Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica

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1 Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo Teramo, 3 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 1 / 13

2 Matematica olimpica delle gare a squadre ALGEBRA Insiemi numerici, valore assoluto, parte intera, Prodotti notevoli, fattorizzazioni, manipolazioni algebriche Equazioni e sistemi Disuguaglianze algebriche Progressioni aritmetiche e geometriche Successioni, funzioni e serie Somme e prodotti finiti Polinomi Numeri complessi Equazioni funzionali USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 2 / 13

3 Polinomi Definizioni base Principio di identità dei polinomi Algoritmo della divisione Teorema del resto e teorema di Ruffini Teorema fondamentale dell algebra Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi Formule di Viète Formule di Girard-Newton USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 3 / 13

4 Definizione base Sia K un anello (K = Z,Q,R,C) e siano a 0,a 1,...a n K. Si dice polinomio di grado n un espressione del tipo p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, a n 0 I numeri a i sono detti i coefficienti del polinomio. Il polinomio p(x) è detto a coefficienti in K e si scrive p(x) K[x]. I coefficienti a n, a 0 sono chiamati rispettivamente coefficiente direttore e termine noto del polinomio. Se a n = 1 il polinomio di dice monico. USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 4 / 13

5 Funzioni polinomiali Si dice funzione polinomiale associata al polinomio p(x) la funzione p : R R definita da: p(a) = a n a n +a n 1 a n 1 + +a 1 a+a 0, a R L equazione p(x) = 0 si dice equazione (polinomiale) associata al polinomio p(x). Un numero reale a si dice una radice del polinomio p(x) se p(a) = 0. Si dice molteplicità della radice a un numero intero positivo m tale che p(x) è divisibile per (x a) m, ma non per (x a) m+1. USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 5 / 13

6 Algoritmo della divisione Dati due polinomi f(x),g(x) K[x] esistono due (unici) polinomi q(x) e r(x) tali che: f(x) = g(x) q(x)+r(x) r(x) = 0 oppure deg(r(x)) deg(g(x)) I polinomi q(x) ed r(x) si chiamano rispettivamente quoziente e resto della divisione. Se r(x) = 0 diciamo che g(x) divide f(x). USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 6 / 13

7 Teorema del resto e teorema di Ruffini Teorema del resto. Dato un polinomio p(x) K[x] e un numero reale a, il resto della divisione di p(x) per (x a) è uguale a p(a). Teorema di Ruffini. Un polinomio p(x) K[x] è divisibile per un binomio del tipo x a se e solo se p(a) = 0. Corollario. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi e siano a,b Z. Allora a b divide p(a) p(b). USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 7 / 13

8 Teorema fondamentale dell algebra Teorema fondamentale dell algebra. Un polinomio p(x) C[x] di grado n ammette n radici nel campo complesso (contate con le rispettive molteplicità). Corollario. Se x 1,x 2,...,x n sono le radici del polinomio p(x), contate con la rispettiva molteplicità, allora p(x) si può scomporre in fattori lineari nel modo seguente p(x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) e tale rappresentazione è unica a meno dell ordine dei fattori. Principio di identità dei polinomi. Se due polinomi p(x),q(x) K[x] di grado minore o uguale a n assumono lo stesso valore in n+1 punti distinti, allora sono identici, il che significa che hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti. USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 8 / 13

9 Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi Se p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, a n 0 è un polinomio a coefficienti interi ed α = p/q è una radice razionale di p(x) ridotta ai minimi termini, allora p è un divisore del termine noto a 0 e q è un divisore del coefficiente direttore a n. USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 9 / 13

10 Relazioni tra le radici e i coefficienti Sia p(x) = ax 2 +bx+c un polinomio di secondo grado e siano x 1,x 2 le sue radici (in generale complesse), contate con la loro molteplicità. Allora σ 1 = x 1 +x 2 = b a σ 2 = x 1 x 2 = c a USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 10 / 13

11 Relazioni tra le radici e i coefficienti Sia p(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d un polinomio di terzo grado e siano x 1,x 2,x 3 le sue radici (in generale complesse), contate con la loro molteplicità. Allora σ 1 = x 1 +x 2 +x 3 = b a σ 2 = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 = c a σ 3 = x 1 x 2 x 3 = d a USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 11 / 13

12 Relazioni tra le radici e i coefficienti Formule di Viète Sia p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x 1,x 2,...,x n le sue radici (in generale complesse), contate con la loro molteplicità. Allora σ 1 = x 1 +x 2 + +x n = a n 1 a n σ 2 = x 1 x 2 +x 1 x 3 + +x n 1 x n = a n 2 a n σ 3 = x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 4 + +x n 2 x n 1 x n = a n 3 a n σ n = x 1 x 2 x n = ( 1) na 0 a n USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 12 / 13

13 Formule di Girard-Newton Anche le somme di potenze delle radici hanno delle regolarità, infatti se poniamo: abbiamo il seguente teorema: S k = x k 1 +x k 2 + +x k n Formule di Girard-Newton. Sia p(x) = a 0 x n +a 1 x n 1 +a 2 x n 2 + +a n 1 x+a n un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x 1,x 2,...,x n le sue radici (in generale complesse), ripetute con la loro molteplicità. Allora per ogni k > 0 abbiamo: a 0 S k +a 1 S k 1 +a 2 S k 2 + +a k 1 S 1 +ka k = 0 avendo posto a j = 0 per j > n. USR Abruzzo - PLS , Formazione Docenti, LS Einstein TE 13 / 13