0. Introduzione al linguaggio matematico

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1 Prof. Lidia Angeleri Università di Verona, 2013/14 Algebra Lineare ed Elementi di Geometria (Programma aggiornato in data 23 gennaio 2014) 0. Introduzione al linguaggio matematico 1. Insiemi 1.1 Esempi 1.2 Come si denota un insieme 1.3 Altri esempi 1.4 Sottoinsieme, sottoinsieme proprio 1.5 Principio di doppia inclusione 1.6 Esempi 1.7 L insieme delle parti 1.8 Esempi 1.9 Teorema: se M ha n elementi, l insieme delle parti ne ha 2 n Unione, intersezione, differenza, complemento, prodotto cartesiano 1.11 Esempi 1.12 Alcune proprietà (vedi anche Precorso on-line, LEZIONI: Capitolo Insiemi oppure [AF, Cap. 1]) 2. Tecniche dimostrative 2.1 Dimostrazioni e controesempi 2.2 Gli assiomi di Peano 2.3 Principio di induzione 2.4 La somma dei primi n numeri naturali 2.5 Dimostrazione del Teorema Vettori nel piano e nello spazio 3.1 Osservazione: Elementi di R 2 e R 3 come vettori nel piano e nello spazio 3.2 Definizione (geometrica) di vettore 3.3 Somma di due vettori 3.4 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare 4. Numeri complessi 4.1 Il campo C 4.2 Numeri immaginari 4.3 Forma algebrica di un numero complesso 4.4 Coniugato e modulo (vedi anche [GS, Appendice B]) (vedi anche [A, Paragrafi 2.1, 2.2] oppure [AF, Cap. 2.1 e 2.2])

2 4.5 Esempio 4.6 Coordinate polari 4.7 Forma trigonometrica di un numero complesso 4.8 Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica 4.9 La Formula di De Moivre 4.10 Definizione: radici n-esime 4.11 Teorema sulle radici n-esime 4.12 Esempio: Divisione del cerchio 4.13 Esempio 4.14 Teorema Fondamentale dell Algebra (vedi anche [GS, Appendice A] oppure [AF, Cap. 4.6 e 4.7]) I. Matrici e sistemi lineari 5. Matrici e loro operazioni 5.1 Esempio 5.2 Definizioni 5.3 Esempi 5.4 Somma di due matrici 5.5 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare 5.6 Prodotto di due matrici 5.7 Altri esempi 6. Sistemi lineari e matrici 6.1 Esempi 6.2 Sistemi lineari in forma matriciale 6.3 Operazioni elementari 6.4 Metodo di eliminazione di Gauss (EG) 6.5 Risoluzione di un sistema lineare 6.6 Esempio 6.7 Rango di una matrice 6.8 Matrici elementari 7. Matrici inverse 7.1 Lemma e Definizione 7.2 Esempi 7.3 Proposizione (sistemi lineari equivalenti) 7.4 Proposizione 7.5 Proposizione 7.6 Teorema (esistenza dell inversa destra) 7.7 Definizione di H-trasposta 7.8 Teorema (esistenza dell inversa sinistra) 7.9 Corollario (matrici invertibili) 7.10 Calcolo della matrice inversa. Esempio (vedi [GS, Capitolo I]) (vedi [GS, Capitolo I]) (vedi [GS, Capitolo I])

3 II. Spazi vettoriali 8. Spazi vettoriali e basi 8.1 Gruppo 8.2 Campo 8.3 Spazio vettoriale 8.4 Esempi 8.5 Proposizione 8.6 Combinazioni lineari 8.7 Esempi 8.8 Insieme di generatori, base 8.9 Esempi 8.10 Spazi vettoriali finitamente generati 8.11 Esempi 9. Dipendenza e indipendenza lineare 9.1 Definizione di indipendenza lineare 9.2 Osservazione: base = insieme di generatori linearmente indipendente 9.3 Esempi 9.4 Caratterizzazione di dipendenza lineare 9.5 Esempi 9.6 Proposizione 9.7 Caratterizzazioni di una base 9.8 Proposizione 10. Dimensione di uno spazio vettoriale 10.1 Esistenza della base Teorema di Steinitz 10.3 Corollario 10.4 Dimensione Esempi 10.6 Teorema: completamento della base 10.7 Proprietá di uno spazio vettoriale di dimensione n 10.8 Esempi 11. Sottospazi di uno spazio vettoriale 11.1 Definizione di sottospazio 11.2 Esempi 11.3 Un sottospazio di V coincide con V se e solo se ha la stessa dimensione L intersezione di due sottospazi 11.5 Esempio (unione di sottospazi) 11.6 La somma di due sottospazi 11.7 Formula di Grassmann 11.8 Somma diretta di due sottospazi 11.9 Esempi Osservazioni

