z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10

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1 Esercizio 1. Sia z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 un numero intero (la notazione significa che le cifre con cui rappresento z in base 10 sono a 4,..., a 0 {0, 1,..., 9}, ecioè z = a a a a 1 10+a 0 ). Dimostrare che z divisibile per 8 4a 2 +2a 1 + a 0 è divisibile per 8 (1) Sfruttare questo criterio per dire se e 6784 sono divisibili per 8. Risposta. Calcoliamo i resti della divisione di una potenza di 10 per 8: 10 2 (mod8) (mod8) (mod8) (mod8) (2) ecc. (dalla terza in poi tutte le potenze di 10 sono divisibili per 8); notate che le (2) si ottengono facilmente dalla prima sfruttando il fatto che due congruenze modulo uno stesso numero si possono moltiplicare membro a membro (ad esempio: la seconda si ottiene moltiplicando la prima per sè stessa membro a membro: (mod 8); la terza si ottiene moltiplicando membro a membro prima e seconda e ricordando che 8 0 (mod 8), ecc.). Sempre tenendo conto del fatto che le congruenze (modulo uno stesso numero!) si possono moltiplicare e sommare tra loro membro a membro, ottengo dalle (2) le seguenti: a a 1 (mod 8) a a 2 (mod 8) a (mod8) a (mod8) (3) a cui aggiungo la congruenza banale Sommando membro a membro le (3), (4) ottengo: a 0 a 0 (mod 8) (4) z = a a a a a 0 4a 2 +2a 1 + a 0 (mod 8), da cui segue la (1). Applichiamo (1) al numero In questo caso a 4 =5,a 3 =1,a 2 =6, a 1 =1,a 0 = 4. Quindi 4a 2 +2a 1 + a 0 = = 30, 1

2 che non è divisibile per 8; di conseguenza, per la (1), non lo è nemmeno Nel caso di 6784, si ha che (a 4 =0e)a 3 =6,a 2 =7,a 1 =8,a 0 = 4; quindi 4a 2 +2a 1 + a 0 = = 48, che è divisibile per 8, per cui lo è anche Esercizio 2. Trovare il massimo comun divisore di 1638 e 255. Risposta. Dividiamo 1638 per 255: 1638 = Per l algoritmo di Euclide, M.C.D (1638, 255) = M.C.D (255, 108); riapplichiamo l algoritmo alla nuova coppia di numeri: 255 = Quindi M.C.D (255, 108) = M.C.D (108, 39); riapplichiamo l algoritmo: 108 = Quindi M.C.D (108, 39) = M.C.D (39, 30) = 3, che è quindi anche il M.C.D. dei due numeri iniziali. Esercizio 3. Trovare l inverso del numero complesso a + ib 0. Risposta. L inverso x + iy deve soddisfare la condizione (a + ib)(x + iy) =1, cioè, sviluppando il prodotto (e ricordando che i 2 = 1) ax by + i (bx + ay) =1 cioè separando parte reale e immaginaria: { ax by =1 bx + ay =0 (5) Il sistema lineare (5) nelle incognite x, y ammette un unica soluzione. Infatti la matrice dei coefficienti ha determinante a b b a = a2 + b 2 0 (se fosse uguale a zero sarebbe a = b = 0, contro l ipotesi che a + ib sia non nullo). Applicando la regola di Cramer si ottiene: 1 b 0 a a x = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 2

3 e Quindi a 1 b 0 y = a 2 + b 2 = b a 2 + b 2 (a + ib) 1 = a ib a 2 + b 2 Esercizio 4. Sia (G, ) un gruppo e sia X un suo sottoinsieme. Sia C (X) l insieme degli elementi di G che commutano con tutti gli elementi di X, cioè C (X) ={g G gx = xg x X} (6) Dimostrare che C (X) è un sottogruppo normale di G. Risposta. Innanzitutto, 1 C (X) (per definizione, 1 x = x 1=x). Siano ora g, h C (X); dimostriamo che g h C (X). Infatti, se x X allora: ghx = gxh = xgh (si è sfruttata l associatività di e la definizione (6)). Resta da dimostrare che, se g C (X), allora anche g 1 C (X). Infatti, dato un x X, moltiplicando siaadestracheasinistraperg 1 l uguaglianza si ottiene gx = xg xg 1 = g 1 x, cioè l asserto. Per dimostrare che C (X) è un sottogruppo normale basta mostrare (v. appunti sui gruppi) che, per ogni y G e per ogni h C (X) vale Ma questo è vero perchè x 1 hx C (X) x 1 hx = x 1 xh = h Esercizio 5. Risolvere il sistema di equazioni congruenziali { x 3 (mod 5) x 2 (mod 6) (7) Risposta. Essendo 5 e 6 primi fra loro, per il teorema cinese del resto il sistema (7) ammette una soluzione. Più precisamente, se x è una soluzione 3

