Principi di calcolo letterale

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1 Capitolo 1 Principi di calcolo letterale In questo capitolo presenteremo l utilità del calcolo letterale, i suoi principali impieghi dal punto di vista matematico e i vari metodi di risoluzione. Indice del capitolo 1.1 Cos è il calcolo letterale Insiemi numerici, un breve richiamo Cos è un monomio? Operazioni elementari Somma e sottrazione Prodotto, divisione ed elevamento a potenza Prodotto tra polinomi Prodotti Notevoli Il quadrato di un binomio Il quadrato di un trinomio Differenza di quadrati Cubo di un Binomio Somma e differenza di cubi Raccoglimento parziale e totale Cos è il calcolo letterale IL CALCOLO LETTERALE è la principale forma di comunicazione utilizzata nella matematica. Supponiamo di avere l esigenza di risolvere alcuni problemi di tipo pratico, come per esempio il calcolo 1

2 2 Principi di calcolo letterale di perimetri, aree e volumi etc., e vogliamo allo stesso tempo, che al variare delle dimensioni del nostro oggetto, ciò che abbiamo imparato, rimanga sempre valido, ovvero che la sequenza di operazioni eseguite sia sempre la stessa anche per altri casi analoghi senza dover quindi ripetere il ragionamento ulteriormente e velocizzando i conti. Utilizziamo un esempio per chiarire il tutto. Consideriamo un rettangolo di base 2 e altezza 3. Poichè il perimetro è dato dalla somma delle lunghezze dei lati di una figura (e in un rettangolo sono quattro, cioè due basi e due altezze) possiamo concludere banalmente che il perimetro sia = 10. Se adesso dovessimo fare lo stesso per un altro rettangolo dovremmo rifare lo stesso ragionamento da capo, mentre passando al calcolo letterale possiamo generalizzare il conto per tutti i rettangoli di tutte le dimensioni. Indichiamo ora la base con la lettera b e l altezza con la lettera h. Riscriviamo il perimetro come somma dei lati ottenendo b + b + h + h = 2b + 2h (1.1) Adesso per ogni valore di b o h che ci venie fornito noi possiamo calcolare immediatamente il perimetro di un rettangolo semplicemente sostituendo i numeri al posto delle lettere e svolgendo i calcoli. In questo semplicissimo esempio forse non si nota moltissimo la potenza del calcolo letterale ma vedremo in seguito come riusciremo a giungere a espressioni notevolmente semplificate, di un problema all apparenza complicatissimo. Per imparare i vari metodi dobbiamo però partire dal principio e quindi dalle varie classificazioni di numeri esistenti, ovvero gli insiemi numerici. 1.2 Insiemi numerici, un breve richiamo Incominciamo quindi col definire i vari insiemi numerici da noi conosciuti. Fin dall antichità deriva la nostra necessità di contare, tant è che il primo insieme di numeri è formato dai numeri interi (senza la virgola) e positivi, denominato insieme dei numeri naturali. Questo insieme viene indicato con il simbolo N. Alcuni elementi di N saranno quindi 0,1,2,3... Nascendo anche la necessità di sottrarre, viene allargato l insieme N introducendo un suo soprainsieme indicato con la lettera Z e denominato insieme dei numeri relativi. Gli elementi di Z saranno quindi numeri interi positivi e negativi (per esempio...-2,-1,0,1,2...). A questo punto abbiamo definito tre operazioni elementari (somma, sottrazione e prodotto) su quattro. Per definire l ultima operazione dobbiamo considerare un ulteriore soprainsieme che indicheremo

