COGNOME e NOME... N. MATRICOLA...

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1 Prova d esame di Fondamenti di algebra lineare e geometria (mat.disp.) Laurea Triennale in Ingegneria dell energia 16/09/016 COGNOME e NOME... N. MATRICOLA... Quesiti preliminari di teoria Sono ammessi al più errori su 1. Qualora non si diano almeno nove risposte corrette su 1 il compito verrà considerato insufficiente (e non verrà corretto il resto dell elaborato). Il punteggio associato ai quesiti è meno il numero di domande sbagliate. Quesito 1. Determinare quali delle seguenti affermazioni sono vere per ogni W 1, W sottospazi vettoriali di V = R 5. (a) Se dim(w 1 ) + dim(w ) = 7 allora dim(w 1 W ) (b) Se dim(w 1 ) = dim(w ) = 1 allora dim(w 1 + W ) 4 (c) Se W 1 = W allora dim(w 1 W ) = 5 (d) Se W 1 W = {0} allora dim(w 1 ) + dim(w ) > 0 Quesito. Determinare quali delle seguenti affermazioni sono vere per ogni matrice A M 4, (R)? Sia f A l applicazione lineare associata ad A. (a) dim(imm(f)) 1 (b) dim(ker(f)) 1 (c) dim(imm(f)) (d) dim(ker(f)) Quesito. Determinare quali delle seguenti affermazioni sono vere per ogni n-upla di vettori v 1,..., v n R n. (a) Se i vettori v 1,..., v n sono a due a due ortogonali allora B = {v 1,..., v n } è una base ortonormale. (b) Se i vettori v 1,..., v n sono a due a due ortogonali allora la matrice che ha come colonne i vettori v 1,..., v n è una matrice ortogonale. (c) Se i vettori v 1,..., v n sono a due a due ortogonali allora la matrice che ha come righe i vettori v 1,..., v n è una matrice ortogonale. (d) Se la matrice che ha come righe i vettori v 1,..., v n è una matrice ortogonale allora B = {v 1,..., v n } è una base ortogonale. 1

2 Soluzione Quesiti Quesito 1: (a) (b) Quesito : (c) (d) Quesito : (d) Esercizio 1. (V. punti.) Dimostrare la seguente proposizione: Proposizione. Sia f un applicazione lineare da un K spazio vettoriale V ad un K spazio vettoriale W. Dimostrare che f è iniettiva se e solo se ker(f) = {0 V }.

3 Esercizio. (V. 4 punti.) Trovare le radici e decomporre in fattori di primo grado i seguenti polinomi: Soluzione p 1 (z) = p 1 (z) = z p (z) = z 6 z ( z ) ( ( z 1 )) ( ( + i z 1 )) i p (z) = ( z ) ( z ( (z + 1 ) (z )) (z i ( 1 )) i ( 1 + )) ( ( i z )) i

4 Esercizio. (V. 6 punti.) Risolvere il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z al variare di t R. ( t + t)(x + 1) + y = 0 z y = 1 t t ( t t)x + y z = t Soluzione Per t = 1 ci sono infinite soluzioni {( } z S t=1 =, z + 1, z) z R per t < 0 la soluzione è unica ( ) t 1 S t<0 =, 0, 1 t per t [0, 1) (1, ) non ci sono soluzioni. 4

5 Esercizio 4. (V. 6 punti.) Al variare di t R sia A t la matrice seguente: 1 t 1 t A t := 0 t (a) Determinare gli autovalori di A t e la loro molteplicità algebrica. (b) Per i valori di t per i quali esiste, determinare una matrice H GL tale che posto D := H 1 AH si abbia D matrice diagonale? Soluzione p(λ) = (1 λ)( λ) Gli autovalori sono λ 1 = 1 e λ = con molteplicità algebriche rispettivamente 1 e. La molteplicità geometrica di λ 1 = 1 mentre per λ vale la seguente uguaglianza: { 1 se t 1 m.g.(λ ) = se t = 1 Nel caso t 1 la matrice non si diagonalizza. CASO t = 1: V λ1 = (1, 0, 0) V λ = (1, 1, 0)(0, 0, 1) Una matrice H che diagonalizza A è la seguente: H =

6 Esercizio 5. (V. 4 punti.) Sia T il sottospazio di R 4 generato dai vettori v 1 = (0, 0,, 4), v = (1, 0, 0, 0) e v = (1,,, 4). (a) Determinare una base ortonormale per T. (b) Determinare la matrice A associata alla proiezione ortogonale sul sottospazio T. Soluzione Una possibile base ortonormale è B T = {u 1, u, u } è data dai seguenti vettori: ( u 1 = 0, 0, 5, 4 ) 5 u = (1, 0, 0, 0) u = (0, 1, 0, 0) La matrice A associata alla proiezione ortogonale è unica (non dipende dalla base trovata): a =

7 Esercizio 6. (V. 8 punti.) In A (R) sia π il piano descritto dall equazioni x+y+z =. Sia T la giacitura del piano π e sia W := T. Sia r 1 la retta passante per i punti A = (1,, ) e B = (1, 0, 1). Sia r la retta passante per il punto A e ortogonale a π. Sia P 1 il punto di intersezione tra r 1 e π. Sia infine P il punto di intersezione tra r e π. (a) Determinare un sistema lineare minimale per T. (b) Trovare una base per W. (c) Trovare una base per T. (d) Determinare un sistema lineare minimale per W. (e) Determinare un punto P A (R) e un vettore v R tali che r 1 = P + v,. (f) Determinare le coordiante del punto P 1. (g) Determinare le coordiante del punto P. (h) Calcolare la distanza tra il punto A e il piano π. Soluzione (a) x + y + z = 0 (b) B W = {(1, 1, 1)} (c) B{ T = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} x y = 0 (d) x z = 0 (e) r 1 = (1,, ) + (0,, 4) (f) P 1 = (1, 1, 1) (g) P = (0, 1, ) (h) dist(a, π) = 7