4 fissata di (7) ogni altra soluzione y è della forma y = x + h 5 6=x +30h, con h Z. Si tratta quindi di trovare una soluzione x. Dalla prima delle (7) segue che una soluzione x deve essere della forma x = 3+5t per qualche t intero. Sostituendo quest espressione di x nella seconda delle (7) si ottiene cioè ossia 3+5t 2 (mod 6) 5t 1(mod6) 5t = 1 =5 chehalasoluzionet = 1. Quindi la soluzione particolare cercata è x =3+5 1 = 8, e la soluzione generale è al variare di h in Z. y =8+30h, Esercizio 6. decimale è 152. Rappresentare in base 3 il numero la cui rappresentzione Risposta. come segue. Le cifre da usare per la rappresentazione sono 0, 1, 2. Si procede 1. Divido 152 per 3 : 152 = Il resto 2 è l ultima cifra della rappresentazione in base 3 di 152. Poichè il quoziente, 50, è maggiore di 3 bisogna continuare 2. Divido 50 per 3: 50 = Il resto 2 è la penultima cifra della rappresentazione in base 3; poichè il quoziente 16 è maggiore di 3 bisogna continuare 3. Divido 16 per 3: 16 = Quindi 1 è la terzultima cifra della rappresentazione in base 3. Poichè 5 è maggiore di 3 dobbiamo continuare 4

5 4. Divido 5 per 3: 5= è la quartultima cifra e, essendo stavolta il quoziente 1 minore di 3, esso è la prima cifra della rappresentazione di 152 in base 3. Quindi, in definitiva, tale rappresentazione è: 152 = [12122] 3 Controlliamo se il risultato è corretto. Cerchiamo di capire perchè la procedura appena esposta funziona. Chiamiamo z il numero da rappresentare in base b (nel nostro caso z è 152 e b è3). z è compreso fra due potenze successive della base b; nel nostro caso b 4 z<b 5 Quindi z è rappresentato in base b da una stringa di 5 cifre comprese fra 0 e b 1 (nel nostro caso 0, 1, 2): cioè che si può riscrivere con z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] b (8) z = a 4 b 4 + a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b + a 0 z = b z 1 + a 0, z 1 = a 4 b 3 + a 3 b 2 + a 2 b + a 1 (9) Quindi l ultima cifra a 0 nella rappresentazione (8) di z in base b è il resto della divisione di z per b. Per ottenere a 1 divido z 1 per b: con z 1 = b z 2 + a 1, z 2 = a 4 b 2 + a 3 b + a 2 cioè a 1 è il resto della divisione di z 1 per b. Ecc. ecc... (a questo punto dovreste aver capito come funziona). Esercizio 7. SiaS 8 il gruppo simmetrico su 8 oggetti (cioè il gruppo delle permutazioni di X 8 = {1, 2,..., 8}) esiag S 8 l elemento g =(1357) (237) 5

6 a) Si scriva g come prodotto di cicli digiunti. b) Si cacoli g 1 Risposta. g = h f,dovef =(237)eh = ( ). Calcoliamo le immagini successive di 1 mediante g: g (1) = h (f (1)) = h (1) = 3 g (3) = h (f (3)) = h (7) = 1 Quindi (1 3) è il primo ciclo nella scomposizione di g in cicli disgiunti. Vediamo ora che succede con le immagini successive di 2: g (2) = h (f (2)) = h (3) = 5 g (5) = h (f (5)) = h (5) = 7 g (7) = h (f (7)) = h (2) = 2 Quindi il secondo ciclo della decomposizione di g è (2 5 7). Vediamo che succede con le immagini successive di 4: g (4) = h (f (4)) = h (4) = 4 Quindi 4 è fisso rispetto a g. Vediamo che succede con le immagini successive di 6: g (6) = h (f (6)) = h (6) = 6 Quindi anche 6 è fisso, e di conseguenza anche 8 è fisso (è l unico elemento di X 8 rimasto libero). In definitiva: Calcoliamo g 1 : g =(13) (2 5 7) g 1 =(257) 1 (1 3) 1 = =(527) (1 3) Esercizio 8. Trovare le (eventuali) soluzioni in Z dell equazione lineare in due incognite 4x 3y + 5 = 0 (10) Risposta. La (10) può essere riscritta così: 4x = 5+3y 6

7 da cui segue che 4x 5(mod3) ovvero 4 x = 1, (11) dove con la barra indico la classe di congruenza modulo 3; ma 4=1, perchè 4 1è divisibile per 3, per cui la (11) mi dà: cioè x deve essere della forma x = 1, x =1+3h, h Z (12) Sostituiamo questa espressione di x nella (10) e determiniamo y: cioè da cui 4 (1 + 3h) 3y +5=0 3y =9+12h =3 (3 + 4h) y =3+4h (13) Quindi, affinchè la coppia di numeri interi (x, y) sia soluzione di (10) è necessario che x e y siano rispettivamente della forma (12) e (13) per qualche h Z. D altra parte, è immediato verificare che, sostituendo le espressioni (12) e (13) in (10), questa è identicamente soddisfatta. Quindi, in definitiva, le soluzioni di (10) sono tutte e sole le coppie (1 + 3h, 3+4h), al variare di h in Z. 7