Introduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte I

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1 Introduzione alla Matematica per le Scienze Sociali - parte I Lucrezia Fanti Istituto Nazionale per l Analisi delle Politiche Pubbliche (INAPP) lucrezia.fanti@uniroma1.it Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 1 / 30

2 Sommario 1 Segno, simbolo e modello matematico 2 Proposizione, teorema, lemma e corollario 3 Quantificatori universali 4 Definizione e rappresentazione di un insieme 5 Numeri interi naturali e relativi 6 Modulo o valore assoluto 7 Numeri razionali e numeri irrazionali 8 Numeri reali Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 2 / 30

3 Definizione di segno Segno: proprietà che esprime l ordine di un numero reale rispetto allo zero. + se vale la relazione x > 0; se vale la relazione x < 0; neutro se vale la relazione x = 0. Il segno è seguito da un numero in valore assoluto. Esempio: 3 o +3. Qualora il numero non sia seguito dal simbolo che indica il segno, il numero si intende positivo (esempio: 3). Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 3 / 30

4 Segno di una funzione Segno di funzione: il segno di una funzione f definita su un intervallo I è quello comune ad ogni valore che la funzione assume in quell intervallo. Quindi avremo che, per ogni x compreso in I ( x I ): f > 0 f (x) > 0 f < 0 f (x) < 0 Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 4 / 30

5 Definizione di simbolo Simbolo: ci consente di esprimere un concetto tramite notazione matematica. Esempio: Il segno positivo viene espresso in notazione matematica tramite il simbolo + ed il segno negativo viene espresso tramite il simbolo. Tuttavia, i simboli + e possono non essere sempre riferiti al segno di un numero. Esempio: possiamo utilizzarli per indicare le operazioni di addizione o sottrazione, oppure come ± ad indicare che due valori di segno opposto sono entrambi validi. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 5 / 30

6 Alcuni simboli matematici simbolo si legge simbolo di = uguale uguaglianza diverso non uguaglianza > maggiore maggiore < minore minore maggiore o uguale maggiore o uguale minore o uguale minore o uguale ± più o meno validità valori pos. e neg. x valore assoluto di x valore assoluto radice quadrata radice quadrata {x, y, z} insieme degli elementi x, y e z insieme tale che tale che sommatoria sommatoria appartiene a appartenenza Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 6 / 30

7 Alcuni simboli matematici simbolo si legge simbolo di non appartiene a non appartenenza per ogni quantificatore universale esiste almeno un quantificatore esistenziale negazione negazione vuoto vuoto intersecato con intersezione unito con unione è incluso in inclusione include inclusione \ differente da differenza lim limite limite è equivalente a equivalenza implica implicazione equivale logicamente a equivalenza logica Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 7 / 30

8 Definizione di modello matematico Modello matematico: rappresentazione quantitativa di un oggetto, un fenomeno o un insieme di fenomeni. Studio il comportamento dell oggetto o del/i fenomeno/i partendo da una serie di dati iniziali (condizioni iniziali) e ottenendo un determinato risultato. Un buon modello dovrebbe godere delle seguenti caratteristiche: generalità; affidabilità; semplicità (parsimonia). Diversi tipi di modello matematico: lineare o non-lineare; statico o dinamico; deterministico o stocastico. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 8 / 30

9 Proposizione, teorema, lemma e corollario Proposizione: espressione linguistica o simbolica di cui possiamo stabilire se risulta essere vera o falsa. Un teorema è un costrutto matematico composto da due parti: enunciato proposizione che esprime un implicazione logica: ipotesi: condizioni su cui si fonda il ragionamento e assunte come vere; tesi: condizione che discende dalle ipotesi fatte. dimostrazione processo deduttivo che permette di ricavare il valore di verità dell enunciato. Lemma: teorema utilizzato al fine di agevolare la dimostrazione di un teorema più significativo e complesso. Corollario: teorema, di immediata dimostrazione, che consegue da un teorema fondamentale e ottenuto come caso particolare del teorema da cui discende. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 9 / 30

10 Quantificatori universali è chiamato quantificatore universale e indica che tutti gli elementi di un insieme possiedono una certa proprietà. Esempio: n 1 = n, n N è chiamato quantificatore esistenziale e indica che, tra gli elementi di un insieme, esiste almeno un elemento che possiede una certa proprietà. Esempio: x N tale che, sostituito in x aumentato di 3 è uguale a 8, lo rende vero (x = 5). indica la negazione di una frase contenente un quantificatore. Esempio: tutte le pecore sono bianche non tutte le pecore sono bianche, esiste almeno una pecora non bianca. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 10 / 30

