora tutte le soluzioni del sistema S si possono esprimere come : X + Y dove Y e soluzione del sistema omogeneo associato Dunque se conosciamo in anticipo una soluzione di un sistema non omogeneo allora per trovare tutte le soluzione basta risolvere il sistema omogeneo associato Esempio 8 La colonna 2 e soluzione del sistema non omogeneo S = { x + y + z = 6 2x y z = 9 Allora tutte le soluzioni di S si scriveno come: { x + y + z = 2x y z = 2 + x y z con Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing 6 Geometria

7 5 Interpretazione geometrica Geometria Lingotto 5 Interpretazione geometrica Una equazione lineare ax = b rappresenta il punto x = b a della retta se a Esempio 9 Il sistema { x = x =, cioe un punto della retta ha come soluzione Di modo analogo una equazione lineare ax + by = c con due incognite x, y rappresenta una retta del piano se almeno a o b Esempio Il sistema { x + 2y = una retta del piano ha come soluzione Dunque ciascuna equazione di un sistema con due incognite si puo interpretare geometricamente come una retta del piano Se queste rette si incontrano in un punto allora il sistema e compatibile altrimenti il sistema e incompatibile ( 2 { y x = y + 2x = 4 e ( x y La soluzione del sistema, cioe il punto d intersezione tra le due rette = Ecco { la rappresentazione geometrica del sistema incompatible Le due rette sono parallele, quindi non y x = y x = si incontrano mai Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing 7 Geometria

8 5 Interpretazione geometrica Geometria Lingotto Invece una equazione come x + y + z =, con tre incognite, rappresenta un piano dello spazio Ecco il sistema incompatibile { z = z =, cioe senza soluzioni: Infine ecco la retta soluzione d un sistema compatible, cioe come intersezione di due piani dello spazio: Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing 8 Geometria