Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni Esame scritto di Algebra Lineare del 7/2/2002

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1 Esame scritto di Algebra Lineare del 7/2/2002 Esercizio 1 Sia h R e sia f : R[x] 3 R 3 l applicazione lineare tale che f(1) = (1, 1, h) f(1 + x) = (h + 2, 0, h) f(x 2 ) = (0, 0, 1) f(1 + x + x 3 ) = (h + 2, 0, 1 h). a) Scrivere la matrice M S,E f, con S = {1, x, x 2, x 3 }. b) Studiare l applicazione lineare f al variare di h R. c) Trovare i polinomi p(x) R[x] 3 tali che f(p(x)) = (0, 0, 0), h R. Esercizio 2 Sia AX = B un sistema lineare, con A una matrice di tipo 4 3. Se tale sistema ha una sola soluzione, determinare ρ(a), ρ(a B) e det(a B), giustificando la risposta. Esercizio 3 Siano V e W i seguenti sottospazi vettoriali di R 4 : V = L((1, 2, 0, 0), (1, 0, 2, 0), (5, 0, 0, 4)) W = L((0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (2, 1, 1, 0)). a) Trovare le equazioni di V e di W. b) Trovare una base e le equazioni di V W e di V + W. c) Può esistere un endomorfismo f : R 4 R 4 per cui V e W siano autospazi?

2 Esame scritto di Algebra Lineare del 27/2/2002 Esercizio A Siano assegnati i seguenti sottospazi di R 4 : V = {(x, y, z, t) R 4 : x y = 0, x + 2y + z = 0, t = 0}, W = L((1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)). 1) Provare che V W non è un sottospazio di R 4. 2) Trovare le equazioni e una base di V + W e verificare che V + W = V W. 3) Determinare, se possibile, un endomorfismo g di R 4, non iniettivo, che soddisfi le seguenti proprietà: a) 2 è un autovalore per g e V è l autospazio associato a 2. b) g W = id W. È g semplice? Esercizio B Determinare il rango di una matrice non nulla A K 4,3 tale che tutti i suoi minori di ordine due sono nulli. Esercizio C 1) Dire perché le seguenti assegnazioni determinano un endomorfismo biiettivo di R 3 : 2) Trovare M E,E f. f((1, 1, 1)) = (1, 1, 1) f((1, 1, 0)) = ( 1, 1, 0) f((0, 1, 1)) = (2, 1, 1) 3) Trovare autovalori e autovettori per f e, se possibile, diagonalizzare M E,E f.

3 Esame scritto di Algebra Lineare del 24/6/2002 Sono assegnati in R 3 i vettori v 1 = (1, 2, 0), v 2 = ( 1, 0, 1) e il sottospazio V = L(v 1, v 2 ). Sia f : V R 3 l applicazione lineare definita da: f(v 1 ) = (1 2h, h 1, h), f(v 2 ) = (h + 1, 1, h), h R. 1. Studia f al variare di h. 2. Esistono valori di h per cui f induce un endomorfismo di V? 3. Posto h = 1, a) determina f 1 (1, 1, 0) e f 1 (0, 1, 1); b) definisci una estensione g di f a R 3 tale che zero sia un autovalore per g. Sia S il seguente sottospazio di R[x] 3 : S = L(3x 3 + 2x, 4x 3 + x 2 + 2x + 1, x 3 + x 2 + 1). 1. Determina la dimensione e una base di S. 2. Trova un sottospazio T di R[x] 3 tale che S + T = S T = R[x] 3. Sia A una matrice quadrata su R di ordine e rango n. Discuti il sistema λax = B al variare di λ R e B R n,1.