11 Definizione e rappresentazione di un insieme Definiamo un insieme come collezione di oggetti (detti elementi) definito in modo da poter stabilire se un determinato oggetto vi appartiene oppure no. Diversi tipi di rappresentazione di un insieme: grafica (Eulero-Venn) tabulare o per elencazione V = {a; e; i; o; u} per caratteristica V = {x x è una vocale} Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 11 / 30

12 Appartenenza e insiemi particolari Indichiamo l appartenenza di un elemento ad un insieme con il simbolo (es. a V ) e la non appartenenza con (es. b V ). Insiemi particolari: insieme vuoto: Se l insieme A non ha alcun elemento al suo interno diremo che A = ; insieme finito: è possibile rappresentarlo completamente per elencazione esempio C = {x x è un numero naturale < 100}; insieme infinito: è impossibile rappresentarlo completamente per elencazione esempio C = {x x è un numero pari}. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 12 / 30

13 L insieme N dei numeri naturali (o interi positivi) L insieme N dei numeri naturali (o interi positivi) è un insieme infinito ed ordinato. Il numero 0 appartiene ad N e precede tutti gli altri numeri naturali. Non esiste un numero naturale che segue tutti gli altri. Per ogni n appartenente ad N, n + 1 (successivo) appartiene ancora ad N ogni numero naturale ha un successivo. Dati due numeri naturali, uno dei due sarà maggiore dell altro e viceversa. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 13 / 30

14 Insieme N e le quattro operazioni Un operazione agisce (opera) sui numeri associando ad essi, secondo una determinata regola, altri numeri. Le quattro operazioni sono definite binarie poiché operano una coppia ordinata di numeri. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 14 / 30

15 Addizione L addizione è un operazione interna ad N: la somma di due numeri naturali qualsiasi sarà sempre un numero naturale. Ossia l insieme N è chiuso rispetto all addizione. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 15 / 30

16 Addizione L addizione è un operazione interna ad N: la somma di due numeri naturali qualsiasi sarà sempre un numero naturale. Ossia l insieme N è chiuso rispetto all addizione. n, m N con s N n + m = s Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 15 / 30

17 Addizione L addizione è un operazione interna ad N: la somma di due numeri naturali qualsiasi sarà sempre un numero naturale. Ossia l insieme N è chiuso rispetto all addizione. n, m N con s N n + m = s Proprietà dell addizione: commutativa: n + m = m + n, n, m N associativa: n + m + q = s + q dove s = n + m dissociativa: n + m = (a + b) + m dove a + b = n Ha l elemento neutro 0: n + 0 = 0 + n = n, n N Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 15 / 30

18 Sottrazione La sottrazione è l operazione inversa dell addizione. Non è un operazione interna ad N. Proprietà della sottrazione: invariantiva: n m = (n + a) (m + a) = (n b) (m b) Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 16 / 30

19 Moltiplicazione La moltiplicazione è un operazione interna ad N. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 17 / 30

20 Moltiplicazione La moltiplicazione è un operazione interna ad N. n, m N con p N n m = p Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 17 / 30

21 Moltiplicazione La moltiplicazione è un operazione interna ad N. n, m N con p N n m = p Proprietà della moltiplicazione: commutativa: n m = m n, n, m N associativa: n m q = p q dove p = n m dissociativa: n m = (a b) m dove a b = n Ha l elemento neutro 1: n 1 = 1 n = n, n N Ha l elemento assorbente 0: n 0 = 0 n = 0, n N Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 17 / 30

22 Divisione La divisione è l operazione inversa della moltiplicazione. Non è un operazione interna ad N. Proprietà della sottrazione: invariantiva: n : m = (n a) : (m a) = (n b) : (m b) Divisioni particolari: n : 0 è un operazione impossibile; 0 : 0 è un operazione indeterminata. Quando lo 0 assume il ruolo di divisore, dà luogo a divisioni prive di significato la divisione associa, quando è possibile, a due numeri (il secondo dei quali 0) un terzo numero che, moltiplicato per il secondo, dà come risultato il primo. a : b = c se b 0 e c = a Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 18 / 30

23 L elevamento a potenza Definiamo una potenza come il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti ne indica l esponente. Dati i numeri naturali a ed n, definiamo potenza ennesima di a il prodotto di n fattori tutti uguali ad a: a a... a = a n L operazione di elevamento a potenza è interna all insieme N, privato dello 0 (N 0 ). Potenze particolari: a 1 = a a N a 0 = 1 a non ha significato. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 19 / 30

