MATEMATICA II (Durante) Aversa, Marzo 2001., B = , e D = Si calcoli il rango delle matrici A, B, C, D.

Transcript

1 MATEMATICA II (Durante) Aversa, Marzo COGNOME NOME MATRICOLA Dati i tre vettori u, v e w di R 3, si dica se essi sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. (i) u = (1, 1, 0), v = (2, 1, 1), w = (1, 1, 1). (ii) u = (1, 5, 5), v = (0, 0, 1), w = (5, 5, 1). (iii) u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), w = (1, 1, 0). 2. Siano date le matrici A = , B = C = , e D = Si calcoli il rango delle matrici A, B, C, D. Inoltre: , (a) L insieme M 2 (R) delle matrici quadrate di ordine 2 ad elementi reali costituisce uno spazio vettoriale? Se se qual e la sua dimensione? Data la matrice A = , si consideri il sistema AX = B, ove X = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) t e B = (1, 1, 1, 1, 1, 1) (i) Determinare tutte le sue soluzioni. (ii) Tali soluzioni formano un sottospazio di R 6? 4. Si riduca in forma a gradini e si calcoli il rango della seguente matrice A = Si consideri poi il sistema AX = 0, ove X = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ) t. 1

2 (i) Quante soluzioni ha il sistema AX = 0? Si determinino tutte le sue soluzioni. (ii) E il sistema AX = B con B = (1, 2, 0, 0, 0, 0) t quante soluzioni ha? Si determinino tutte le sue soluzioni. 5. ( ) 5 0 (i) Si dica quale delle seguenti matrici è invertibile: A =, 1 3 ( ) 1 2 A =, B = , e C = (ii) Per quelle invertibili si calcoli la matrice inversa (i) Si dica per quali valori del parametro reale k la matrice A k è invertibile. Per tali valori di k si calcoli la matrice A 1 k. A = 1 2 k 1 0 k (ii) Si discuta inoltre il sistema parametrico A k X = 0 con X = (x, y, z) t (i) Si studi la diagonalizzabilità delle seguenti matrici: A = ( ) ( ) , B =, C = (ii) Per le matrici M diagonalizzabili (tra A, B, C) si calcoli poi la matrice D diagonale e la matrice P invertibile tale che D = P 1 MP. 8. Fissato nel piano un riferimento cartesiano monometrico ortogonale si consideri la retta r ed il punto P rappresentati da: r : x y + 1 = 0, P (1, 0) (i) Si determini un equazione per la retta s passante per P ed parallela ad r ed un equazione per la retta s passante per P ed ortogonale ad r. (ii) Si dica se C : x 2 + y 2 2x 4y 5 = 0 rappresenta una circonferenza. In caso affermativo si determini centro e raggio. Dato il punto C(3, 7) e il raggio R = 4 si determini un equazione per la circonferenza di centro C e raggio R e si dica se la retta r del punto (i) e esterna, tangente o secante. 2

3 9. Fissato nello spazio un riferimento cartesiano momometrico ortogonale si considerino il piano π ed il punto P rappresentati da: π : x y + z 3 = 0, P (1, 1, 1), e la retta r ottenuta come intersezione dei piani α e β rappresentati da: α : x y + 3 = 0, β : z = 1. (i) Si determini un equazione per la retta s passante per P ed ortogonale a π ed un equazione per il piano π passante per P e parallelo a π. Si determinino inoltre le coordinate del punto di intersezione tra la retta s ed il piano π. 10. Fissato nello spazio un riferimento cartesiano momometrico ortogonale si considerino il punto P (1, 0, 0) e la retta r ottenuta come intersezione dei piani α e β rappresentati da: α : x y + 3z = 0, β : x + y z = 0. e la retta r passante per il punto P (1, 2, 0) ed avente una terna di numeri direttori data da: (1, 1, 2) (i) Si determinino un equazione per la retta r ed un equazione per la retta r e si dica se r ed r sono complanari. In caso affermativo si determini inoltre un equazione per il piano π contenente le rette r ed r. (ii) Si determini un equazione per la retta passante per P e parallela ad r ed un equazione per la retta passante per P e parallela ad r. ****************************************************************************************** Si dimostrino le seguenti affermazioni: i Se un insieme S di vettori contiene il vettore nullo allora S e linearmente indipendente. (Vale anche il viceversa?) ii Sia S = {v 1, v 2,..., v h } un insieme di h vettori. S e linearmente dipendente se e solo se uno dei vettori dipende dai rimanenti. (Si enunci e si dimostri l analogo teorema per vettori linearmente indipendenti ) iii Una matrice quadrata A e invertibile se e solo se det(a) 0. 3

4 iv Si dimostri il teorema di Rouche -Capelli. v Si dica qual e la condizione di parallelismo tra una retta ed un piano nello spazio e la si dimostri. vi Sia B una base di uno spazio vettoriale V e sia v un vettore di V con v / B. L insieme B {v} e linearmente dipendente o linearmente indipendente? vii Cos e un sistema di generatori di uno spazio vettoriale? viii Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici del piano applicati in O e isomorfo a R 2, R 3 o ad R 4? ix Cos e una sottomatrice di una matrice A? E un minoree di A? x La trasposta di una matrice triangolare superiore e... La trasposta di una matrice diagonale e... xi Un sistema di 5 equazioni in 25 incognite e : 1 Sempre compatibile ed ha al piu 5 soluzioni. 2 Mai compatibile. 3 Se e compatibile ha almeno 2 0 soluzioni. 1 Che cos e una base di uno spazio vettoriale? E di un sottospazio? Si diano alcuni esempi di spazi vettoriali e loro basi e di sottospazi e loro basi. 2 Si dia la definizione di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti e si portino alcuni esempi. 3 Si enunci il teorema di Rouche -Capelli. 4 Si introducano i concetti di autovalore ed autovettore. 5 Cos e la molteplicita geometrica di un autovalore? e la molteplicita algebrica? 6 Quando una matrice quadrata A e diagonalizzabile? 7 Cos e il rango di una matrice quadrata? E di una matrice rettangolare? Come si puo calcolare? 8 Si introducano i numeri complessi, la loro rappresentazione algebrica e la loro rappresentazione geometrica. 4

5 9 Si scriva la formula di De Moivre e si calcolino le radici quarte dell unita nel campo complesso. 10 Quando due rette dello spazio si dicono sghembe? E parallele? 11 Si definisca il prodotto scalare e il prodotto vettoriale in R 3. 5