(h + 1)y + hz = 1. 1 [5 punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: 2x 5 mod 3 3x 2 mod 5.

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1 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova scritta di Matematica Discreta ( CFU) 8 Luglio 08 [5 punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: x 5 mod x mod 5 A [5 punti] Determinare le eventuali coppie (x, y) Z verificanti l equazione 4x + 5y = [0 punti] Quanti sono i numeri naturali pari di 8 cifre aventi le prime tre cifre pari e in ordine crescente e le ultime due in ordine decrescente? Giustificare la risposta [0 punti] Determinare la cardinalità dell insieme delle soluzioni intere del seguente sistema: x + y + z = 0 0 x 4 y z > [0 punti] Risolvere, al variare del parametro reale h, il seguente sistema lineare: x + z = 0 hx + y + hz = (h + )y + hz = [0 punti] Determinare gli eventuali valori del parametro reale h per i quali la matrice 0 A = h h 0 h + h è invertibile Posto h =, determinare, se esiste, l inversa di A A [0 punti] Sia (Ω, P) uno spazio discreto di probabilità Di due eventi A e B è noto che P(A) = P(B) = e P(A B) = 4 Stabilire se gli eventi A e B sono indipendenti Calcolare P(A B A B)

2 B Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y Sia dato il triangolo di vertici A(, 0), B(0, ), C(6, 0) [5 punti] Determinare le equazioni delle mediane e le coordinate del baricentro G del triangolo ABC [4 punti] Determinare l equazione della retta r passante per O e G e poi determinare l equazione della retta s passante per O e ortogonale a r [ punti] Determinare le equazioni della simmetria assiale S s di asse s e trovare il trasformato del punto P(4, 5) mediante tale trasformazione Nello spazio si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y z Siano dati il punto A(, 0, ) e le due rette r : x y = z + = 0, s : x = y z = 0 (a) [6 punti] Dimostrare che r e s sono sghembe e determinare la retta ortogonale e incidente r e s (b) [6 punti] Determinare la distanza di A da r (c) [6 punti] Determinare la retta passante per A, incidente r e parallela al piano α : x y + z = 0 Sia dato l endomorfismo f : R R la cui matrice associata rispetto alla base canonica di R è 0 M( f ) = h, h B dove h è un parametro reale (a) [0 punti] Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso ker f e Im f e loro equazioni cartesiane (b) [8 punti] Determinare f (,, h + ) al variare di h (c) [ punti] Posto h = 0, stabilire, giustificando la risposta, se f è semplice In caso affermativo, scrivere una decomposizione spettrale D = P M( f ) P di M( f ) determinando le matrici D, P, P

3 8 Luglio 08 Traccia dello svolgimento A Dalla prima equazione si ottiene x = + λ, λ Z Sostituendo nella seconda tale espressione di x, si ottiene + 9λ mod 5 da cui λ mod 5, cioè λ = + 5µ, µ Z Di conseguenza x = + ( + 5µ) = 4 + 5µ Si conclude quindi che tutte e sole le soluzioni del sistema sono i numeri interi x tali che x 4 mod 5 Le soluzioni dell equazione assegnata sono tutte e sole le coppie ( 5t, 4t + ), al variare di t Z I numeri richiesti sono C 4, 0 C 0, = ( 4 ) 0 ( 0 ) Detta la cardinalità richiesta, essa risulta essere =, dove e sono, rispettivamente, le cardinalità delle soluzioni intere dei due sistemi seguenti: x + y + z = 0 x + y + z = 0 x 0 x 5 (I), (II) y y z z che, con ovvie posizioni, sono equivalenti ai seguenti: X + Y + Z = 6 X + Y + Z = X 0 X 0 (I), (II) Y 0 Y 0 Z 0 Z 0 Quindi ( ) = C (r) 8,6 C(r), = ( ) A Il determinante della matrice dei coefficienti è h + h Se h = 0 e h =, il sistema è determinato (l unica soluzione è ( (h+) h +h, h+, h ) e può essere determinata avvalendosi, ad esempio, della regola h +h di Cramer) Se h = 0 o se h = il sistema è impossibile Essendo det A = h + h, la matrice A è invertibile se e solo se h = 0 e h = Posto h =, risulta: 0 A = 0 0

4 Si ha P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = 4 = 4 Quindi P(A B) = 4 = P(A) P(B) = ( ) Ciò prova che gli eventi A e B sono indipendenti Si ha P(A B) P(A B A B) = P(A B) = 4 = 4 B Il punto medio del lato BC ha coordinate M (, ) e la mediana relativa a tale lato ha equazione x 4y + = 0; il punto medio del lato AC ha coordinate M (, 0) e la mediana relativa a tale lato ha equazione x + y = 0; il punto medio del lato AB ha coordinate M (, ) e la mediana relativa a tale lato ha equazione x + 5y 6 = 0 Il baricentro è il punto G(, ) r : y = x; s : y = x Detto P(x, y) un generico punto del piano e denotato con P (x, y ) il suo corrispondente nella simmetria assiale S s, devono essere verificate le condizioni y y x x = y + y = x +, x da cui, risolvendo rispetto a x e y, si trae x = y y = x Inoltre, S s (P) = ( 5, 4) (a) Essendo 0 0 det = = 0, 0 0 le rette r e s sono sghembe (perché?) Inoltre: x = a x = 0 r : y = a, a R, s : y = b z = z = b, b R Un generico punto A r ha coordinate A(a, a, ) e un generico punto B s ha coordinate B(0, b, b) Da ciò segue che AB = ( a, b a, b + ) Imponendo la condizione di ortogonalità di tale vettore con i vettori di direzione di r e di s, si perviene al sistema a + (b a) + (b + ) 0 = 0 a 0 + (b a) + (b + ) = 0 la cui unica soluzione è (a, b) = (, ) Di conseguenza A(,, 0) e B(0,, ) La retta