4 12. Applicazioni lineari 12.1 Definizione 12.2 Esempi 12.3 Alcune proprietà 12.4 Lemma 12.5 Teorema: Ogni spazio vettoriale su K di dimensione n è isomorfo a K n Definizione: l applicazione delle coordinate 12.7 Esempi 12.8 Corollario: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione nucleo e immagine Esempi Teorema (nullità + rango) Corollario 13. Quattro spazi associati a una matrice 13.1 Lemma 13.2 L applicazione f A : K n K m, x Ax associata a A M m n (K) 13.3 Lemma 13.4 Teorema sul rango 13.5 Corollario 13.6 Osservazione su A H 13.7 Teorema dei quattro sottospazi: K m = C(A) N(A H ) e K n = C(A H ) N(A) 13.8 Esempio 13.9 Procedimento per determinare basi di C(A) e N(A) Teorema di Rouché - Capelli Teorema: le soluzioni di Ax=b sono i vettori di forma p + u con u N(A) Esempi Procedimento per la risoluzione di un sistema lineare III. Spazi affini 14. Rette 14.1 Lo spazio affine 14.2 Osservazioni 14.3 Sottospazi affini 14.4 Osservazioni 14.5 Rette come sottospazi affini di dimensione Equazione parametrica della retta 14.7 Equazione cartesiana della retta 14.8 Retta individuata da due punti 14.9 Esempi Sottospazi affini incidenti, paralleli, sghembi Intersezioni di rette Corollario

5 15. Piani 15.1 Piani come sottospazi affini di dimensione Equazione parametrica del piano 15.3 Osservazioni 15.4 Equazione cartesiana del piano 15.5 Piano individuato da tre punti non allineati 15.6 Classificazione dei sottospazi affini di R Esempi 15.8 Intersezioni di piani, rette 15.9 Corollario Interpretazione geometrica del Teorema di Rouché - Capelli Sottospazio affine generato da due sottospazi affini Formula di Grassmann 16. Applicazioni affini 16.1 Applicazione affine, affinità 16.2 Esempi 16.3 Proiezione, simmetria 16.4 Omotetia 16.5 Teorema: Per ogni spazio affine di dimensione n si ha un affinità con A n. 17. Applicazioni lineari e matrici 17.1 Lo spazio vettoriale Hom K (V, W ) 17.2 Osservazioni 17.3 La matrice associata a un applicazione lineare rispetto alla base canonica 17.4 Esempi 17.5 Teorema: M m n (K) = Hom K (K n, K m ) 17.6 Esempio 17.7 La matrice del cambiamento di base B 1 B Esempio [A, Paragrafo 2.3] oppure [CB] [A, Paragrafo 2.3] oppure [CB] 17.9 La matrice associata a un applicazione lineare f : V W rispetto alle basi B(V ) e B(W ) 17.9 Esempio Teorema sul cambiamento di basi Corollario Matrici simili IV. Autovalori e autovettori 18. Il determinante di una matrice quadrata 18.1 Definizione (per ricorrenza) 18.2 Regola di Sarrus 18.3 Seconda definizione (assiomatica) 18.4 Altre proprietà 18.5 Esempio 18.6 Teorema di Binet (vedi [A, Capitoli 7 e 8], [GS, Capitolo II])

