I Naturali. I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. Sono un insieme ordinato N

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1 Insiemi numerici

2 I Naturali I numeri naturali sono quegli oggetti matematici che servono per contare le cose che ci circondano. 0,1,2,3,, 9, Sono un insieme ordinato N

3 Operazioni Somma a+b 1+2=? N

4 Operazioni Somma a+b b volte Moltiplicazione axb = a+a+ +a Elevamento a potenza a b = axax xa b volte

5 Operazioni e ordinamento Somma a+b Moltiplicazione axb Elevamento a potenza a b Il risultato è maggiore di ciascuno dei termini dell operazione

6 Operazioni Somma a+b Moltiplicazione axb Elevamento a potenza a b Sottrazione a-b=c a=b+c 3-2=? 1 a b N

7 Somma a+b Operazioni Moltiplicazione axb Elevamento a potenza a b Sottrazione a-b=c Divisione a:b=q con resto a=bxq a b a=bxq +r q r Estrazione della radice b a = c a=c b

8 Somma a+b Operazioni e ordinamento Moltiplicazione axb Elevamento a potenza a b Sottrazione a-b=c Divisione con resto a b q r Estrazione della radice b a = c c a q a e r b c a

9 Proprietà delle operazioni Somma Commutativa a+b=b+a Associativa a+(b+c)=(a+b)+c Esistenza elemento neutro 0 a+0=a Sottrazione Commutativa Associativa (7-1)-2 (7-2)-1 7-(2-1) 7-(1-2) Esistenza elemento neutro 0 a-0=a

10 Proprietà delle operazioni Prodotto Commutativa axb = bxa Associativa ax(bxc) = (axb)xc Esistenza elemento neutro 1 ax0=0 Legge di annullamento del prodotto axb=0 (a=0 b=0) ax1=a Prodotto e somma Distributiva ax(b+c) = axb + axc

11 Divisione Commutativa Proprietà delle operazioni Associativa (8:4):2 8:(4:2) Esistenza elemento neutro 1 0:a=0 a:1=a a:0 IMPOSSIBILE 0:0 forma indeterminata Divisione e somma Distributiva (a+b):c = a:c + b:c Distributiva a:(b+c) a:b + a:c Divisione e prodotto a:(bxc) (a:b)xc

12 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza 1 n =1 0 n =0 a 0 =1 0 0 a b x a 0 = a b+0 = a b

13 Proprietà delle operazioni Elevamento a potenza a b x a c = a b+c a b : a c = a b-c (a b ) c = a bxc a b x c b = (axc) b a b : c b = (a:c) b

14 Esercizi {[7 10: ]: 23 +(2 5)(3 2)-11}:[11-3 2] : : Ordina e rappresenta i seguenti numeri: :2

15 Gli Interi I numeri col segno OPPOSTO a+(-a)= NZ SEGNO MODULO -a

16 Valore assoluto E un operatore che restituisce il modulo di un numero intero. x = x se x 0 -x se x<0

17 Operazioni Somma a+b 1+(-2)=1-2= NZ stesso segno: lascio il segno e sommo i moduli segno opposto: segno del modulo maggiore e differenza tra i moduli

18 Operazioni Somma a+b Moltiplicazione axb Modulo = prodotto dei moduli + x + = + + x - = - - x + = - - x - = + Elevamento a potenza a b, b>0 (+a) b =+a b (-a) b =+a b se b è pari (-a) b =-a b se b è dispari

19 Operazioni Sottrazione a-b = a+(-b) a-(-b) = a + (-1)x(-b) = a+b Divisione a:b Modulo = rapporto tra i moduli Segno come per il prodotto Estrazione della radice, b>0 b a se b è pari e a 0 b a se b è dispari Radice aritmetica e radice algebrica x 2 = x

20 Operazioni e ordinamento Somma Moltiplicazione Elevamento a potenza Il risultato è maggiore di ciascuno dei termini dell operazione Sottrazione Divisione Il risultato è minore del sottraendo/dividendo

21 Proprietà delle operazioni Somma Esistenza dell opposto a -a a+(-a)=0 Elevamento a potenza Esponente negativo a b : a b = a b-b = a b+(-b) = a b x a -b

22 Esercizi

23 I razionali Q Numeratore Denominatore p q con p, q Z, q 0 1 a a = 1 INVERSO -2-1 ½ QZ

24 Operazioni Somma ERRORI: a b + c d = a + c b + d a + b a + c a b + c d = ad + cb bd x + y a + y

25 Operazioni Somma Moltiplicazione ERRORI: a b c d = ac bd a + b c 1 a a b + c b 1

26 Operazioni Somma Moltiplicazione Elevamento a potenza p q n p q n n a n n 1 a p q q q p p n n n n

27 Operazioni Sottrazione Divisione Estrazione della radice, b>0 b p q b b p q

28 Proprietà delle operazioni Somma Esistenza dell opposto p q p q Prodotto Esistenza dell inverso p q q p

29 Elevamento a potenza a p q q p a Valido solo per a>0 impossibile

30 Esercizi : :

31 Gli irrazionali Esistono? 0, ? Q Z N

32 I Reali R Q Z N Operazioni e ordinamento Somma e sottrazione mantengono l ordine Moltiplicazione e divisione a > 0 mantiene a < 0 inverte

33 I Reali Operazioni e ordinamento Potenza esponente positivo come moltiplicazione esponente negativo come divisione Passaggio all opposto inverte Passaggio all inverso segno concorde inverte segni discordi mantiene

34 Il logaritmo a x = y x =log a y base 10, e argomento a>0 e a 1 y > 0 (⅞) x =5 x = log ⅞ 5

35 Esercizi y log3 9 y=2 y 1 log3 9 y=-2 y log2 1 y=0 y log2 2 y=1 y = log 2 ( 2) y = log 0 4 impossibile

36 Esercizi log 3 x = 2 log x 81 = 4 log3x = 1 2 log3 2x = 2 3 log x 8 = 1 log x = 1 13 log 5 x = 0 log x 5 49 = 2 5