4 Esame scritto di Algebra Lineare del 15/7/2002 Sia V uno spazio vettoriale su R e sia [v 1, v 2, v 3 ] una sua base. 1. Studia al variare di h R l endomorfismo di V definito da: f(v 1 ) = (1 + h)v 1, f(v 2 ) = 2v 1 v 2, f(v 3 ) = 2v 1 (1 + h)v Posto h = 0, prova che l endomorfismo f è semplice e trova una base di autovettori. 3. Trova i valori di h per cui f non è semplice. Sia W il sottospazio di R 4 generato dai vettori w 1 = (1, 2, k, 1), w 2 = (k, 1, 1, 1), w 3 = (k, 1, 2, 1), k R. Per ogni valore di k a) trova dimw ; b) prova che e 3 = (0, 0, 1, 0) W e trova le sue componenti rispetto ad una base di W ; c) trova una base ed equazioni di un sottospazio T di R 4 tale che dimt = 2 e T + W = R 4. A è una matrice non nulla di tipo 3 4 e il sistema AX = B non ammette soluzioni. Determina i valori che può assumere ρ(a) e i corrispondenti valori di ρ(a B).

5 Esame scritto di Algebra Lineare del 20/9/2002 Date le matrici A, B M n (R) prova che: 1) se A e B sono entrambe invertibili allora anche A B è una matrice invertibile; 2)se almeno una delle due matrici A, B non è invertibile allora A B non è invertibile. Se A e B sono entrambe non invertibili è possibile che A + B sia invertibile? Verifica che l insieme V = {p(x) R[x] 2 : p( 1) = 0} è un sottospazio vettoriale di R[x] 2. Trova una base di V. Nello spazio vettoriale R 4 sono assegnati w 1 = (1, 0, 0, 0), w 2 = (0, 2, 2, 2), w 3 = (0, 1, 2, 2), W = L(w 1, w 2, w 3 ). 1) Studia al variare del parametro reale h l applicazione lineare f : W R 4 definita dalle relazioni: f(w 1 ) = (1, 0, h, h), f(w 2 ) = (h 1, 0, 2, 2), f(w 3 ) = (h, 1, 0, 0). 2)Prova che f induce per ogni valore di h un endomorfismo f : W W e scrivi una matrice associata a f. 3) Posto h = 2, prova che f è un endomorfismo semplice.

6 Esame scritto di Algebra Lineare del 9/10/2002 Sia d : M 2 (R) R l applicazione definita da d(a) = det A, A M 2 (R). L applicazione f é 1) iniettiva? 2) suriettiva? 3) un applicazione lineare fra R-spazi vettoriali? Nello spazio vettoriale R 4 sono assegnati v 1 = (0, 1, 1, 1), v 2 = (1, 0, 0, 0), v 3 = (2, 2, 1, 1), w 1 = (1, 0, 1, 0), w 2 = (1, 1, 2, 1), w 3 = (h 1, 2, 5, 2), V = L(v 1, v 2, v 3 ), W = L(w 1, w 2, w 3 ). a) Determina basi ed equazioni di V, W, V + W, V W al variare di h R. Posto h = 2 b) studia l applicazione lineare f : V W cosí definita: F (xv 1 + yv 2 + zv 3 ) = ( 2x y + kz)w 1 + (2x + y)w 2 + kzw 3, k R; c) prova che g = f V W é un endomorfismo di V W e scrivi una matrice associata a g; d) prova che g é semplice e trova una base di autovettori per V W.

7 Esame scritto di Algebra Lineare del 17/12/2002 Verifica che l insieme V = { p(x) R[x] 3 : p( 1) = 0, p(1) = 0} è un sottospazio vettoriale di R[x] 3. Trova una base di V. Date le matrici A, B M n (R) prova che: 1) se A è invertibile allora anche λa è una matrice invertibile per ogni λ R, λ 0; 2) se almeno una delle due matrici A, B non è invertibile allora A B non è invertibile. Se A e B sono entrambe invertibili è possibile che A + B sia non invertibile? Nello spazio vettoriale R 4 sono assegnati w 1 = (0, 0, 0, 1), w 2 = (0, 0, 1, 0), w 3 = (1, 1, 0, 0), W = L(w 1, w 2, w 3 ). 1) Studia al variare del parametro reale h l applicazione lineare f : W R 4 definita dalle relazioni: f(w 1 ) = (h + 1, h + 1, 0, 1), f(w 2 ) = (2, 2, 0, h), f(w 3 ) = (0, 0, 1, h + 1). 2)Prova che f induce per ogni valore di h un endomorfismo f : W W e scrivi una matrice associata a f. 3) Posto h = 1, prova che f è un endomorfismo semplice e trova una base di autovettori per W.