6 18.7 Proposizione su deta = Corollario: una matrice quadrata A è invertibile se e solo se deta Corollario: deta=deta T Teorema di Laplace Teorema di Cramer Calcolo della matrice inversa (secondo metodo) Determinante a blocchi 19. Gli autovalori di una matrice 19.1 Definizione di autovalore e autovettore 19.2 Esempi 19.3 Osservazione 19.4 Definizione di polinomio caratteristico Teorema (vedi [A, Capitolo 9], [GS, Capitolo IV]) 19.6 Corollario: A possiede n autovalori (non necessariamente reali, né necessariamente distinti) 19.7 Autospazi e molteplicità algebriche e geometriche 19.8 Esempi 19.9 Proprietà del polinomio caratteristico 20. Diagonalizzazione di una matrice 20.1 Osservazione 20.2 Definizione: matrici diagonalizzabili 20.3 Teorema sulla diagonalizzazione Esempi 20.5 Proprietà delle matrici simili Corollario 20.7 Esempio 21. Criteri di diagonalizzazione 21.1 Lemma sugli autospazi 21.2 Corollario: A M n n è diagonalizzabile se possiede n autovalori distinti Lemma sulle molteplicità 21.4 Teorema: A M n n è diagonalizzabile su C se e solo se m λ = d λ per ogni autovalore λ Algoritmo per la diagonalizzazione 21.6 Corollario V. Spazi euclidei 22. Prodotti interni e norme 22.1 Esempio 22.2 Prodotto scalare canonico su K n 22.3 Esempi 22.4 Prodotto interno 22.5 Spazio vettoriale metrico, norma associata a <, > 22.6 Esempi 22.7 Teorema di Pitagora, Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 22.8 Definizione assiomatica di norma (vedi [GS, Capitolo V])

7 23. Basi ortonormali 23.1 ortogonale, ortonormale 23.2 Le coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale 23.3 Esempi 23.4 proiezione ortogonale, complemento ortogonale 23.5 Teorema: Per un sottospazio U V si ha K n = U U 23.6 Equazione cartesiana di un sottospazio affine 23.7 Esempio: Per A M m n si ha N(A) = C(A H ) 23.8 Distanza tra due sottospazi affini 23.8 Calcolo della distanza 23.8 Algoritmo di Gram-Schmidt 23.9 Corollario: Esistenza di basi ortonormali (vedi [GS, Capitolo III], [A, Capitolo 10]) 24. Isometrie 24.1 Osservazione sulle matrici unitarie 24.2 Matrici unitarie e matrici ortogonali 24.3 Determinante e autovalori di una matrice unitaria 24.4 Isometria 24.5 Osservazioni 24.6 Trasformazione ortogonale 24.7 Trasformazioni ortogonali del piano E Il prodotto vettoriale 25.1 Definizione 25.2 Proprietà del prodotto vettoriale 25.3 Significato geometrico del prodotto vettoriale 25.4 Ricavare l equazione cartesiana del piano dall equazione parametrica 25.5 Esempio 25.6 Il prodotto misto 25.7 Interpretazione geometrica del determinante [A, pagine ] oppure [CB] 26. Il Teorema Spettrale 26.1 Teorema di Schur 26.2 Corollario 26.3 Esempio 26.4 Matrici hermitiane e matrici normali 26.5 Esempi 26.6 Teorema Spettrale 26.7 Corollario sulle matrici simmetriche in M n n (R) (vedi [GS, Capitolo VI], [A, Capitolo 11])

8 27. Introduzione alla geometria proiettiva (Prof. N. Sansonetto). Definizioni di base, costruzioni della retta e del piano proiettivo. Il caso generale. Geometria del piano proiettivo, coordinate omogenee ed affine. rette in P 2. Rette incidenti. Punto di incidenza tra rette in P 2. Esercizi. Introduzione alle coniche, matrici simmetriche 3 3 e conica associata, polinomi omogenei del secondo ordine in P 2 ed equazione di una conica in P 2. Invarianza per trasformazioni proiettive. Classificazione proiettiva delle coniche sia nel caso complesso che nel caso reale. Esempi. Coniche degeneri. Polare di un punto P associata ad una conica. Tangenti ad una conica condotte da un punto esterno alla conica. Principio di reciprocita e tangenza. Esercizi. Fasci di coniche. Ancora sulla tangenza tra coniche e rette. Classificazione affine delle coniche ed esercizi. Concetti affini: centro, diametri, diametri coniugati, asintoti. Classificazione metrica delle coniche: il caso delle coniche a centro e delle coniche non a centro. Il metodo degli invarianti ortogonali. Ulteriori aspetti metrici: rette isotrope, punti ciclici, fuoco e direttrice. Esercizi sulle coniche, punti ciclici di una circonferenza e significato geometrico del parametro di una conica. Bibliografia: [A] M. Abate, Algebra lineare, McGraw-Hill [AF] M. Abate, de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw- Hill [CB] M.Candilera, A.Bertapelle: Algebra lineare e primi elementi di Geometria, McGraw Hill, ISBN: [GS] E. Gregorio, L. Salce: Algebra lineare. Libreria Progetto, Precorso on-line: sito web