Polinomi. Docente: Francesca Benanti. 16 Febbraio 2007

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1 Polinomi Docente: Francesca Benanti 16 Febbraio L Anello dei Polinomi Lo studio dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in un campo è posto immediatamente dopo lo studio degli interi poichè la struttura algebrica dell insieme dei polinomi a coefficienti in un campo è simile alla struttura algebrica dell insieme degli interi, nel senso che gran parte delle definizioni e proprietà che abbiamo visto nel caso degli interi si possono dare in modo pressochè invariato nel caso dei polinomi. L educazione scolastica impone lo studio dei polinomi già a livello della scuola media inferiore. La moltiplicazione tra polinomi, la divisione tra due polinomi, la fattorizzazione di un polinomio, la semplificazione di polinomi costituiscono parte integrante dell educazione matematica di uno studente. Introduciamo, dunque, formalmente la nozione di polinomio in una indeterminata a coefficienti in un campo. Definizione: Sia K un campo, si definisce polinomio f(x) nell indeterminata x a coefficienti nel campo K una espressione formale del tipo f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n dove a i K, i = 1,... n. Gli elementi a i, i = 1,... n sono detti coefficienti del polinomio f(x). 1

2 f(x) = 5 + x 7x 2 + 3x 3 4x 8 polinomio a coefficienti razionali; f(x) = 5 + 3x 3 polinomio a coefficienti reali. f(x) = i + x 2 polinomio a coefficienti complessi. Definizione: Sia f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n un polinomio nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Si definisce grado di f(x) l intero n, se a n 0, e si scrive gr(f(x)) = n. Il coefficiente a n 0 è detto coefficiente principale o direttivo di f(x). Sia f(x) = 5 + x 7x 2 + 3x 3 4x 8, allora gr(f(x)) = 8; Sia f(x) = 5 + 3x 3, allora gr(f(x)) = 3; Sia f(x) = i + x 2, allora gr(f(x)) = 2; Sia f(x) = 45, allora gr(f(x)) = 0. Osservazione: Si noti che il grado di un polinomio costante f(x) = a 0 è zero. Al polinomio nullo f(x) = 0 K non si attribuisce in genere un grado. Definizione: Un polinomio con un solo termine è detto monomio, con due termini binomio, con tre termini trinomio, e così via. f(x) = +2x, f(x) = 2x 8, f(x) = 9 sono monomi; f(x) = +2x x 4, f(x) = 2x 8 + 1, f(x) = 9 x sono binomi; f(x) = +2 3x 2 x 4, f(x) = 2x x, f(x) = 9 x + x 5 sono trinomi.

3 Definizione: Si indica con K[x] = {f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n a i K, n N} l insieme di tutti i polinomi nell indeterminata x a coefficienti nel campo K. Osservazione: Due polinomi di K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m sono uguali se e solo se a i = b i, i (in particolare se m > n, allora b n+1 = b n+2 = = b m = 0). Introduciamo adesso in K[x] due operazioni: l Addizione e la Moltiplicazione. Definizione: Dati due polinomi in K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Si definisce, (se n m), f(x)+g(x) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 + +(a n +b n )x n Esempio: f(x) = 2 3x 2 x 4, g(x) = 1 x + x 2, Allora f(x) + g(x) = (2 3x 2 x 4 ) + (1 x + x 2 ) = 3 x 2x 2 x 4 Osservazione: L addizione tra polinomi gode delle seguenti proprietà:

4 Associativa; 0 K[x] = 0 K è l elemento neutro; Commutativa; Ogni polinomio f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ha il suo simmetrico che è dato dal polinomio f(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2 + a n x n. (K[x], +) è un gruppo abeliano Definizione: Dati due polinomi in K[x] f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n e g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Si definisce, f(x) g(x) = = (a 0 b 0 )+(a 1 b 0 +a 0 b 1 )x+(a 2 b 0 +a 1 b 1 +a 0 b 2 )x 2 + +(a n b m )x n+m Esempio: f(x) = 2 3x 2 x 4, g(x) = 1 x + x 2, Allora f(x) g(x) = (2 3x 2 x 4 )(1 x + x 2 ) = = 2 2x + (2 3)x 2 + 3x 3 + (3 1)x 4 = 2 2x 1x 2 + 3x 3 + 2x 4 Osservazione: La moltiplicazione tra polinomi gode delle seguenti proprietà: Associativa; 1 K[x] = 1 K = 1 K + 0 K x + 0 K x 2 + è l elemento neutro;

5 Commutativa. (K[x], ) è un monoide commutativo Osservazione: Se f(x), g(x) e h(x) sono polinomi di K[x], allora vale la proprietà distributiva: [f(x) + g(x)]h(x) = f(x)h(x) + g(x)h(x) (K[x]; +, ) è un anello commutativo con unità 2 Divisibilità in K[x] Teorema (Algoritmo della divisione per i polinomi) Sia K un campo. Siano f(x), g(x) K[x] due polinomi, con g(x) 0. Allora esistono, e sono univocamente determinati, due polinomi q(x) e r(x) in K[x] tali che f(x) = g(x)q(x) + r(x) con r(x) = 0 oppure gr(r(x)) < gr(g(x)). q(x) è detto quoziente r(x) è detto resto Esempio: Consideriamo i due polinomi in Q[x] f(x) = x 6 + 4x 5 12x + 1 e g(x) = x 3 + 4x Determiniamo q(x) e r(x)

