NOME COGNOME MATRICOLA CANALE

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1 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 1 1. Definire la nozione di base di uno spazio vettoriale. 2. Sia L un endomorfismo di uno spazio vettoriale V K di dimensione finita. Dimostrare che se esiste una base B di V K i cui elementi sono tutti autovettori di L, allora L è diagonalizzabile. 3. Si consideri l affermazione: Siano A e B due matrici quadrate ad elementi nel campo K. Se A è simile a B, allora det A = det B. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

2 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 2 1. Definire la nozione di coordinate di un vettore rispetto ad una base finita di uno spazio vettoriale. 2. Dimostrare che se un endomorfismo L di uno spazio vettoriale V K di dimensione finita è diagonalizzabile, allora esiste una base B di V K i cui elementi sono tutti autovettori di L. 3. Si consideri l affermazione: Siano A e B due matrici quadrate ad elementi nel campo K e λ un autovalore di A. Se A è simile a B, allora λ è un autovalore di B. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

3 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 3 1. Definire la nozione di famiglia (finita, non vuota) di vettori linearmente dipendente. 2. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza triangolare in uno spazio vettoriale euclideo. 3. Si consideri l affermazione: Siano A e B due matrici quadrate ad elementi nel campo K. Se A è simile a B e A è invertibile, allora anche B è invertibile. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

4 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 4 1. Definire la nozione di sottospazio generato da una famiglia (finita, non vuota) di vettori. 2. Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in uno spazio vettoriale euclideo. 3. Si consideri l affermazione: Siano A e B due matrici quadrate ad elementi nel campo K e X un autovettore di A. Se A è simile a B, allora X è un autovettore di B. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

5 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 1 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (a) Determinare il valore del numero complesso c C tale che α = (1 + i)/2 sia una radice del polinomio P (z) = 2z 4 + z 2 z + c. (b) Per tale valore di c determinare le altre radici di P (z). 2. Discutere il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale m e risolverlo solo per m = 0, esprimendone le soluzioni come varietà lineare: x + y + (1 m)z = m + 2 (1 + m)x y + 2z = 0 2x my + 3z = m È data la matrice A = (a) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. (b) Trovare r, s, t tali che H T A 2 H = diag(r, s, t), dove H è la matrice in (a). 4. Sono dati i tre punti P (1, 0, 1), Q( 1, 2, 0) e R(2, 2, 1) nello spazio cartesiano; con O(0, 0, 0) si indichi l origine. Trovare, se esistono, (a) l equazione di un piano π 1 contenente la retta OP e parallelo a QR, (b) l equazione di un piano π 2 contenente la retta OP e ortogonale a QR, (c) la distanza tra le rette OP e QR.

6 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 2 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (a) Determinare il valore del numero complesso c C tale che α = (1 i)/2 sia una radice del polinomio P (z) = 2z 4 + z 2 z + c. (b) Per tale valore di c determinare le altre radici di P (z). 2. Discutere il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale m e risolverlo solo per m = 0, esprimendone le soluzioni come varietà lineare: x + y + (1 m)z = m + 2 x (1 + m)y 2z = 0 mx 2y 3z = m È data la matrice A = (a) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. (b) Trovare r, s, t tali che H T A 2 H = diag(r, s, t), dove H è la matrice in (a). 4. Sono dati i tre punti P (0, 1, 1), Q( 2, 1, 0) e R( 2, 2, 1) nello spazio cartesiano; con O(0, 0, 0) si indichi l origine. Trovare, se esistono, (a) l equazione di un piano π 1 contenente la retta OP e parallelo a QR, (b) l equazione di un piano π 2 contenente la retta OP e ortogonale a QR, (c) la distanza tra le rette OP e QR.

7 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 3 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (a) Determinare il valore del numero complesso c C tale che α = (1 + i)/2 sia una radice del polinomio P (z) = 2z 4 + z 2 + z + c. (b) Per tale valore di c determinare le altre radici di P (z). 2. Discutere il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale m e risolverlo solo per m = 1, esprimendone le soluzioni come varietà lineare: x + y + (2 m)z = m + 1 mx y + 2z = 0 2x + (1 m)y + 3z = m È data la matrice A = (a) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. (b) Trovare r, s, t tali che H T A 2 H = diag(r, s, t), dove H è la matrice in (a). 4. Sono dati i tre punti P (1, 1, 0), Q( 1, 0, 2) e R(2, 1, 2) nello spazio cartesiano; con O(0, 0, 0) si indichi l origine. Trovare, se esistono, (a) l equazione di un piano π 1 contenente la retta OP e parallelo a QR, (b) l equazione di un piano π 2 contenente la retta OP e ortogonale a QR, (c) la distanza tra le rette OP e QR.

8 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 4 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (a) Determinare il valore del numero complesso c C tale che α = ( 1 + i)/2 sia una radice del polinomio P (z) = 2z 4 + z 2 + z + c. (b) Per tale valore di c determinare le altre radici di P (z). 2. Discutere il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale m e risolverlo solo per m = 1, esprimendone le soluzioni come varietà lineare: x + y + (2 m)z = m + 1 x my 2z = 0 (m 1)x 2y 3z = m È data la matrice A = (a) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. (b) Trovare r, s, t tali che H T A 2 H = diag(r, s, t), dove H è la matrice in (a). 4. Sono dati i tre punti P (0, 1, 1), Q( 2, 0, 1) e R( 2, 1, 2) nello spazio cartesiano; con O(0, 0, 0) si indichi l origine. Trovare, se esistono, (a) l equazione di un piano π 1 contenente la retta OP e parallelo a QR, (b) l equazione di un piano π 2 contenente la retta OP e ortogonale a QR, (c) la distanza tra le rette OP e QR.

