Strutture algebriche. Leggi di composizione. Leggi di composizione. Gruppi Insiemi di numeri Polinomi

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1 Introduzione S S S S Le strutture algebriche sono date da insiemi con leggi di composizione binarie (operazioni) ed assiomi (proprietà) Una legge di composizione binaria è una funzione : I J K, una legge cioè che ad ogni coppia (i,j) associa un elemento k ben determinato Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 1 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 2 La legge di composizione può essere interna Esempi: I I I nel qual caso I è chiuso rispetto alla legge di composizione o esterna I J K anche I I K Se I è un insieme in P (I) unione ed intersezione fra sottoinsiemi di I sono leggi di composizione interne Si dice che la terna (P (I),, ) è un'algebra di Boole Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 3 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 4

2 Se H e G sono corrispondenze fra insiemi, H G C (B,C), la composizione fra corrispondenze :C (A,B) C (B,C) C (A,C) C (A,B) e è una legge di composizione esterna, perché G H C (A,C) che è diverso dagli altri due insiemi, a meno che siano A = B = C Sia una legge di composizione, : I J K Se k = ((i,j)), si usa scrivere k =i j La legge si dice essere: 1) associativa, se i (j k) = (i j) k, per ogni i, j, k; 2) commutativa, se i j = j i (legge interna), per ogni i, j; 3) con identità sinistra, se esiste I s tale che I s i = i, per ogni i 4) con identità destra, se esiste I d tale che i I d = i, per ogni i Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 5 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 6 Un elemento i I si dice avere Teorema Se una legge di composizione interna ammette identità sinistra e destra, esse sono uguali ed unica Essa si chiama identità e si scrive o, se non c è confusione, I Dimostrazione: I s = I s I d = I d 5) inverso sinistro, se esiste i s tale che i s i = I s ; 6) inverso destro, se esiste i d tale che i i d = I d Teorema Se una legge è associativa e se un elemento ha inversi destri e sinistri, allora ha un unico inverso Dimostrazione: i s = i s I d = i s (i i d ) = (i s i) i d = I s i d = i d L inverso di i s usa indicarlo con Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 7 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 8

3 Una coppia (G, ) si chiama gruppo se G è un insieme e è una legge di composizione interna, tale che: 1) è associativa; 2) esiste un'identità, I G, tale che per ogni g G, g I = I g = g; 3) ogni elemento g G ammette un'inverso,, tale che Esempio: le permutazioni ( = biiezioni nel caso finito) di n oggetti costituiscono un gruppo di n! elementi S n non commutativo Esse sono tutte e sole le biiezioni dell'insieme di n oggetti in sé stesso: Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 9 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 10 risulta ma (le funzioni si compongono da destra a sinistra) Un gruppo si dice commutativo se la sua legge di composizione è commutativa Un sottogruppo è un sottoinsieme di un gruppo che è a sua volta un gruppo rispetto alla stessa operazione Esempio: Il sottoinsieme di S n costituito dalle permutazioni cicliche è un gruppo commutativo Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 11 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 12

4 (N,+) è l'insieme dei numeri naturali con l'operazione di somma Dati due qualunque numeri a, b, è definita la loro somma: a + b Valgono la legge associativa e commutativa, esiste l'identità costituita dallo zero, ma non è vero che per ogni a esiste tale che Dunque: (N,+) non è un gruppo commutativo In un gruppo (G, +) la differenza è data da g - h = g + (h + ), con h + inverso di h Risulta g - h = (g + t) - (h + t) Nota: se il gruppo G è commutativo, l operazione si nota +, l identità s indica con lo 0; l inverso g + si nota - g e si chiama opposto di g Risulta quindi in particolare h + = 0 - h = - h, Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 13 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 14 In N, perché di due numeri a, b, esista la differenza a - b, occorre che sia b a Perché la differenza sia sempre possibile, si può allora ampliare l'insieme N aggiungendo gli opposti di ciascun numero, cioè i numeri negativi Sia I l'insieme dei numeri interi relativi (I, +) è un gruppo commutativo Nota: Card(I) = Card(N) Sia data l equivalenza (a, b) ~ (c, d) a + d = c + b 48-8 = = = = = = = = - 40 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 15 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 16

5 I = N N / ~ risulta (48,8) ~ (40,0), dunque 40 = [(40,0)] (15,55) ~ (0,40), dunque -40 = [(0,40)] Attenzione: è un numero molto negativo! Una terna (A,+,*) si chiama anello, se (A,+) è un gruppo commutativo e * è una legge di composizione interna, tale che 1) * è associativa; 2) * ammette identità; 3) l'unità 0 di + annulla *: 0 * a = 0 per ogni a A 4) valgono le due leggi distributive: x * (y + z) = (x * y) + (x * z) (x + y) * z = (x * z) + (y * z) Se inoltre 5) x * y = y * x l'anello si dice commutativo L identità moltiplicativa, si chiama a unità e s indica con 1 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 17 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 18 Esempio: (I,+,*) è un anello commutativo Una terna (A,+,*) si chiama campo, se (A,+,*) è un anello commutativo e (A-{0},*) è un gruppo commutativo Esempio: (I,+,*) non è un campo Dati due numeri, esiste sempre il loro prodotto, ma il loro quoziente esiste solo se il dividendo è multiplo del divisore Risulta m/n = m*k/n*k Occorre ampliare i numeri aggiungendo tutte le frazioni, che rappresentano l'indicazione della divisione senza eseguirla Infatti non esiste l'inverso di ogni numero, ma solo di 1 e -1 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 19 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 20

