Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Esame - Primo Appello - 22 giugno Nome Cognome Matricola

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1 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Esame - Primo Appello - 22 giugno 2015 A Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k, nelle incognite x, y, z a coefficienti reali, dipendente dal parametro k R, definito da kx + y + z = k S k : x + y + 2z = 1 x + y + kz = k (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Sia L: R 4 R 3 la trasformazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi standard è A = (a) Calcolare il rango r di L e trovare una base per im L. (b) Trovare una base per ker L e calcolare la nullità di L. (c) Trovare una base B per R 4, una base C per R 3 e matrici invertibili P in M 3 (R), Q in M 4 (R) tali che ( ) [L] C 1r 0 B = = P AQ. 0 0 Problema 3 Sia P 2 (R) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2 a coefficienti reali. Si considerino gli insiemi ordinati B = { x, 1 + 2x 2, x + x 2 }, C = { x 2, 1 + 2x, x} ed il polinomio p(x) = 4 2x x 2. (a) Far vedere che B e C sono basi per P 2 (R). (b) Calcolare [p(x)] B e [p(x)] C. (c) Calcolare P C B. (d) Verificare che le coordinate trovate soddisfano [p(x)] C = P C B [p(x)] B. (prego, voltare pagina)

2 Problema 4 Sia A la matrice in M 3 (R) definita da A = (a) Calcolare il polinomio caratteristico di A. (b) Trovare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità. (c) Trovare una base di autovettori per ogni autospazio di A. (d) Calcolare la molteplicità geometrica di ciascun autovalore. (e) Stabilire se la matrice A è o non è diagonalizzabile. Problema 5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e sia U un suo sottospazio. Sia p U : V U la proiezione ortogonale di V su U. Consideriamo la trasformazione L: V V, L(v) = 2p U (v) v. (a) Far vedere che L è una trasformazione lineare. (b) Calcolare L 2 = L L. (c) Trovare i possibili autovalori di L. (d) Trovare gli autospazi di L e stabilire se L è o non è diagonalizzabile. (e) Se V = R 4, U = (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), trovare la matrice standard di L. Problema 6 Nel piano euclideo standard E 2 si consideri la conica C di equazione 2x 2 1 4x 1 x 2 x x x 2 11 = 0. (a) Diagonalizzare la parte quadratica dell equazione. (b) Trovare l equazione canonica di C. (c) Classificare la conica C. (d) Determinare le coordinate del centro o del vertice e le direzioni degli assi principali. Regole d esame Scrivere nome, cognome e matricola LEGGIBILI in ogni foglio (cartellina bianca, testo del compito e fogli di brutta). Durata della prova: tre ore. NON è consentito l uso di libri, dispense o appunti. NON è consentito l uso di smart phones, tablets, calcolatrici e gadgets simili. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sulla cartellina bianca solo i calcoli necessari a motivare la risposta, scritti a penna, nera o blu, in modo chiaro e leggibile. TUTTE LE RISPOSTE VANNO MOTIVATE. Consegnare SOLO la cartellina bianca con le risposte e questo foglio, i fogli di brutta NON vanno consegnati. L uscita dall aula è consentita solo dopo la consegna definitiva dell elaborato. Durante la prova i candidati non possono comunicare tra loro o passarsi materiale, pena l esclusione immediata dalla prova (cartellino rosso senza cartellino giallo).

3 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Esame - Primo Appello - 22 giugno 2015 B Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k, nelle incognite x, y, z a coefficienti reali, dipendente dal parametro k R, definito da kx + y + z = k S k : x + y 2z = 1 x + y + kz = k (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Sia L: R 4 R 3 la trasformazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi standard è A = (a) Calcolare il rango r di L e trovare una base per im L. (b) Trovare una base per ker L e calcolare la nullità di L. (c) Trovare una base B per R 4, una base C per R 3 e matrici invertibili P in M 3 (R), Q in M 4 (R) tali che ( ) [L] C 1r 0 B = = P AQ. 0 0 Problema 3 Sia P 2 (R) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2 a coefficienti reali. Si considerino gli insiemi ordinati B = { x, 1 x 2, 2x + x 2 }, C = {x 2, 1 + 2x, x} ed il polinomio p(x) = 4 2x x 2. (a) Far vedere che B e C sono basi per P 2 (R). (b) Calcolare [p(x)] B e [p(x)] C. (c) Calcolare P C B. (d) Verificare che le coordinate trovate soddisfano [p(x)] C = P C B [p(x)] B. (prego, voltare pagina)

