GEOMETRIA. 25 GENNAIO ore. Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi.

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1 GEOMETRIA 25 GENNAIO ore Istruzioni: Scrivere cognome, nome, numero di matricola in stampatello negli appositi spazi. Trascrivere i risultati dei quiz della prima parte nella tabella in questa pagina. La risposta ai quiz vale 2 punti se esatta, -0,5 se errata, 0 se assente. Trascrivere la risposta alle singole domande degli esercizi della seconda parte nelle pagine bianche alla fine di ogni esercizio. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. Cognome e nome (stampatello): Matricola: Docente: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio I II

2 Prima Parte (Quiz) Q1. Sia A R 4,4 con polinomio caratteristico p A (t) = t(t 1)(t 2 + 4). (a) Il rango di A è 4. (b) Esiste una matrice invertibile P C 4,4 tale che P 1 AP sia diagonale. (c) A è simmetrica. (d) Esiste una matrice invertibile P R 4,4 tale che P 1 AP sia diagonale. Q2. Sia data l applicazione T : R 3,3 R 3,3 definita da A t A. (a) T è lineare e risulta dim(ker(t )) 1. (b) T non è lineare. (c) T è lineare e ogni A R 3,3 simmetrica è autovettore di T. (d) Im(T ) R 3,3. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz siano dati i punti A = (2, 1, 1), B = (1, 1, 0), C = (0, 1, 1). Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Il triangolo di vertici A, B e C è equilatero. (b) A, B e C sono allineati. (c) Il triangolo di vertici A, B e C è rettangolo in B. (d) Il piano per A, B e C è ortogonale al piano d equazione y = 0. Q4. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz sia data la quadrica Q di equazione x 2 + 2y 2 3z 2 = 0. (a) Q è un ellissoide. (b) Q non contiene rette. (c) Q non contiene nessun punto. (d) Q è un cono. 2

3 Q5. In R 5 siano dati i sottospazi U = L ((1, 2, 1, 2, 1), ( 2, 1, 0, 1, 1), ( 1, 1, 1, 3, 0)), V = L ((0, 3, 2, 5, 1), (1, 1, 1, 3, 0)). (a) U + V = R 5. (b) U V. (c) dim(u + V ) = 1. (d) dim(u) = 3. Q6. Sia f: R 3 R 3 l applicazione lineare associata alla matrice A = (a) f ha un autovalore reale. (b) f è iniettiva ma non suriettiva. (c) f è suriettiva ma non iniettiva. (d) f ha 0 come autovalore. Q7. Sia data una matrice A R 4,2. (a) Per ogni B R 4,1 non nullo il sistema AX = B è incompatibile. (b) A( t A) = ( t A)A. (c) Esistono B R 4,1 non nulli tali che il sistema AX = B sia incompatibile. (d) La matrice A( t A) non è simmetrica. Q8. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz siano date le rette r, s rispettivamente d equazioni x 3y + z = 2x + y 2z = 0, x + 4y 3z = 3x 2y z = 0. (a) r ed s coincidono. (b) r ed s sono ortogonali. (c) r ed s sono sghembe. (d) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera. 3

4 Seconda Parte (Esercizi) Esercizio 1. (i) Sia A R n,n e sia λ R un suo autovalore. Enunciare una condizione necessaria sull autospazio di λ affinché A sia diagonalizzabile. Sia data la matrice simmetrica e sia la corrispondente forma quadratica. A = q(x, y) = ( x ( 1 ) y ) ( ) x A y (ii) Dire se è vero o falso che q(x, y) 0 per ogni (x, y) R 2, motivando adeguatamente la risposta. (iii) Determinare una matrice ortogonale P R 2,2 tale che t P AP sia diagonale. Nel piano con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy si consideri la conica C di equazione q(x, y) = 1. (iv) Determinare il tipo della conica C. (v) Determinare centro ed assi di simmetria di C. (vi) Disegnare C nel sistema di riferimento Oxy. Svolgimento dell esercizio 1: 4

5 Esercizio 2. Sia h R e siano dati i vettori v 1 = (1, 1, 1, 6+h), v 2 = (1, 1, 4, 6+h), v 3 = ( 1, 1, 8, h 2 +4h 10), v 4 = ( 1, 1, 2, 5) di R 4. Per ogni h R si consideri poi il sottospazio U h = L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) da essi generato in R 4. (i) Determinare i valori di h R per cui U h = R 4. (ii) Determinare una base di U 1 e calcolare dim(u 1 ). (iii) Determinare una base di U 5 e calcolare dim(u 5 ). (iv) Stabilire se è vero o falso che dim(u 1 U 5 ) 2. Svolgimento dell esercizio 2: 5

6 Esercizio 3. (i) Dimostrare che se λ è autovalore di A R n,n allora λ 2 è autovalore di A 2. Sia data l applicazione lineare f: R 4 R 4 tale che (ii) Determinare la matrice A di f. f(a, b, c, d) = (2d, a 3d, b d, c + 3d). (iii) Stabilire se è vero o falso che f è iniettiva e suriettiva, motivando adeguatamente la risposta. (iv) Determinare la matrice di f 1 (v) Sapendo che 1 è autovalore di A determinare una base del corrispondente autospazio. (vi) Verificare che il polinomio caratteristico di A è (t + 1)(t 1) 2 (t 2). (vii) Stabilire se A è diagonalizzabile, motivando adeguatamente la risposta Svolgimento dell esercizio 3: 6