6 Sia data l equivalenza (a, b) ~ (c, d) a d = c b 10 : 5 = 2-6 : - 3 = 2 2 : 1 = 2 5 : 10 = 1/2-3 : - 6 = 1/2 1 : 2 = 1/2 Q = I I / ~ risulta (-6,-3) ~ (2, 1), dunque 2 = [(2,1)] (5,10) ~ (1, 2), dunque 1/2 = [(1,2)] Si chiama Q l'insieme dei numeri razionali, del tipo m/n Q è un campo Card(Q) = Card(N) Dunque, in Q le operazioni inverse di somma e moltiplicazione sono possibili Tuttavia, non è sempre possibile l'inversa dell'elevazione a potenza, cioè la radice, in particolare la radice quadrata Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 21 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 22 Lemma Se n è pari, n 2 è divisibile per 4, se n è dispari, n 2 è dispari Teorema: non è razionale Dimostrazione: supponiamo che sia razionale, e sia m/n ridotta ai minimi termini Questo significa che o m ed n son entrambi dispari o m è pari o è pari n Elevando al quadrato, risulta 2 = m 2 /n 2, dunque 2n 2 = m 2 m 2 dunque risulta pari Se m fosse stato dispari, m 2 sarebbe stato dispari, dunque m dev'essere pari, ma allora m 2 è divisibile per 4, dunque n 2 è pari, assurdo se n è dispari Si noti che non esiste razionale tale che i 2 = -1, ovvero non esiste nessun numero i Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 23 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 24

7 Una scrittura del tipo p(x) = a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n dove a i Q ed x una lettera, si chiama polinomio in un'indeterminata x a coefficienti in Q, e l esponente n della x è il massimo esponente della x = grado di p(x) Se a i K e K è un campo, l'insieme dei polinomi p(x) sul campo K s'indica con K[x] e si chiama anello dei polinomi sul campo K, con le usuali operazioni di somma e prodotto fra polinomi Divisione di polinomi Teorema Dati due polinomi p(x) e d(x), con grado (d) < grado (p), è sempre possibile trovare q(x) ed r(x) tali che p(x) = d(x)q(x) + r(x) con grado (r) < grado (d) Se p(x) = (x - α) q(x), si dice che α è una radice di p(x) Se grado(p) = n, grado (q) = n - 1 Iterando, ne consegue che Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 25 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 26 Teorema fondamentale dell algebra Un polinomio di grado n possiede al massimo n radici Esempio: il polinomio ha tre radici, infatti si decompone nel prodotto Sia dato Q e siano p(x) Q[x] ed a Q Sia p(a) Q ottenuto sostituendo a ad x in p(x) e calcolando il risultato La corrispondenza in Q Q Q a p (a) che ad ogni a Q associa il numero p(a) Q è una funzione, detta funzione polinomiale Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 27 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 28

8 Esempio: dato, la funzione polinomiale è tale che p(0) = 8 p(1) = 0 p(2) = -8 p(4) = 0 p(-2) = 0, ecc Pertanto esiste l iniezione Q[x] Q Q che ad ogni polinomio sopra Q associa una funzione polinomiale Un equazione è una relazione d uguaglianza fra due termini contenenti delle lettere indeterminate, dette incognite Risolvere un equazione significa trovare per quali valori (elementi) la relazione è vera Tali valori si chiamano soluzioni dell equazione Esempi: 3x = 2x - 5 Soluzione: x = -5 25x 2-1 = 0 Soluzioni: x = 1/5, x = -1/5 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 29 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 30 Una disequazione è una relazione d ordine fra due termini contenenti delle incognite Risolvere una disequazione significa trovare per quali valori la relazione è vera Tali valori si chiamano soluzioni della disequazione Esempio: 3x > 2x - 5 Soluzione: x > -5 Teorema α è radice di p(x) se e solo se p(α) = 0, cioè α è soluzione dell equazione p(x)= 0 Dimostrazione Se α è radice di p(x), allora p(α) = (α - α)q(α) = 0 q(α) = 0 Viceversa, se p(α) = 0, dalla divisione per (x - α) col resto p(x) = (x - α) q(x) + r(x), deve risultare r(x) di grado 0, dunque r(x) = r Ma p(α) = 0 = (α - α)q(α) + r, dunque r = 0 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 31 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 32

9 Dato il polinomio cercare α tale che p (α) = 0 corrisponde a cercare la soluzione dell equazione La soluzione, da risulta essere Si può quindi decomporre il polinomio in un prodotto di polinomi di primo grado contenenti le radici Poiché il quoziente di polinomi non sempre è senza resto, K[x] non è un campo, ma esiste il campo delle frazioni razionali sopra K, K(x), costituito dai rapporti fra polinomi p(x)/q(x), modulo l equivalenza fra frazioni p(x)/q(x) ~ r(x)/s(x) p(x)s(x) = q(x)r(x) Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 33 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 34 Utilizzando anelli di polinomi, si può ampliare il campo Q dei numeri razionali, in modo che ogni polinomio a coefficienti razionali abbia tutte le radici (in numero uguale al suo grado) Tale campo si chiama campo dei numeri algebrici sopra Q, ed è un campo algebricamente chiuso Esso risulta avere potenza numerabile In esso, le potenze restano indicate e non eseguite, ed i numeri assumono espressioni del tipo: 2,,, sulle quali si possono eseguire operazioni ordinarie: ( Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 35 Lezione 12wpd 08/01/2011 XII - 36