9 Svolgimento del tema n.3 N.B.: Lo svolgimento è per sommi capi, negli elaborati da parte dei candidati si richiedono maggiori dettagli. 1. (a) Calcoliamo il quoziente della divisione di P (z) per z ( 1 2 i 2) : c 1 2 i 2 1 i i i i 1 + i 1 i c 1 Imponendo la divisibilità si ottiene c = 1. Quindi P (z) è un polinomio a coefficienti reali, una seconda radice è z 2 = ( i 2) e dividendo il quoziente precedente per z ( i 2) si ottiene 2 1 i 1 + i 1 i i i 1 i 1 + i // Per ricavare le altre due radici basta risolvere l equazione z 2 z + 1 = 0, da cui si ottengono ± i Trasformiamo la matrice completa del sistema: m m + 1 m H 21( m) H 2 1 m 3 m ( 2) m m m 1 m 2 2m + 2 m 2 m 32( 1) 0 m 1 2m 1 m m m m 1 m 2 2m + 2 m 2 m. (1) 0 0 m 2 + 4m 3 m 2 1 Se m = 1 con un ulteriore operazione si ottiene la matrice

10 e quindi il sistema ha 1 soluzioni. Se m 1 la matrice (1) è a scala. L elemento in riga 3 e colonna 3 si annulla se, e solo se, m = 1 o m = 3. Per m = 1 l ultima riga della matrice è ( ) e quindi il sistema è compatibile con 1 soluzioni. Per m = 3 l ultima riga è ( ) e quindi il sistema è incompatibile. Per m ±1, 3 il sistema ha soluzione unica. Il sistema corrispondente alla matrice (1) per m = 1 è { x + y = z + 2 2y = z 2 { x = 3 2 z + 1 y = z 2 + 1, dal quale si ottiene come soluzione la varietà lineare (1, 1, 0) + ( 3, 1, 2) 1 3. (a) Vale p A (t) = t(t 2 4t + 3) da cui si ottengono gli autovalori 0, 1 e 3. Con le solite procedure E A (0) = (1, 1, 1), E A (1) = (1, 0, 1), E A (3) = (1, 2, 1). I tre autovettori sono ortogonali; normalizzandoli e dispondendoli in colonne si ottiene H = (b) H T A 2 H = (H T AH)(H T AH) = diag(0, 1, 3) 2 = diag(0, 1, 9). 4. La retta OP ha equazioni cartesiane x 1 = y 1 = z 0 { x y = 0 z = 0; quindi il piano generico per OP ha equazione λx λy + µz = 0, (λ, µ) (0, 0). (2) I parametri direttori della retta QR sono le coordinate del vettore QR(3, 1, 0). (a) Imponendo il parallelismo attraverso la condizione al + bm + cn = 0 si ottiene 3λ λ = 0, ovvero λ = 0, µ 0 qualsiasi. Sostituendo in (2) si ottiene π 1 : z = 0. 1 Oppure (4, 0, 2) + ( 3, 1, 2).

11 ( ) l m n (b) Imponendo l ortogonalità con la condizione rk = 1, quindi rk = 1, si ottiene λ = µ = 0, non accettabile. Quindi non a b c ( ) λ λ µ esiste alcun piano π 2 con le proprietà richieste. (c) La distanza tra le due rette uguaglia dist(q, π 1 ) = 2 1 = 2.

12 Svolgimenti degli esercizi n.3 della parte teorica Tema 1. L affermazione è vera. Per ipotesi esiste C M(n n, K) invertibile tale che C 1 AC = B. Usando più volte il teorema di Binet sui determinanti, e sfruttando la commutatività del prodotto in K, si ottiene det B = det(c 1 AC) = (det C 1 )(det A)(det C) = = (det C 1 )(det C)(det A) = (det I n )(det A) = det A. Tema 2. L affermazione è vera. Per ipotesi esistono C M(n n, K) invertibile tale che C 1 AC = B e X M(n 1, K) non nulla tale che AX = λx. Poniamo Y = C 1 X. Allora Y O n 1, CY = X e BY = C 1 ACY = C 1 AX = C 1 λx = λc 1 X = λy. Quindi Y è un autovettore di B associato all autovalore λ. Tema 3. L affermazione è vera. Per ipotesi esiste C M(n n, K) invertibile tale che C 1 AC = B. Ricordando che il prodotto di matrici invertibili è una matrice invertibile e osservato che per ipotesi C 1, A e C sono invertibili, otteniamo che il loro prodotto, B, è una matrice invertibile. Tema 4. L affermazione è falsa. ( ) 0 1 Ad esempio, le matrici A = diag(0, 1) e B = sono simili, perchè 0 1 entrambe diagonalizzabili con autovalori distinti 0 e 1. Posto X = (0 1) T, vale AX = X e BX = (1 1) T, quindi X è autovettore di A, con autovalore 1, ma non di B.