Esercizi di Algebra II

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1 Esercizi di Algebra II 18 Novembre 2016 # 6 Esercizio 1. Siano a := 4+13i, b := 8+i Z[i]. Determinare q, r Z[i] tali che a = bq + r con r = 0 o rδ < bδ (dove δ denota l usuale funzione euclidea per Z[i]). Idea di risoluzione. Osserviamo innanzitutto che è possibile estendere la funzione euclidea δ a tutti i numeri complessi in modo canonico. Pertanto, per ogni x = α + iβ C, indicheremo con xδ il valore α 2 + β 2. Osserviamo inoltre che, per ogni x, y C, si ha (xy)δ = xδyδ (la verifica di ciò è banale). I numeri a e b, essendo interi di Gauss, sono in particolare numeri complessi e, poiché b 0, esiste b 1 e appartiene a C (attenzione: non è detto che b 1 sia un intero di Gauss; al contrario questo non succede quasi mai). Allora banalmente vale a = a 1 = a (b b 1 ) = (a b 1 ) b. Costruiamo così i numeri q ed r a partire da ab 1. Troviamo due numeri m ed n tali che: ab 1 = m + n, m Z[i], n C e n = 0 oppure nδ < 1. A questo punto, poniamo q := m e r := bn. Così si avrà a = (a b 1 ) b = (m + n)b = mb + nb = qb + r e se n = 0 allora r = bn = 0, altrimenti rδ = (nb)δ = nδbδ < nδ<1 1 bδ

2 e quindi l esercizio sarà risolto. Soluzione. Si ha che b 1 = i e che ab 1 = (4 + 13i)( i) = i. Possiamo scrivere il numero i come i 6 i, quindi, posti m := 1 + 2i e n := 4 6 i, si ottiene che ab 1 = m + n e che nδ < 1. Poniamo infine q := m e r := bn = 2 4i per ottenere la tesi. Esercizio 2. Siano a := i, b := 8 + i Z[i]. Determinare un massimo comune divisore di a e b. interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ. Soluzione. Per deteminare un massimo comune divisore applichiamo l algoritmo di Euclide. Dall esercizio precedente abbiamo ricavato che a = b(1 + 2i) + ( 2 4i). Ora, applicando l algoritmo di Euclide, il divisore diventa il dividendo e il resto diventa divisore. Dobbiamo determinare quindi q, r tali che b = q r + r con r = 0 o r δ < rδ. Procedendo come nell esercizio precedente si ricava q = ( i + i) e r = (2 i), cioè che b = ( 1 + i)r + (2 i). Continuando ad applicare l algoritmo di Euclide, bisogna ora trovare q, r tali che r = (2 i)q + r. Facendo attenzione ai numeri in questione (oppure applicando ancora il ragionamento del primo esercizio), si ottiene che r = 2ir, cioè che q = 2i e r = 0. Ricapitolando, abbiamo trovato a = b(1 + 2i) + ( 2 4i) b = ( 1 + i)r + (2 i) 2

3 r = 2ir Per il teorema dell algoritmo di Euclide, 2 i = r è un massimo comune divisore fra a e b. Idea per trovare due interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ. Mettiamoci in una situazione più generale e supponiamo che abbiamo applicato l algoritmo di Euclide per trovare un massimo comune divisore fra due numeri a n e b n. Allora a n = b n c n + b n 1 b n = b n 1 c n 1 + b n b 3 = b 2 c 2 + b 1 b 2 = b 1 c 1 + b 0 b 1 = b 0 c 0. Per il teorema dell algoritmo di Euclide si ottiene che b 0 è un massimo comune divisore. I passi per ricavare due interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ sono i seguenti: 1) Ricavare il massimo comune divisore dalla penultima equazione dell algoritmo di Euclide (in questo caso si avrebbe b 0 = b 2 b 1 c 1 ); 2) Ricavare il resto della terzultima divisione (in questo caso sarebbe b 3 = b 2 c 2 + b 1, da cui si ricava b 1 = b 3 b 2 c 2 ) e sostituirlo nella relazione dove è stato ricavato il massimo comune divisore (nel nostro caso sarebbe b 0 = b 2 b 1 c 1 = b 2 (b 3 b 2 c 2 )c 1 ); 3) Iterare il procedimento visto nel punto 2) alla quartultima divisione, alla quintultima... fino ad arrivare alla prima. Osservazione. Se siete fortunati e nell algoritmo euclideo avete solo due divisioni, i coefficenti β e γ si trovano applicando solamente il primo punto. Applichiamo quanto appena visto in questo esercizio. Nel primo passaggio si ottiene 2 i = b ( 1 + i)r. Ricaviamo quindi il resto della terzultima divisione (cioè a = b(1 + 2i) + ( 2 4i), da cui otteniamo 2 4i = a b(1+2i)) e sostituiamolo nella relazione del massimo comune divisore. A quel punto l esercizio sarà completo, poiché la terzultima 3

4 divisione è anche la prima. Si ha quindi 2 i = b ( 1 + i)r = b ( 1 + i)(a b(1 + 2i)) = b[1 ( 1 + i)(1 + 2i)] a( 1 + i) ponendo quindi β := ( 1 + i) e γ := [1 ( 1 + i)(1 + 2i)] si completa l esercizio. Esercizio 3. Siano a := 5+i, b := 2 4i Z[i]. Determinare un massimo comune divisore di a e b. interi di Gauss β e γ tali che α = aβ + bγ. Esercizio 4. Determinare un massimo comune divisore in Z/7Z fra i polinomi f := 3x 3 x 2 + 6x 2 e g := x 2 x + 1. polinomi β e γ in Z/7Z tali che α = fβ + gγ. Soluzione. Applicando l agoritmo di Euclide si ottiene f = g(3x + 2) + (5x 4); g = (5x 4)(3x + 5). Per il teorema dell algoritmo di Euclide 5x 4 è un massimo comune divisore fra f e g. Per trovare due polinomi β e γ in Z/7Z tali che α = fβ + gγ, anche qui basta applicare le stesse idee dell esercizio 2 applicandole al caso dei polinomi. In questo caso, comunque, avendo solo 2 divisioni basta ricavare il massimo comune divisore dalla prima (in altre parole, basta svolgere solo il punto 1) dell idea spiegata nell esercizio 2). Si ottiene quindi f g(3x + 2) = (5x 4). Pertanto, ponendo β := 1 e γ := (3x + 2), si completa l esercizio. Esercizio 5. Fornire un esempio di ideale primo (possibilmente non banale) non massimale. 4

5 Soluzione. In Z[x], sia H l ideale formato dai polinomi aventi termine noto uguale a 0. Per un esercizio visto la scorsa volta, Z[x]/H = Z. Poiché Z è un dominio d integrità ma non un campo, allora Z[x]/H è un dominio d integrità che non è un campo e per una proposizione vista nel corso di Algebra II H è un ideale primo (chiaramente non banale) ma non è un ideale massimale. Esercizio 6. Mostrare che vale l uguaglianza U(Z[i]) = {1, 1, i, i} (in altre parole, provare che gli unici elementi moltiplicativamente invertibili di Z[i] sono 1, 1, i e i). 5