4 Problema 4 Sia A la matrice in M 3 (R) definita da A = (a) Calcolare il polinomio caratteristico di A. (b) Trovare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità. (c) Trovare una base di autovettori per ogni autospazio di A. (d) Calcolare la molteplicità geometrica di ciascun autovalore. (e) Stabilire se la matrice A è o non è diagonalizzabile. Problema 5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e sia U un suo sottospazio. Sia p U : V U la proiezione ortogonale di V su U. Consideriamo la trasformazione L: V V, L(v) = 2p U (v) v. (a) Far vedere che L è una trasformazione lineare. (b) Calcolare L 2 = L L. (c) Trovare i possibili autovalori di L. (d) Trovare gli autospazi di L e stabilire se L è o non è diagonalizzabile. (e) Se V = R 4, U = (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), trovare la matrice standard di L. Problema 6 Nel piano euclideo standard E 2 si consideri la conica C di equazione x x 1 x 2 2x x x 2 37 = 0. (a) Diagonalizzare la parte quadratica dell equazione. (b) Trovare l equazione canonica di C. (c) Classificare la conica C. (d) Determinare le coordinate del centro o del vertice e le direzioni degli assi principali. Regole d esame Scrivere nome, cognome e matricola LEGGIBILI in ogni foglio (cartellina bianca, testo del compito e fogli di brutta). Durata della prova: tre ore. NON è consentito l uso di libri, dispense o appunti. NON è consentito l uso di smart phones, tablets, calcolatrici e gadgets simili. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sulla cartellina bianca solo i calcoli necessari a motivare la risposta, scritti a penna, nera o blu, in modo chiaro e leggibile. TUTTE LE RISPOSTE VANNO MOTIVATE. Consegnare SOLO la cartellina bianca con le risposte e questo foglio, i fogli di brutta NON vanno consegnati. L uscita dall aula è consentita solo dopo la consegna definitiva dell elaborato. Durante la prova i candidati non possono comunicare tra loro o passarsi materiale, pena l esclusione immediata dalla prova (cartellino rosso senza cartellino giallo).

5 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Esame - Primo Appello - 22 giugno 2015 C Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k, nelle incognite x, y, z a coefficienti reali, dipendente dal parametro k R, definito da kx + y + z = k S k : x + y + 2z = 1 x y + kz = k (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Sia L: R 4 R 3 la trasformazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi standard è A = (a) Calcolare il rango r di L e trovare una base per im L. (b) Trovare una base per ker L e calcolare la nullità di L. (c) Trovare una base B per R 4, una base C per R 3 e matrici invertibili P in M 3 (R), Q in M 4 (R) tali che ( ) [L] C 1r 0 B = = P AQ. 0 0 Problema 3 Sia P 2 (R) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2 a coefficienti reali. Si considerino gli insiemi ordinati B = { x, 1 + 3x 2, x + x 2 }, C = { x 2, 1 x, x} ed il polinomio p(x) = 4 2x x 2. (a) Far vedere che B e C sono basi per P 2 (R). (b) Calcolare [p(x)] B e [p(x)] C. (c) Calcolare P C B. (d) Verificare che le coordinate trovate soddisfano [p(x)] C = P C B [p(x)] B. (prego, voltare pagina)

6 Problema 4 Sia A la matrice in M 3 (R) definita da A = (a) Calcolare il polinomio caratteristico di A. (b) Trovare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità. (c) Trovare una base di autovettori per ogni autospazio di A. (d) Calcolare la molteplicità geometrica di ciascun autovalore. (e) Stabilire se la matrice A è o non è diagonalizzabile. Problema 5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e sia U un suo sottospazio. Sia p U : V U la proiezione ortogonale di V su U. Consideriamo la trasformazione L: V V, L(v) = 2p U (v) v. (a) Far vedere che L è una trasformazione lineare. (b) Calcolare L 2 = L L. (c) Trovare i possibili autovalori di L. (d) Trovare gli autospazi di L e stabilire se L è o non è diagonalizzabile. (e) Se V = R 4, U = (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), trovare la matrice standard di L. Problema 6 Nel piano euclideo standard E 2 si consideri la conica C di equazione 2x x 1 x 2 x x x = 0. (a) Diagonalizzare la parte quadratica dell equazione. (b) Trovare l equazione canonica di C. (c) Classificare la conica C. (d) Determinare le coordinate del centro o del vertice e le direzioni degli assi principali. Regole d esame Scrivere nome, cognome e matricola LEGGIBILI in ogni foglio (cartellina bianca, testo del compito e fogli di brutta). Durata della prova: tre ore. NON è consentito l uso di libri, dispense o appunti. NON è consentito l uso di smart phones, tablets, calcolatrici e gadgets simili. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sulla cartellina bianca solo i calcoli necessari a motivare la risposta, scritti a penna, nera o blu, in modo chiaro e leggibile. TUTTE LE RISPOSTE VANNO MOTIVATE. Consegnare SOLO la cartellina bianca con le risposte e questo foglio, i fogli di brutta NON vanno consegnati. L uscita dall aula è consentita solo dopo la consegna definitiva dell elaborato. Durante la prova i candidati non possono comunicare tra loro o passarsi materiale, pena l esclusione immediata dalla prova (cartellino rosso senza cartellino giallo).