3 1.3 Cos è un monomio? 3 con la lettera Q e chiameremo insieme dei numeri razionali, ovvero l insieme di quei numeri che esprimiamo attraverso il simbolo di frazione come 2 3, 4 5, 7 11,... Abbiamo così definito tutte le operazione elementari ma non abbiamo comunque definito tutti i numeri possibili: mancano gli elementi appartenenti all insieme dei numeri irrazionali indicato con il simbolo I ovvero quei numeri decimali, quindi non interi, che sono esprimibili esclusivamente con il simbolo di estrazione di radice ( 3 2, 4 3, 5... ). Infine non ci resta che raggruppare tutti questi insiemi in un unico insieme che indichiamo con la lettera R e che denominiamo insieme dei numeri reali. Questo insieme ha le potenzialità di tutti gli insiemi precedenti. In esso sono definite tutte le operazioni elementari e non che andremo a conoscere passo passo. 1.3 Cos è un monomio? Il monomio è l elemento base del calcolo letterale. Questo è formato da un parte letterale e da un numero moltiplicativo detto coefficiente del monomio. Vediamo alcuni esempi 3a, 5a 2 b 3, 3 2 x2 y 3 z 5 (1.2) Nel primo caso a è la parte letterale e 3 il coefficiente del monomio, nel secondo sarà a 2 b 3 la parte letterale e 5 il coefficiente, infine avremo parte letterale x 2 y 3 z 5 e 3 2 come coefficiente del monomio. Un monomio in cui è presente la sola parte letterale avrà ovviamente coefficiente pari a 1, mentre diremo che un monomio è nullo, se è nullo il suo coefficiente. 1.4 Operazioni elementari Procediamo quindi con il nostro discorso sul calcolo letterale, introducendo gli operatori somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione per i vari monomi Somma e sottrazione Quando sommiamo e\o sottraiamo due o più monomi tra di loro dobbiamo fare attenzione alla loro parte letterale. Possiamo sommare tra di loro solo i monomi con la parte letterale uguale. Il monomio risultante sarà un monomio con uguale parte letterale e

4 4 Principi di calcolo letterale coefficiente pari alla somma algebrica dei vari coefficienti. Per esempio possiamo scrivere 3a + 5b + 7a 2b = 10a + 3b (1.3) Come si può notare quello che abbiamo creato è un insieme di monomi non più ulteriormente sommabili tra di loro. Ricapitolando possiamo dire di essere partiti da una somma algebrica di quattro monomi e di aver ottenuto come risultato due monomi che si sommano algebricamente tra di loro senza la possibilità per noi di continuare nelle operazioni. Questo risultato viene definito binomio perchè formato da due monomi, in generale se formato da più monomi è detto polinomio. Caratteristiche di un polinomio Detto polinomio una somma algebrica di monomi con parte letterale tra di loro differente, possiamo distinguere alcune caratteristiche. Polinomio omogeneo e completo Un polinomio si dice omogeneo, rispetto a una lettera, se sono presenti tutte le potenze di questa lettera a partire da quella più alta fino a quella di grado 1. Se inoltre è presente un monomio formato dal solo coefficiente (chiamato termine noto) il polinomio è detto completo. Polinomio omogeneo: 2x 2 + 3x + x 3 Polinomio completo: 2x 2 + 3x + x 3 2 Polinomio ordinato Un polinomio si definisce ordinato, rispetto a una lettera, se i monomi presenti sono scritti in ordine crescente o decrescente rispetto al grado di quella lettera. Polinomio ordinato decrescente rispetto alla y: 2xy 3 + xy + 1 Polinomio ordinato crescente rispetto alla y: 2 + 3y + y 3 Grado del polinomio Il grado di un monomio si ottiene dalla somma delle potenze del monomio stesso. Il grado complessivo di un polinomio, invece, è definito solo se il grado dei singoli monomi resta uguale tra questi, altrimenti possiamo definire il grado rispetto a una

5 1.5 Prodotto tra polinomi 5 singola lettera considerando quella con la potenza più alta. Polinomio di grado 1: x + y Polinomio di grado 2: x 2 + xy Polinomio di grado 2 rispetto a x, 1 rispetto a y: x 2 + 3xy Prodotto, divisione ed elevamento a potenza Continuiamo la nostra carrellata di operazione con i monomi, introducendo l operazione fondamentale di moltiplicazione.il monomio prodotto di più monomi è un monomio con coefficiente pari al prodotto dei coefficienti e parte letterale pari al prodotto delle stesse. Vediamo un esempio per semplificarne la comprensione 3a 5b 2c = (3 5 2) a b c = 30abc 4x 5xy 2y = 40x 2 y 2 (1.4) Allo stesso modo si procede con la divisione dei monomi, ovvero il monomio risultante avrà coefficiente pari al quoziente dei due coefficienti e parte letterale pari al quoziente delle parti letterali 4x 2 y 8xy = 1 2 x 6a 2 bc 3 24axy = 1 abc 3 4 xy (1.5) Infine ci manca di illustrare l elevamento a potenza. In questo caso basta ricorda che elevare a potenza un numero vuol dire moltiplicarlo per se stesso tante volte quante indicate dall esponente. Diventa quindi di immediata comprensione che l elevamento a potenza di un monomio avrà come risultato un monomio con coefficiente e parte letterale entrambe elevate all esponente ( ) y2 x = 1 4 y4 x 2 ( ) x2 yz 3 = 27 8 x6 y 3 z 9 (1.6) 1.5 Prodotto tra polinomi Incominciamo dal caso più semplice ovvero quello di un monomio che moltiplica un polinomio. Per eseguire il prodotto di un monomio per un polinomio basta applicare la proprietà distributiva della somma rispetto alla moltiplicazione, ovvero a (b + c + d) = ab + ac + ad (1.7)