5 richiesta è la retta passante per A e B: x + = y + + da cui x + y + = 0 y + z + 4 = 0 = z + +, (b) Il piano passante per A e ortogonale a r ha equazione x + y = 0 L intersezione di tale piano con r è il punto H(,, ) e quindi d(a, r) = d(a, H) = (c) Il piano β passante per A e parallelo ad α ha equazione β : x y + z = 0 La retta richiesta appartiene a β ed è incidente r, dunque r e β si devono intersecare intersezione è il punto P(4, 4, ) La retta richiesta è la retta passante per A e P: x 4 = y = z cioè 4x y 4 = 0 y + z = 0 Tale B (a) Si ha det M( f ) = h h Se h = e h = 0, f è un isomorfismo, quindi Im f = R e ker f = (0, 0, 0)} Se h =, si ha dim Im f =, Im f = (,, ), (0,, ) e l immagine di f ha equazione x y z = 0 Infine, dim ker f =, ker f = (, 0, ) e il nucleo di f ha equazioni cartesiane x + z = 0 y = 0 Se h = 0, si ha dim Im f =, Im f = (,, ), (0, 0, ) e l immagine di f ha equazione x y = 0 Infine, dim ker f =, ker f = (,, ) e il nucleo di f ha equazioni cartesiane x + y = 0 y z = 0 (b) Occorre risolvere, al variare di h R, il sistema x + z = x + hy + z = x + y hz = h + Se h = e h = 0, tale sistema ammette una ed una sola soluzione e risulta ( h f (,, h + ) = + h + h(h + ), )} h, h h(h + ) Se h = e h = 0, il sistema è impossibile e quindi f (,, h + ) = (c) Per h = 0, si trova che il polinomio caratteristico associato a f è: p(t) = det(m( f ) ti ) = t(t + )(t ) Si hanno dunque i tre autovalori reali distinti t = 0, t = e t = e quindi f è semplice ed è possibile realizzare una decomposizione spettrale della matrice M( f ) Determiniamo gli autospazi relativi agli autovalori trovati

6 Banalmente V 0 = ker f e quindi V 0 = (,, ) Inoltre, Infine, V = ker(m( f ) + I ) = (,, ) V = ker(m( f ) I ) = (,, ) Ne viene che, ad esempio (per esercizio, individuare un altra scelta di D e quindi di P), D = 0 0, P =, P 0 =

7 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova scritta unica di Matematica Discreta ( CFU) 8 Luglio 08 [ punti] Determinare le eventuali soluzioni del seguente sistema di congruenze: x 5 mod x mod 5 [ punti] Determinare le eventuali coppie (x, y) Z verificanti l equazione 4x + 5y = [4 punti] Quanti sono i numeri naturali pari di 8 cifre aventi le prime tre cifre pari e in ordine crescente e le ultime due in ordine decrescente? Giustificare la risposta Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y Sia dato il triangolo di vertici A(, 0), B(0, ), C(6, 0) [ punti] Determinare le equazioni delle mediane e le coordinate del baricentro G del triangolo ABC [ punti] Determinare l equazione della retta r passante per O e G e poi determinare l equazione della retta s passante per O e ortogonale a r [ punti] Determinare le equazioni della simmetria assiale S s di asse s e trovare il trasformato del punto P(4, 5) mediante tale trasformazione 4 Nello spazio si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y z Siano dati il punto A(, 0, ) e le due rette r : x y = z + = 0, s : x = y z = 0 (a) [ punti] Dimostrare che r e s sono sghembe e determinare la retta ortogonale e incidente r e s (b) [ punti] Determinare la distanza di A da r (c) [ punti] Determinare la retta passante per A, incidente r e parallela al piano α : x y + z = 0 5 Sia dato l endomorfismo f : R R la cui matrice associata rispetto alla base canonica di R è 0 M( f ) = h, h dove h è un parametro reale (a) [ punti] Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso ker f e Im f e loro equazioni cartesiane (b) [ punto] Determinare f (,, h + ) al variare di h (c) [ punti] Posto h = 0, stabilire, giustificando la risposta, se f è semplice In caso affermativo, scrivere una decomposizione spettrale D = P M( f ) P di M( f ) determinando le matrici D, P, P

8 8 Luglio 08 Traccia dello svolgimento Per la risoluzione, si faccia riferimento allo svolgimento degli esercizi assegnati nella prova completa di integrazione