REGISTRO DELLE LEZIONI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA Scuola POLITECNICA REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso Geometria cod di Ingegneria Elettrica e Ingegneria Chimica tenute dal Prof. Anna Oneto nell anno accademico RIEPILOGO DEL CORSO N. delle lezioni 41 per totale ore 41.. N. delle esercitazioni per totale ore 24. Annotazioni 20 ore di supporto didattica. tenute dal dott. Valeriano Lanza (dottorando presso Dima).. Il Docente Il Preside Art. 39 del regolamento generale universitario: Ciascun Professore, sia di ruolo sia incaricato, e ciascun libero Docente deve tenere per ogni corso un registro nel quale nota giorno per giorno l argomento della LEZIONE o LEZIONE tenuta, apponendovi la firma. Questo registro, munito del visto del Preside della Facoltà o del Direttore della Scuola, deve essere alla fine delle lezioni o ad ogni richiesta del Rettore, consegnato alla Segreteria dell Università. Esso è ostensibile ad ogni richiesta del Preside o del Rettore e viene consegnato alla Segreteria dell Università alla chiusura dei corso.

2 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 1-2 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 3 Introduzione al corso. Insiemi numerici naturali, interi, razionali. Cenno sul concetto di gruppo e gruppo commutativo. Numeri reali e postulato di dedekind Numeri complessi: operazioni di somma e prodotto e loro proprietà Prodotto cartesiano di insiemi AxB, A^n. Rappresenrazione dei numeri complessi nel piano di Gauss. Modulo e argomento. Formue di passaggio da forma trigonometrica a forma a+ib. addì 24/09/2012 addì 26/09/2012 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 4-5 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 6-7 Coniugio, forma esponenziale dei numeri complessi (formula di Eulero), formula di De Moivre: esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana a quella trigonometrica/esponenziale e viceversa. Esercizi computazionali sulle potenze intere di numeri complessi. Formula di Eulero. Argomento di numero complesso mediante uso della calcolatrice. Equazioni di grado 2 e metodo di completamento dei quadrati. L'equazione X^n=z. addì 27/09/2012 addì 1/10/2012 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 8 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 9-10 Teorema di Ruffini e Teorema fondamentale dell'algebra, radici e molteplicità. composizione in fattori di un polinomio a cefficienti complessi. Cenni sui logaritmi di un numero complesso. Le n radici n- esime di un numero complesso. Esercizi computazionali. addì addì 03/10/2012 addì 4/10/2012 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 13 Funzioni inverse di seno,coseno,tangente sulla calcolatrice- modo deg e modo rad. Scomposizione in fattori di polinomi reali (teoria e esmpio P(x)=x^4+1).. Sistemi lineari: definizioni varie. Definizione di soluzione, Algoritmo di gauss su esempi anche a coefficienti complessi. Teorema di Gauss sull' esistenza di riduzione a scala e riduzione totale Esempio sul significato di riduzione totale in caso di matrice dei coefficienti quadrata di rango massimo. addì 8/10/2012 addì 10/10//2012 2

3 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Esercizi sulle radici complesse di polinomi a coefficienti reali. Operazioni elementari sui sistemi che non alterano l'insieme delle soluzioni. Metodo di Gauss per determinare il rango di un sistema lineare (individuazione dei pivots). Legame tra rango del sistema, numero di incognite e cardinalità dell'insieme delle soluzioni. Esercizi. addì 11/10/12 addì 15/10/2012 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 18 ARGOMENTO DELLA LEZIONE Teorema di Rouche' Capelli. Come scrivere le soluzioni di un sistema lineare. Esempi e applicazioni di Rouche' Capelli. Operazioni con le matrici e proprietà: Somma, moltiplicazione per uno scalare Prodotto "righe per colonne" addì 17/10/2012 addì 18/10/2012 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 23 Matrici invertibili. Inversa del prodotto.matrici elementari e operazioni elementari. Esempio con A 3x3. Teorema: equivalenza tra invertibilità, rango max, riduzione totale = I, matrice=prodotto di m.elementari Algoritmo per determinare l'inversa. Equazioni Ax=b, con X,b vettrori colonna. Formula x=a^-1 b nel caso A quadrata e invertibile. Determinante. Det(EA)=det E det A Det delle elementari. Primo teorema dilaplace addì 22/10/2012 addì 24/10/2012 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Calcolo di determinanti e inverse con il metodo di Gauss e quello di Laplace. Esercizi. Teorema: A invertibile se e solo se det A diverso da zero. Secondo e terzo teorema di Laplace (solo cenno) e corollari formula per l'inversa di matrice, determinante di matrici a blocchi e triangolari superiori (inferiori) a blocchi. Trasposizione e proprietà; AA^T è sempre simmetrica; decomposizione di matrice comesimmetrica+antisimmetrica. Caratteristica come ordine max di minore non nullo (solo l'enunciato + esempi) addì 25/10/2012 addì 29/10/12 3