6 6 Principi di calcolo letterale adesso pensiamo di poter sostituire al monomio a un polinomio, per esempio e + f, e la nostra espressione diventerà un prodotto tra polinomi a (b + c + d) = ab + ac + ad = (e + f)b + (e + f)c + (e + f)d = eb + fb + ec + fc + ed + fd (1.8) Riassumiamo quanto detto col prodotto di due binomi ottenendo (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd (1.9) 1.6 Prodotti Notevoli Con prodotti notevoli intendiamo studiare una serie di molto comune di combinazioni prodotto-polinomi che ci posso portare alla semplificazione o allo svolgimento di determinate espressioni Il quadrato di un binomio Il prodotto notevole più semplice e diffuso è il quadrato di un binomio. Questo si ottiene come caso particolare di prodotto di due polinomi che in questo caso sono binomi e per di più uguali. Possiamo quindi scrivere (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1.10) Riassumiamo quanto scritto dicendo che il quadrato di un binomio è un trinomio formato dal quadrato del primo termine (a 2 ) a cui sommiamo il quadrato del secondo termine (b 2 ) e infine il loro doppio prodotto (2ab). Ovviamente essendo questa una somma algebrica, nel caso di secondo termine negativo e quindi di quadrato di una differenza (e non si una somma come sopra) è immediato ricavare (a b) 2 = (a + ( b)) 2 = a 2 + 2a( b) + ( b) 2 = a 2 2ab + b 2 (1.11) Vediamo qualche esempio ( 3x + y 2 ) 2 = 9x 2 + 6xy 2 + y 4 (2y xy) 2 = 4y 2 4xy 2 + x 2 y 2

7 1.6 Prodotti Notevoli Il quadrato di un trinomio Utilizzando lo stesso metodo precedente possiamo ricavare una regola pratica anche per i trinomi ovvero (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2cb (1.12) vediamo alcuni esempi ( 2x + 3y 3 + 2z 2) 2 = 4x 2 + 9y 6 + 4z xy 3 + 8xz y 3 z 2 (2yz + 4xy 3y) 2 = 4y 2 z x 2 y 2 + 9y xy 2 z 12y 2 z 24xy Differenza di quadrati Un caso particolare è quello che otteniamo moltiplicando una somma per una differenza ovvero (a + b)(a b) = a 2 b 2 (1.13) Questa prende il nome di differenza di quadrati. Ricordo che al posto delle lettere a e b possiamo sostituire anche dei polinomi interi. Vediamo alcuni esempi per chiarire il tutto. (x + 3y)(x 3y) = x 2 9y 2 (x y)(x + 3 y) = ((x + 3) y)((x + 3) + y) = (x + 3) 2 y Cubo di un Binomio Il cubo di un binomio, di molta utilità ma non di semplice espressione, è il prodotto notevole che otteniamo dal prodotto del quadrato di un binomio con se stesso ovvero (a + b) 3 = (a + b) (a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (1.14) Notiamo come il grado del polinomio sia pari a 3, in quanto ogni suo singolo monomio è di terzo grado. Anche in questo caso vediamo alcuni esempi di chiarificazione

