Le quattro operazioni fondamentali

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1 SINTESI Unità 3 Le quattro operazioni fondamentali Addizione Si dice somma di due numeri naturali il numero che si ottiene contando di seguito al primo tanti numeri consecutivi quante sono le unità del secondo. L addizione è l operazione con la quale si calcola la somma di due numeri; i numeri da addizionare si dicono termini dell addizione o addendi e il risultato si dice somma o totale. La somma di due numeri naturali è ancora un numero naturale. Per questo motivo si dice che l addizione è un operazione interna a N o che tale insieme è chiuso rispetto all addizione. La somma di due addendi, uno dei quali è lo zero, è uguale all altro addendo: = = 5 Per questo si dice che lo zero è l elemento neutro dell addizione. In generale, dato un numero naturale qualsiasi a, risulta: a + 0 = 0 + a = a La somma di tre o più numeri naturali, dati in un certo ordine, è il numero che si ottiene addizionando al primo il secondo, alla somma ottenuta il terzo numero e così via = = (3 + 5) = = = = (8 + 6) + 10 = = 24 L addizione gode delle seguenti proprietà: Proprietà commutativa. La somma di due o più addendi non cambia cambiando l ordine degli addendi = Proprietà associativa. La somma di tre o più addendi non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma. Proprietà dissociativa. La somma di due o più addendi non cambia se a uno o più addendi si sostituiscono altri addendi che hanno per somma l addendo sostituito = (3 + 2) + 4 = = =

2 Sottrazione Si dice differenza fra un numero e un altro, che non sia maggiore del primo, quel terzo numero che addizionato al secondo dà per somma il primo. La sottrazione è l operazione con la quale si determina la differenza fra due numeri; il primo numero si dice minuendo e il secondo sottraendo. Il risultato si dice differenza. 7-3 = 4 perché = = 14 perché = 22 Nella sottrazione: = 3 15 è il minuendo; 12 è il sottraendo; 3 è la differenza. La sottrazione non si può sempre eseguire nell insieme N dei numeri naturali. Nell insieme Z dei numeri interi relativi si può sempre eseguire la sottrazione. Per questo motivo si dice che la sottrazione è un operazione interna a Z o anche che l insieme Z è chiuso rispetto alla sottrazione. Lo zero è l elemento neutro dell addizione ma non della sottrazione; basta osservare, per esempio, che 5-0 = 0 mentre 0-5 non è un numero naturale. La sottrazione gode della: Proprietà invariantiva. Se addizioniamo uno stesso numero al minuendo e al sottraendo, la differenza non cambia; se sottraiamo da entrambi i termini uno stesso numero, non maggiore del sottraendo, la differenza non cambia = (15 + 3) - (10 + 3) = (18-8) - (14-8) 2

3 Moltiplicazione L addizione = 15 ha tutti gli addendi uguali e si indica con una delle seguenti scritture: 5 # 3 = 15 o 5 $ 3 = 15 e si dice moltiplicazione. 5 e 3 sono i fattori, e precisamente 5 il moltiplicando e 3 il moltiplicatore, 15 è il prodotto. Si dice moltiplicazione l operazione con la quale calcoliamo il prodotto di due numeri naturali che si dicono fattori. Il prodotto di due numeri naturali è ancora un numero naturale. Per questo motivo si dice che la moltiplicazione è un operazione interna a N e che tale insieme è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Il prodotto di due fattori, uno dei quali è l unità, è uguale all altro fattore: 3 # 1 = 1 # 3 = 3 Per questa circostanza si dice che il numero 1 è l elemento neutro della moltiplicazione. Legge di annullamento del prodotto Il prodotto di più fattori è uguale a zero, se almeno uno di essi è uguale a zero e viceversa. 2 # 3 # 0 # 5 # 7 = 0 4 # 6 # 8 # 0 # 9 = 0 La moltiplicazione gode delle seguenti proprietà: Proprietà commutativa. Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l ordine dei fattori. Proprietà associativa. Il prodotto di tre o più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto. 3 # 2 = 2 # 3 2 # 3 # 4 # 5 = = (2 # 3) # 4 # 5 = = 6 # 4 # 5 = 120 Proprietà dissociativa. Il prodotto non cambia se uno o più fattori vengono sostituiti da due o più fattori, il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione. Per moltiplicare una somma per un numero, si può moltiplicare ciascun addendo per quel numero e addizionare poi i prodotti così ottenuti. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione. Per moltiplicare una differenza per un numero, si possono moltiplicare il minuendo e il sottraendo per quel numero ed eseguire poi la sottrazione fra il primo e il secondo dei prodotti ottenuti. 40 # 3 # 2 = = 5 # 8 # 3 # 2 = 240 (3 + 2) # 5 = 3 # # 5 (3-2) # 5 = 3 # 5-2 # 5 3

