Matematica per le scienze sociali Potenze - Polinomi - Prodotti notevoli. Domenico Cucina

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1 Matematica per le scienze sociali Potenze - Polinomi - Prodotti notevoli Domenico Cucina University of Roma Tre D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 1 / 19

2 Outline 1 Potenze 2 Sommatoria e produttoria 3 Polinomi 4 Prodotti notevoli

3 Potenze Proprietà delle potenze Principali proprietà: in particolare: a n a m =a n+m a n a m =an m (a n ) m =a nm a n b n =(ab) n a n b n = ( a b a 0 =1 ) n a n = 1 a n a 2 3 = 3 a 2 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 3 / 19

4 Potenze Notazione esponenziale è la scrittura di un numero nella forma x 10 n (con n numero intero) esempio 1: esempio 2: = = = = = utile nei calcolatori per rappresentare risultati che non stanno per esteso sul visore utile per scrivere numeri molto grandi o molto piccoli. Ad esempio = = D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 4 / 19

5 Sommatoria e produttoria Sommatoria e produttoria data una sequenza di numeri a 1, a 2,..., a n la loro somma si può indicare con n a i = a 1 + a a n i=1 il loro prodotto si può indicare con n a i = a 1 a 2 a n i=1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 5 / 19

6 Sommatoria e produttoria Sommatoria e produttoria: applicazioni la media aritmetica dei numeri a 1, a 2,..., a n è data da ā = 1 n la loro media geometrica è data da n a i i=1 g = n n a i i=1 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 6 / 19

7 Sommatoria e produttoria Potenza e Produttoria di funzioni [f (x)] a [f (x)] b = [f (x)] a+b [f (x)] a [f (y)] a = [f (x) f (y)] a [f (x)] a [f (x)] b = [f (x)] a b [f (x)] a [f (y)] a = [f (x)/f (y)] a ni=1 [f ( )] x i = {[f ( )]} n i=1 x i ni=1 [f (x i )][g(x i )] = n i=1 [f (x i )] n i=1 [g(x i )] ni=1 [f (x i )] n [g(x i )] = i=1 [f (x i )] n i=1 [g(x i )] ni=1 [f (x i )] a = { n i=1 [f (x i )]} a D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 7 / 19

8 Polinomi espressioni Matematiche Sono esempi di espressioni matematiche 4 b 2 (a + b)(a 2 b 2 ) 5+x 2+x 2 x 2 + y 2 Invece non e una espressione, poiche in n un espressione deve comparire solo un numero finito di operazioni; x + 1 = 0 non e una espressione, poiche in questa scrittura compare il simbolo di uguaglianza tra due espressioni; x > 5 non e una espressione, poiche in questa scrittura compare il simbolo di disuguaglianza tra due espressioni. D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 8 / 19

9 Polinomi Espressioni Matematiche Le lettere che compaiono in un espressione vengono di solito chiamate: costanti, se nell espressione hanno un valore fisso, anche se non esplicitato; variabili, in caso contrario. E pero importante notare che un espressione non sempre ha significato per ogni valore assunto dalle variabili coinvolte 1 a non ha significato per a = 0 x y non ha significato per x < 0 e per y = 0 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 9 / 19

10 Polinomi Monomi Monomio: Si dice monomio un espressione nella quale le lettere e i numeri compaiono collegati fra loro solo dall operazione di prodotto 2a 2 bc 4 Il numero che compare nel monomio e detto coefficiente del monomio. L esponente di una lettera che compare nel monomio à detto grado del monomio rispetto a quella lettera. La somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio e detta grado del monomio. D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 10 / 19

11 Polinomi Monomi Prodotto tra monomi: si applicano le proprietà delle potenze. ad esempio: a 2 bc 4 abc = a 3 b 2 c 5 a 2 bc 4 = ac 3 abc Monomi simili: due monomi si dicono simili (o omogenei) se hanno la stessa parola, cioe lo stesso prodotto tra le lettere con potenza monomi omogenei: 2ab 2 ab 2 monomi disomogenei: ab 2 ab i monomi omogenei si possono sommare: 2ab 2 3ab 2 = ab 2 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 11 / 19

12 Polinomi Polinomi Polinomio: la somma (algebrica) di due o più monomi a 2 b abc Grado di un polinomio: il massimo grado dei monomi che lo compongono. Prodotto tra polinomi: esempio (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 12 / 19

13 Prodotti notevoli Quadrato di un binomio (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 13 / 19

14 Prodotti notevoli Cubo di un binomio (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 14 / 19

15 Prodotti notevoli Potenze di polinomi (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 =a 2 2ab + b 2 ( n ) 2 n n a i = ai a i a j i=1 i=1 i=1 j>i (a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 =a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n k b k = k k k=0 n! k!(n k)! D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 15 / 19

16 Prodotti notevoli Triangolo di tartaglia D. Cucina 16 / 19

17 Prodotti notevoli Scomposizione in fattori Si scompone un polinomio in fattori quando lo si esprime come prodotto di polinomi di grado piu basso. in particolare: a 2 b 2 =(a + b)(a b) a 3 + b 3 =(a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 =(a b)(a 2 + ab + b 2 ) D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 17 / 19

18 Prodotti notevoli semplificazione di polinomi Alcuni esempi (x + 1) 2 3(x + 1)(x 1) + 2x 2 = 2x + 4 scomposizione di polinomi in fattori 3x 2y 3ax + 2ay = (1 a)(3x 2y) 4a 2 b 4 = (2a b 2 )(2a + b 2 ) x 3 8 = (x 2)(x x) 3x 5 81x 2 = 3x 2 (x 3)(x x) ( ) 2ab 3x : a2 = 4b2 c 6bc ax ( 1 x + 1 ) ( 1 : y x 2 1 ) y 2 = xy y x D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 18 / 19

19 Prodotti notevoli Polinomi in una variabile Nel seguito ci limiteremo a considerare polinomi in una variabile, come ad esempio: x 2 + 3, 2x 3 4x 2 + x 3 indicheremo i coefficienti con lettere (solitamente a,b,c,...) alle quali si pensa di dare dei valori arbitrari ma fissati (costanti), mentre si pensa la x come variabile, suscettibile di assumere qualunque valore. Se il polinomio e scritto come somma di monomi,il monomio di grado 0 si dice termine noto. Il polinomio nullo (che sommato a ogni altro polinomio lo lascia invariato) si indica con 0. Due polinomi si dicono uguali se hanno uguali i coefficienti dei termini di ugual grado. D. Cucina (domenico.cucina@uniroma3.it) 19 / 19