8 8 Principi di calcolo letterale (x + 3y) 3 = x 3 + 3x 2 (3y) + 3x(3y) 2 + (3y) 3 = x 3 + 9x 2 y + 27xy2 + 27y 3 Nell esempio che segue consideriamo come sempre la possibilità di sostituire alle lettere dei polinomi (in questo caso un binomio). L espressione è sviluppata in relazione al primo cubo, ma come esercizio, il risultato ottenuto può essere sviluppato ulteriormente dall alunno utilizzando le tecniche fin qui conosciute. (x + 3 y) 3 = [(x + 3) + ( y)] 3 = (x + 3) 3 + 3(x + 3) 2 ( y) + 3(x + 3)( y) 2 + ( y) 3 = (x + 3) 3 3(x + 3) 2 y + 3(x + 3)y 2 y Somma e differenza di cubi Così come accadeva per la differenza di quadrati, anche per i cubi possiamo esprimere una somma o una differenza come il prodotto di un binomio per un trinomio, in altre termini abbiamo a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) (1.15) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) (1.16) Consideriamo anche in questo caso dei semplici esempi dimostrativi, per esemplificare quanto detto. 27x 3 + y 3 = (3x + y)(9x 2 3xy + y 2 ) x 3 (y + 5) 3 = [x (y + 5)](x 2 + x(y + 5) + (y + 5) 2 ) = (x y 5)(x 2 + xy + 5x + y y + 25) 1.7 Raccoglimento parziale e totale Quello che ora vogliamo affrontare non è nient altro che il percorso inverso che abbiamo fatto per presentare l operazione di moltiplicazione tra polinomi. Ricordiamo quanto detto come c(a + b) = ca + cb (1.17)

9 1.7 Raccoglimento parziale e totale 9 Adesso pensiamo di eseguire l operazione inversa ovvero dato un polinomio vogliamo mettere in evidenza ciò che vi è in comune tra i vari monomi ovvero vogliamo imparare a scrivere ca + cb = c(a + b) (1.18) Questa operazione prende il nome di raccoglimento totale se operata su tutti i singoli monomi costituenti il polinomio altrimenti sarà un raccoglimento parziale. Per fare questa operazione dobbiamo innanzitutto vedere cosa è comune e a chi. Per chiarire meglio le cose facciamo un esempio. Consideriamo il polinomio seguente xy 2 + 3x + xz per prima cosa controlliamo i vari coefficienti dei monomi, che sono +1, +3, +1 e vediamo che sono tutti numeri primi tra loro. Passiamo quindi alla parte letterale e notiamo che l unica lettera in comune a tutti è la x. Detto questo, l unico elemento che possiamo raccogliere è proprio questa lettera e quindi otterremo xy 2 + 3x + xz = x(y z) I termini contenuti nella parentesi al secondo membro sono ottenuti semplicemente prendendo i singoli monomi del polinomio al primo membro e dividendoli per il termine messo a fattor comune (x nel nostro caso). Quello che abbiamo appena fatto è un raccoglimento totale. Nel caso in cui vi siano solo alcuni monomi con dei coefficienti o delle parti letterali in comune possiamo procedere al raccoglimento parziale. Molte volte ci potrà capitare di fare prima un raccoglimento parziale e poi uno totale. Il risultato che otterremo sarà quello di aver raccolto un polinomio rispetto ad un altro. Facciamo un esempio per dare un idea di quanto detto. Consideriamo il polinomio seguente 2ax + ay + 2bx + by come possiamo notare, non vi alcun coefficiente o parte letterale comune a tutti i monomi e quindi non possiamo fare un raccoglimento totale. Proviamo quindi con un raccoglimento parziale. Consideriamo i primi due monomi e osserviamo che la parte letterale a può essere

10 10 Principi di calcolo letterale messa a fattor comune. Idem può essere fatto per la parte letterale b dei due monomi restanti. 2ax + ay + 2bx + by = a(2x + y) + b(2x + y) Con nostra sorpresa notiamo che il contenuto delle due parentesi ottenute è uguale e che quindi può essere fatto un raccoglimento totale di queste parentesi. 2ax + ay + 2bx + by = a(2x + y) + b(2x + y) = (2x + y)(a + b) In conclusione possiamo affermare che il polinomio di partenza è costituito dal prodotto di due polinomi, ovvero quello che noi abbiamo fatto non è stato altro che mettere in evidenza un polinomio rispetto ad un altro. Tutto ciò non era intuibile immediatamente all inizio dell esercizio. Ricapitolando possiamo dire che: con il raccoglimento totale non facciamo altro che raccogliere un monomio rispetto a tutto un polinomio intero con il raccoglimento parziale raccogliamo un monomio rispetto solo ad alcuni monomi del polinomio di partenza la sequenza raccoglimento parziale-totale ci occorre per mettere in comune un polinomio rispetto ad un altro quando è possibile.