4 Divisione Dati due numeri naturali, il primo dei quali sia multiplo del secondo, si dice quoziente esatto o quoto fra il primo e il secondo (se quest ultimo è diverso da zero) il numero naturale che moltiplicato per il secondo dà per risultato il primo. dividendo divisore quoto 15 : 3 = 5 perché 5 # 3 = 15 cioè: quoto # divisore = dividendo Dati due numeri, dei quali il secondo sia diverso da zero e il primo non sia multiplo del secondo, si dice quoziente approssimato fra il primo e il secondo il massimo numero naturale che moltiplicato per il secondo dà un prodotto che non supera il primo. 64 : 10 = 6 (resto 4) L unità è l elemento neutro della moltiplicazione, ma non della divisione. Per esempio, 5 : 1 = 5, mentre 1 : 5 non è un numero naturale. La divisione non si può eseguire sempre nell insieme N dei numeri naturali. Per questo motivo si dice che la divisione non è un operazione interna a N o anche che l insieme N non è chiuso rispetto alla divisione. La divisione gode delle seguenti proprietà: Proprietà invariantiva. Se moltiplichiamo il dividendo e il divisore di una divisione (o dividiamo, se sono divisibili) per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente rimane invariato. 20 : 4 = 5 (20 # 3) : (4 # 3) = 60 : 12 = 5 (20 : 2) : (4 : 2) = 10 : 2 = 5 Proprietà distributiva. Per dividere una somma (o una differenza) per un numero, purché tutti i termini della somma (o della differenza) siano divisibili per quel numero, si può dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero e addizionare i quozienti parziali ottenuti (o sottrarre dal primo quoziente il secondo). Per dividere un prodotto per un fattore, o per il prodotto di alcuni di essi, si possono sopprimere tali fattori e moltiplicare fra loro quelli rimasti. ( ) : 4 = 36 : : 4 = = = 14 (45-35) : 5 = 45 : 5-35 : 5 = = 9-7 = 2 (23 # 17 # 35 # 20) : (17 # 35) = = 23 # 20 = 460 4

5 Espressioni aritmetiche Un espressione aritmetica è un insieme di numeri legati fra loro da segni di operazioni; può contenere parentesi o esserne priva. Il valore di un espressione aritmetica è il numero ottenuto eseguendo le operazioni nell ordine stabilito. 45 : # # 2 = = = 15 ( ) : 5 + (33-21) : 6 = = 25 : : 6 = = 7 ESPRESSIONI ARITMETICHE SENZA PARENTESI Se l espressione contiene solo addizioni o solo moltiplicazioni, si procede eseguendo le operazioni in qualsiasi ordine. Se l espressione contiene solo sottrazioni o solo divisioni, si procede eseguendo le operazioni nell ordine in cui sono scritte. Se l espressione contiene solo addizioni e sottrazioni, si procede eseguendo le operazioni nell ordine in cui sono scritte. Se l espressione contiene solo moltiplicazioni e divisioni, si procede eseguendo le operazioni nell ordine in cui sono scritte = = = = = = 23 3 # 5 # 2 # 4 = 15 # 2 # 4 = 15 # 8 = # 5 # 2 # 4 = 3 # 10 # 4 = 3 # 40 = = = 12-6 = : 4 : 5 : 2 = 50 : 5 : 2 = 10 : 2 = = = 28-6 = # 3 : 5 # 2 = 45 : 5 # 2 = 9 # 2 = 18 Se l espressione contiene tutte e quattro le operazioni fondamentali, si procede eseguendo prima le moltiplicazioni e le divisioni nell ordine in cui sono scritte e poi le addizioni e le sottrazioni anch esse nell ordine in cui si presentano. 100 : 25 # = 4 # = = = = 9 ESPRESSIONI ARITMETICHE CON PARENTESI Per calcolare il valore di espressioni aritmetiche con parentesi, teniamo presenti le seguenti regole: 1. si eseguono le operazioni contenute nelle parentesi tonde 2. si eseguono le operazioni contenute nelle parentesi quadre 4 rispettando le regole di precedenza. 3. si eseguono le operazioni contenute nelle parentesi graffe Si eliminano tutte le parentesi dopo aver eseguito tutte le operazioni in esse contenute e si ottiene un espressione aritmetica senza parentesi alla quale si applicano le regole note e si ottiene il valore dell espressione: 42 :{( ) : [(20 + 7) : 9 + (7 + 3) : 5]} = 42 : {105:[27: : 5]} = = 42 :{105 :[3 + 2]} = 42 :{105 : 5} = 42 : 21 = 2 5