4 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 28 ARGOMENTO DELLA LEZIONE Det(AB)=det A det B. Non vale per la somma Caratteristica con i minori. Teorema: le due definizioni coincidono. Rouche' capelli rivisitato. Un esempio addì 31/10/12 Caratteristica di una matrice e combinazioni lineari di righe o colonne. Teorema di Kronecker. Esempi Spazi vettoriali: definizione e esempio R^3 addì 5/11/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 31 ARGOMENTO DELLA LEZIONE Sistemi di Cramer e Regola di Cramer. Esempio. L{v_1,...,v_n} Sottospazio: definizione, esempi. Correzione test in classe. Esercizi su tutto il programma svolto fino ad ora. addì 7/11/12 addì 8/11/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 36 Spazi vettoriali : combinazioni lineari; definizione di sistema di generatori, di lineare indipendenza. Esempi Verso "scarti successivi' Vettori dipendenti se e solo se uno comb.lin. dei rimanenti. Il vettore 0 non fa mai parte di insieme libero. Definizione di sistema di generatori e base in spazio vettoriale non di tipo finito. Esempio K[x]. Teorema 1): da ogni sistema di generatori finito estraggo base (scarti successivi)(con dim). 2)Tutte le basi hanno la stessa cardinalità (senza dim). Detta dimensione. 3) in K^n p vettori sono indip se e solo se la matrice che li ha come colonne ha caratteristica p 4) Dim K^n = n e base canonica Esempio in R^3 (base non canonica con verifiche) addì 12/11/12 addì 14/11/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Esempi di sottospazi, con verifica degli assiomi. Basi, generatori, indipendenza lineare: esercizi. Basi e generatori tutti i teoremi conclusivi. In K^n p vettori sono indip se e solo se rango(a)=p In K^n dim L{v_1,...,v_p}=rango(A) Dove A matrice avente i vettori come colonne. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Vettori geometrici: introduzione e somma con tutte le PP. addì... 15/11/12 addì 19/11/12 4

5 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 41 ARGOMENTO DELLA LEZIONE Vettori geometrici: prodotto scalare. addì 21/11/12 addì 22/11/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 46 Prodotto vettore prodotto misto. Significato geometrico prodotto vettore e scalare. Basi ortonormali. Esempi Proiezioni ortogonali su sottospazi di dimensione 1 o 2. Cambiamenti di coordinate (traslazioni e rotazioni ) nel piano. Matrici ortogonali: inversa = trasposta n. ore1 addì 26/11/12 addì 28/11/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Diagonalizzazione: autovettori autovalori Autospazi. Esempi addì 29/11/12 addì 3/12/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE 51 ARGOMENTO DELLA LEZIONE Diagonalizzazioni: teorema di diagonalizzabilità addì... 5/12/12 addì 6/12/12 5

6 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 56 Teorema spettrale Esempio di diagonalizzazione di matrice simmetrica Geometria lineare nello spazio: rette e piani, rappresentazioni cartesiane e parametriche. Esempi. Passaggio a cartesiane e parametriche. Equazioni di assi e piani coordinati. Esempi. n. ore2 addì 10/12/12 addì 12/12/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Proiezioni ortogonali e distanze punto punto Punto -retta, Punto-piano Proiezioni ortogonali e simmetrie addì 13/12/12 addì 17/12/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE 63 Rette parallele, piano che le contiene e distanza Rette incidenti, piano che le contiene,distanza =0 Rette sghembe: comune perpendicolare (due modi) e distanza. Sfere e circonferenze definizioni e rappresentazione cartesiana. Cilindri con generatrici (rette) parallele ad un asse hanno equazione f(x,y)=0 oppure f(x,z)=0, oppure f(y,z)=0 ESEMPI Sfere e circonferenze (reali o complesse) Asse di circonferenza-sfere contenenti una circonferenza Definizione di retta tangente ad una linea Piano tangente ad una superficie in un punto La retta tangente in un punto ad una circonferenza è complanare con la circonferenza ESEMPI addì 18/12/12 addì 19/12/12 ARGOMENTO DELLA LEZIONE ARGOMENTO DELLA LEZIONE Coniche e quadriche. n. ore n. ore addì...20/12/12 addì 6