7 Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Ingegneria Aerospaziale Esame - Primo Appello - 22 giugno 2015 D Nome Cognome Matricola Problema Totale Voto Problema 1 Si consideri il sistema lineare S k, nelle incognite x, y, z a coefficienti reali, dipendente dal parametro k R, definito da kx + y + z = k S k : x + y 2z = 1 x + y + kz = k (a) Al variare di k, calcolare il rango delle matrici completa e incompleta di S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni. (e) Determinare i valori di k, se esistono, per i quali l insieme delle soluzioni del sistema S k è un sottospazio vettoriale di R 3. Problema 2 Sia L: R 4 R 3 la trasformazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi standard è A = (a) Calcolare il rango r di L e trovare una base per im L. (b) Trovare una base per ker L e calcolare la nullità di L. (c) Trovare una base B per R 4, una base C per R 3 e matrici invertibili P in M 3 (R), Q in M 4 (R) tali che ( ) [L] C 1r 0 B = = P AQ. 0 0 Problema 3 Sia P 2 (R) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2 a coefficienti reali. Si considerino gli insiemi ordinati B = { x, 1 x 2, 3x + x 2 }, C = {x 2, 1 2x, x} ed il polinomio p(x) = 4 2x x 2. (a) Far vedere che B e C sono basi per P 2 (R). (b) Calcolare [p(x)] B e [p(x)] C. (c) Calcolare P C B. (d) Verificare che le coordinate trovate soddisfano [p(x)] C = P C B [p(x)] B. (prego, voltare pagina)

8 Problema 4 Sia A la matrice in M 3 (R) definita da A = (a) Calcolare il polinomio caratteristico di A. (b) Trovare gli autovalori di A con le rispettive molteplicità. (c) Trovare una base di autovettori per ogni autospazio di A. (d) Calcolare la molteplicità geometrica di ciascun autovalore. (e) Stabilire se la matrice A è o non è diagonalizzabile. Problema 5 Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione finita e sia U un suo sottospazio. Sia p U : V U la proiezione ortogonale di V su U. Consideriamo la trasformazione L: V V, L(v) = 2p U (v) v. (a) Far vedere che L è una trasformazione lineare. (b) Calcolare L 2 = L L. (c) Trovare i possibili autovalori di L. (d) Trovare gli autospazi di L e stabilire se L è o non è diagonalizzabile. (e) Se V = R 4, U = (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), trovare la matrice standard di L. Problema 6 Nel piano euclideo standard E 2 si consideri la conica C di equazione x 2 1 4x 1 x 2 2x x x 2 31 = 0. (a) Diagonalizzare la parte quadratica dell equazione. (b) Trovare l equazione canonica di C. (c) Classificare la conica C. (d) Determinare le coordinate del centro o del vertice e le direzioni degli assi principali. Regole d esame Scrivere nome, cognome e matricola LEGGIBILI in ogni foglio (cartellina bianca, testo del compito e fogli di brutta). Durata della prova: tre ore. NON è consentito l uso di libri, dispense o appunti. NON è consentito l uso di smart phones, tablets, calcolatrici e gadgets simili. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sulla cartellina bianca solo i calcoli necessari a motivare la risposta, scritti a penna, nera o blu, in modo chiaro e leggibile. TUTTE LE RISPOSTE VANNO MOTIVATE. Consegnare SOLO la cartellina bianca con le risposte e questo foglio, i fogli di brutta NON vanno consegnati. L uscita dall aula è consentita solo dopo la consegna definitiva dell elaborato. Durante la prova i candidati non possono comunicare tra loro o passarsi materiale, pena l esclusione immediata dalla prova (cartellino rosso senza cartellino giallo).