GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 25 LUGLIO Compito A

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1 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 25 LUGLIO Compito A (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 definito da: f(x, y, z, t) = (2x + y + 3t, x + z, y + t, x + y + z + t). (a) Determinare una base e la dimensione dell immagine Im(f). (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f), precisando se f sia o meno un isomorfismo. (c) Ricavare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)} in partenza e in arrivo. (d) Stabilire se la matrice ricavata in (c) rappresenta un isometria. Svolgimento dell esercizio 1

2 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta s di equazioni rispettive: { x = 2t 1 π : x + y 2z 3 = 0 s : y = t 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta r perpendicolare a π e passante per il punto P (1, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta s; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra P ed s. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

3 Esercizio 3. Si considerino i sottoinsiemi di R 4 : U = {(x, y, z, t) R 4 x + 2z + t = 0, y t = 0} V = {(x, y, z, t) R 4 x y + z = 0, y + z + t = 0}. (a) Verificare che U e V sono sottospazi di R 4. (b) Determinare una base e la dimensione sia di U che di V. (c) Ricavare il sottospazio U + V, individuandone una base. (d) Stabilire se U + V sia o meno una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 3

4 Esercizio 4. Sia g : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: g(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + 2z, x + 2y + z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di g rispetto alla base canonica; (b) se g sia semplice o meno; (c) gli autospazi di g; (d) due matrici C, D R 3,3, con D diagonale, tali che CDC 1 = A. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 4

5 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 25 LUGLIO Compito B (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 definito da: f(x, y, z, t) = (2x + y + 3t, x + z, y + t, x + y + z + t). (a) Determinare una base e la dimensione dell immagine Im(f). (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f), precisando se f sia o meno un isomorfismo. (c) Ricavare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)} in partenza e in arrivo. (d) Stabilire se la matrice ricavata in (c) rappresenta un isometria. Svolgimento dell esercizio 1

6 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta s di equazioni rispettive: { x = 2t 1 π : x + y 2z 3 = 0 s : y = t 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta r perpendicolare a π e passante per il punto P (1, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta s; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra P ed s. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

7 Esercizio 3. Si considerino i sottoinsiemi di R 4 : U = {(x, y, z, t) R 4 x + 2z + t = 0, y t = 0} V = {(x, y, z, t) R 4 x y + z = 0, y + z + t = 0}. (a) Verificare che U e V sono sottospazi di R 4. (b) Determinare una base e la dimensione sia di U che di V. (c) Ricavare il sottospazio U + V, individuandone una base. (d) Stabilire se U + V sia o meno una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 3

8 Esercizio 4. Sia g : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: g(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + 2z, x + 2y + z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di g rispetto alla base canonica; (b) se g sia semplice o meno; (c) gli autospazi di g; (d) due matrici C, D R 3,3, con D diagonale, tali che CDC 1 = A. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 4

9 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 25 LUGLIO Compito C (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 definito da: f(x, y, z, t) = (2x + y + 3t, x + z, y + t, x + y + z + t). (a) Determinare una base e la dimensione dell immagine Im(f). (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f), precisando se f sia o meno un isomorfismo. (c) Ricavare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)} in partenza e in arrivo. (d) Stabilire se la matrice ricavata in (c) rappresenta un isometria. Svolgimento dell esercizio 1

10 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta s di equazioni rispettive: { x = 2t 1 π : x + y 2z 3 = 0 s : y = t 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta r perpendicolare a π e passante per il punto P (1, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta s; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra P ed s. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

11 Esercizio 3. Si considerino i sottoinsiemi di R 4 : U = {(x, y, z, t) R 4 x + 2z + t = 0, y t = 0} V = {(x, y, z, t) R 4 x y + z = 0, y + z + t = 0}. (a) Verificare che U e V sono sottospazi di R 4. (b) Determinare una base e la dimensione sia di U che di V. (c) Ricavare il sottospazio U + V, individuandone una base. (d) Stabilire se U + V sia o meno una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 3

12 Esercizio 4. Sia g : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: g(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + 2z, x + 2y + z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di g rispetto alla base canonica; (b) se g sia semplice o meno; (c) gli autospazi di g; (d) due matrici C, D R 3,3, con D diagonale, tali che CDC 1 = A. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 4

13 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 25 LUGLIO Compito D (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Si consideri l endomorfismo f : R 4 R 4 definito da: f(x, y, z, t) = (2x + y + 3t, x + z, y + t, x + y + z + t). (a) Determinare una base e la dimensione dell immagine Im(f). (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f), precisando se f sia o meno un isomorfismo. (c) Ricavare la matrice rappresentativa di f rispetto alla base B = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0)} in partenza e in arrivo. (d) Stabilire se la matrice ricavata in (c) rappresenta un isometria. Svolgimento dell esercizio 1

14 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta s di equazioni rispettive: { x = 2t 1 π : x + y 2z 3 = 0 s : y = t 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta r perpendicolare a π e passante per il punto P (1, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta s; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra P ed s. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

15 Esercizio 3. Si considerino i sottoinsiemi di R 4 : U = {(x, y, z, t) R 4 x + 2z + t = 0, y t = 0} V = {(x, y, z, t) R 4 x y + z = 0, y + z + t = 0}. (a) Verificare che U e V sono sottospazi di R 4. (b) Determinare una base e la dimensione sia di U che di V. (c) Ricavare il sottospazio U + V, individuandone una base. (d) Stabilire se U + V sia o meno una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 3

16 Esercizio 4. Sia g : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: g(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + 2z, x + 2y + z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di g rispetto alla base canonica; (b) se g sia semplice o meno; (c) gli autospazi di g; (d) due matrici C, D R 3,3, con D diagonale, tali che CDC 1 = A. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 4