POLINOMI. Def: Si dice POLINOMIO la somma algebrica di più monomi, detti TERMINI del polinomio.

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1 POLINOMI Def: Si dice POLINOMIO la somma algebrica di più monomi, detti TERMINI del polinomio. Somma algebrica: addizione o sottrazione tra monomi Esempi: poly() = 2a 2 b + b 2 + 5a 4 P2 = 5 ab 2ab 4 c 2 Def: Un polinomio si dice RIDOTTO A FORMA NORMALE se in esso non compaiono termini simili e se tutti i suoi monomi sono scritti in forma normale. Regola: se il polinomio non è ridotto a forma normale occorre eseguire la RIDUZIONE DEI TERMINI SIMILI: si deve eseguire la somma algebrica (somma o sottrazione) dei monomi simili. Es: x x 2 y + 2xy 2 x 2 y 2x + y = x 4x 2 y + 2xy 2 + y Def: Si dice GRADO di un polinomio il grado più alto tra i monomi che lo compongono. Si dice GRADO RISPETTO AD UNA LETTERA il massimo esponente con cui la lettera compare nel polinomio.

2 ab b2 c ac 4 grado: 2 5 il grado del polinomio è 5 grado lettera a : grado lettera b : 2 grado lettera c : 4 Valgono le seguenti regole: ADDIZIONE E SOTTRAZIONE se davanti ad una parentesi c è il segno +, si eliminano la parentesi e il segno e si riscrivono tutti i termini del polinomio così come sono. +(2a b 4bc 4 ) + ( 5a b bc 4 ) = tolgo il + e le parentesi +2a b 4bc 4 5a b bc 4 = somma algebrica tra monomi simili a b 7bc 4 se davanti ad una parentesi c è il segno, si eliminano la parentesi e il segno e si riscrivono tutti i termini del polinomio con il segno opposto. (2a b 4bc 4 ) ( 5a b bc 4 ) = tolgo il e la parentesi e cambio tutti i segni all interno 2a b 4bc 4 + 5a b + bc 4 = somma algebrica tra monomi simili +7a b bc 4 2

3 Osservazione: se nella somma algebrica tra polinomi compaiono due termini OPPOSTI, si annullano a vicenda. a 2 b 2 + 5c ( 4a 2 b 2 + 5c ) = a 2 b 2 + 5c + 4a 2 b 2 5c = 7a 2 b 2 Es. n. 2 pag.49 x [5 6 x (+ 2 x + y) 2 y] 5 y + x = x [+ 5 6 x 2 x y 2 y] 5 y + x = x 5 6 x + 2 x + y + 2 y 5 y + x = ( ) x + ( ) y = MOLTIPLICAZIONE. POLINOMIO PER MONOMIO Per moltiplicare un POLINOMIO per un MONOMIO, o viceversa, si deve moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio e addizionare algebricamente i prodotti parziali ottenuti. Es: 6ab (a b) = (6ab) (+a) + (6ab) ( b) = +6a 2 b 6ab 2 si applica la proprietà DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO rispetto alla somma/sottrazione.

4 2. POLINOMI PER POLINOMI Per moltiplicare un POLINOMIO per un altro POLINOMIO, si deve moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ogni termine dell altro polinomio e addizionare algebricamente i prodotti parziali ottenuti. (a + 4b)(a 2b) = a a + 4b a + a ( 2b) + 4b ( 2b) = a 2 + 4ab 6ab 8b 2 = a 2 2ab 8b 2 DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO Regola: per dividere un polinomio per un monomio occorre DIVIDERE CIASCUN TERMINE del polinomio PER IL MONOMIO e poi addizionare (algebricamente) i monomi simili ottenuti. (24x 4 + 5xy 2y 2 ): (+2x) = ( 24x4 2x ) + (5xy 2y2 ) + ( 2x 2x ) = 2x y 6 y2 x Osservazione: Se i termini del polinomio non sono tutti divisibili esattamente per il monomio, i quozienti parziali si scrivono sotto forma di frazione, eseguendo le possibili SEMPLIFICAZIONI. 4

5 PRODOTTI NOTEVOLI Def: Si dicono PRODOTTI NOTEVOLI i risultati (calcolati con procedimenti abbreviati) della moltiplicazione di particolari polinomi. (a + b) (a b) = a 2 b 2 Dimostrazione: (A + B) (A B) = = A 2 AB + AB B 2 = = A 2 B 2 (2 5a)(2 + 5a) = = 4 25a 2 ( x xy) ( x2 2 7 xy) = 9 x x2 y 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 QUADRATO DEL PRIMO TERMINE DOPPIO PRODOTTO del primo per il secondo QUADRATO DEL SECONDO TERMINE. 5

6 Dimostrazione: (A + B) 2 = (A + B) (A + B) = A 2 + AB + AB + B 2 = A 2 + 2AB + B 2 Esempi: (5a + 2b ) 2 = (5a) a 2b + (2b ) 2 = = 25a ab + 4b 6 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Dimostrazione: (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 (5a 2b ) 2 = = (5a) 2 2(5a)(2b ) + (2b ) 2 = = 25a 2 20ab + 4b 6 (a + b) = a + a 2 b + a b 2 + b (a b) = a a 2 b + ab 2 b 6

7 (2x 2 + y) = (2x 2 ) + (2x 2 ) 2 y + 2x 2 (y) 2 + (y) = 8x 6 + 4x 4 y + 2x 2 9y y = 8x 6 + 6x 4 y + 54x 2 y y (4x 2y 2 ) = (4x) (4x) 2 2y 2 + 4x (2y 2 ) 2 (2y 2 ) = 64x 6x 2 2y 2 + 4x 4y 4 8y 6 = 64x 96x 2 y xy 4 8y 6 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (2a + b + 5c) 2 = 4a 2 + 9b c a b + 2 2a 5c + 2 b 5c = 4a 2 + 9b c 2 + 2ab + 20ac + 0bc (a b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 2ab + 2ac 2bc (a + b c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab 2ac 2bc 7

8 ( 2 5 x2 + y z) 2 = 4 25 x4 + 9 y2 + 9z x2 y x2 z 2 y z = 4 25 x4 + 9 y2 + 9z x2 y 2 5 x2 z 2yz 8