24 L insieme Z dei numeri interi relativi I numeri interi relativi sono quei numeri il cui valore dipende dal segno che li precede. Prima dello 0 avremo i numeri interi negativi ( ), dopo lo zero avremo i numeri interi positivi (o naturali) (+). Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 20 / 30

25 La divisione dei numeri interi relativi Il quoziente di due numeri interi relativi è quel numero che ha: per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti; il segno + se i due numeri sono concordi; il segno se i due numeri sono discordi. Casi particolari: 0 : z = 0 z : 0 è impossibile 0 : 0 è indeterminata Se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i termini di una divisione per uno stesso numero relativo ( 0), il quoziente non cambia. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 21 / 30

26 Il valore assoluto di un numero relativo Il valore assoluto (o modulo) di un numero (intero, razionale o reale) relativo è il numero stesso considerato senza segno. Esempio: 3 = 3. Due numeri relativi: uguali, se hanno stesso valore assoluto e stesso segno; concordi, se hanno stesso segno; discordi, se hanno segno diverso; opposti, se hanno stesso valore assoluto e diverso. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 22 / 30

27 La potenza di un numero relativo Vale quanto detto riguardo l elevamento a potenza di un numero naturale, tuttavia nel caso di numeri interi relativi occorre tenere conto del segno. Se la base è un numero positivo, la potenza è sempre un numero positivo; Se la base è un numero negativo, la potenza è un numero: positivo, se l esponente è pari; negativo, se l esponente è dispari. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 23 / 30

28 La potenza di un numero relativo Come per l elevamento a potenza in N, anche in Z avremo che: z 0 = 1 z 1 = z Proprietà delle potenze: z n z m = z n+m z n : z m = z n m (z n ) m = z n m z n a n = (z a) n z n : a n = (z : a) n Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 24 / 30

29 L insieme Q + dei numeri razionali assoluti Sappiamo che una frazione può essere considerata come il quoziente di due numeri, il numeratore ed il denominatore. Esempio: 3 4 = 3 : 4. Le frazioni equivalenti a 3 4 costituiscono un insieme infinito: 3 4 { 3 4 ; 6 8 ; 9 12 ; ;... } e tutte le frazioni che costituiscono gli elementi dell insieme danno il medesimo risultato di 3 : 4 = 0.75 che definiamo come numero razionale assoluto. L insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme dell insieme Q + dei numeri razionali assoluti, ossia N Q +. Esempio: 3 = 3 1 Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 25 / 30

30 L insieme Q dei numeri razionali relativi Esattamente come visto per i numeri interi, anche i numeri razionali possono essere relativi e dunque il loro valore dipenderà dal segno che li precede. Così come N Q +, Z Q. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 26 / 30

31 L estrazione di radice L estrazione di radice è una delle operazioni inverse dell elevamento a potenza. Ossia è quell operazione che ci permette di trovare la base conoscendo la potenza e l esponente. La radice quadrata di un numero naturale è quel numero che, elevato al quadrato, mi restituisce il numero in oggetto. Esempio: 9 = 3 poiché 3 2 = 9. La radice ennesima di un numero naturale è quel numero che, elevato alla n, mi restituisce il numero di partenza. con n 0. n a = b se b n = a Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 27 / 30

32 Le potenze perfette I numeri naturali, la cui radice quadrata è un numero naturale, si dicono quadrati perfetti. Esempio: 64 è un quadrato perfetto, poiché 8 2 = 64. I numeri naturali, la cui radice cubica è un numero naturale, si dicono cubi perfetti. Esempio: 27 è un cubo perfetto, poiché 3 3 = 27. Tuttavia, non tutti i numeri naturali sono quadrati o cubi perfetti. Dunque l estrazione di radice non è un operazione interna all insieme N dei numeri naturali. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 28 / 30

33 L insieme I + dei numeri irrazionali assoluti e l insieme I dei numeri irrazionali relativi Tutte le radici quadrate di numeri (> 0) che non sono quadrati perfetti sono numeri decimali illimitati non periodici, ossia non possono essere espressi sotto forma di frazione, e li chiamiamo numeri irrazionali assoluti. Anche i numeri irrazionali possono dipendere dal segno che li precede ed essere definiti relativi. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 29 / 30

34 L insieme R dei numeri reali e l insieme R + dei numeri reali assoluti L unione dell insieme Q e dell insieme I costituisce l insieme R dei numeri reali. L insieme Q + e l insieme I + sono disgiunti. L unione di questi due insiemi costituisce l insieme R + dei numeri reali assoluti. Lucrezia Fanti Intro Matematica per le Scienze Sociali 30 / 30