6 Allora q(x) = x 3 1 r(x) = 4x 2 12x + 2 Definizione: Si dice che un polinomio g(x) K[x] divide un polinomio di f(x) K[x], e si scrive g(x) f(x), se esiste q(x) K[x] tale che f(x) = g(x)q(x) Esempio: Consideriamo i seguenti polinomi in Q[x] Osserviamo che Dunque f(x) = x 4 2x g(x) = x 1 x 4 2x = (x 1)(x 3 + x 2 x 1) g(x) f(x) Teorema di Ruffini Se f(x) K[x] e α K è tale che f(α) = 0, allora (x α) f(x).

7 dimostrazione: Dividiamo f(x) per (x α). Si ha f(x) = (x α)q(x) + r(x) con gr(r(x)) < gr(x α) = 1. Dunque f(x) = (x α)q(x) + r con r K costante. Valutando in α, si ottiene 0 = f(α) = (α α)q(α) + r Dunque r = 0. Regola di Ruffini: Consideriamo f(x) = x 3 + 3x 2 6x 8 Q[x]. Osserviamo che f( 1) = = 0. Allora per il teorema di Ruffini f(x) è divisibile per x + 1, ossia esiste q(x) Q[x] tale che f(x) = x 3 + 3x 2 6x 8 = (x + 1)q(x). Determiniamo q(x) mediante la nota regola di Ruffini Allora e q(x) = x 2 + 2x 8 x 3 + 3x 2 6x 8 = (x + 1)(x 2 + 2x 8). Definizione: Un polinomio 0 f(x) K[x], con gr(f(x)) > 0, si dice irriducibile su K se f(x) = g(x)h(x) gr(g(x)) = 0 o gr(h(x)) = 0 dove g(x), h(x) K[x].

8 Se non è irriducibile, il polinomio si dice riducibile. f(x) = x 2 2 è irriducibile su Q; f(x) = x 2 2 è riducibile su R, infatti e x 2 R[x], x + 2 R[x] x 2 2 = (x 2)(x + 2) f(x) = 3x = 3(x 2 + 1) è irriducibile su R; f(x) = x 4 + 3x è riducibile su Q, infatti x 4 + 3x = (x 2 + 1)(x 2 + 2) Teorema di Fattorizzazione unica Ogni polinomio f(x) K[x] di grado positivo si fattorizza in un prodotto di un numero finito di polinomi irriducibili. Tale fattorizzazione è unica nel senso che, se f(x) = p 1 (x)p 2 (x) p s (x) = q 1 (x)q 2 (x) q t (x), con p i (x), q j (x) K[x], allora s = t e riordinando opportunamente i fattori p i (x) = aq i (x), con a K. 3 Scomposizione di un Polinomio I metodi utilizzati nelle scuole medie per la fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su Q sono i seguenti: Raccoglimento a fattor comune 3x 2 6x + 12xy = 3x(x 2 + 4y); 15a 3 b 2 5a 2 b + 20a 2 b 4 = 5a 2 b(3b 1 + 4b 3 ).

9 Raccoglimento a fattor parziale 3x + 6y 2x 2 4xy = x(3 2x) + 2y(3 2x) = = (3 2x)(x + 2y); ax a + x 1 = x(a + 1) (a + 1) = (a + 1)(x 1). Mediante Prodotti notevoli: a 2 b 2 = (a + b)(a b); a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 ; a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 ; a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c) 2 ; a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 ; a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = (a b) 3. Somma o Differenza di Cubi: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ); a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Trinomio di secondo grado: x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Mediante la Regola di Ruffini Esempio: x 3 + 3x 2 6x 8 = (x + 1)(x 2 + 2x 8).

10 4 Prodotti Notevoli Nella fattorizzazione di polinomi a coefficienti razionali in polinomi irriducibili su Q è spesso utili ricorrere a dei particolari prodotti noti come Prodotti Notevoli. Un Esempio Quadrato di un Binomio Indichiamo i generici termini con le lettere S e T. (S + T ) 2 = S 2 + T 2 + 2ST Verifica geometrica 5 Esercizi 1. Determinare quoziente e resto delle seguenti divisioni tra i polinomi f(x) e g(x) a coefficienti razionali: f(x) = 2x 3 + 5x 2 8x 1, g(x) = x + 3; f(x) = 4x 3 3x + 8, g(x) = x + 2; f(x) = 2x 4 2x 2 + 3x 1, g(x) = x 2 x Dati i due polinomi a coefficienti razionali verificare se g(x) divide f(x). f(x) = 9x 3 + x + 2 g(x) = 3x 2

11 3. Dati i due polinomi a coefficienti razionali verificare se g(x) divide f(x). f(x) = 2x 3 + 5x g(x) = x Utilizzando il teorema di Ruffini verificare se g(x) = x + 2 divide f(x) = x 3 2x 2 + 4x 5 e determinare il quoziente della divisione di f(x) per g(x).