Gli insiemi numerici

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1 Gli insiemi numerici

2 L insieme N Insieme dei numeri naturali N = {0; 1; 2; 3; 4; } Sono i numeri che si usano per contare È un insieme infinito (ogni numero naturale ha un successivo) È un insieme ordinato, cioè è possibile introdurre una relazione d ordine (<)

3 L insieme N In questo insieme sono interne due operazioni: Addizione Moltiplicazione (ed elevamento a potenza) Equivalentemente si dice che l insieme N è chiuso rispetto all addizione e alla moltiplicazione.

4 Ampliamo l insieme N in modo che si possano svolgere anche tutte le sottrazioni. L insieme N si può ampliare aggiungendo i numeri negativi. Nasce così l insieme Z dei numeri interi.

5 L insieme Z È l insieme dei numeri interi Z = {0; +1; -1; +2; -2; } È un insieme infinito Contiene: Numeri negativi Zero Numeri positivi

6 L insieme Z Identificando i numeri positivi con quelli naturali ((considerando Z + =N), possiamo dire che N è un sottoinsieme di Z. N=Z + Z

7 L insieme Z Z è chiuso rispetto alle operazioni: Addizione e sottrazione Moltiplicazione (ed elevamento a potenza)

8 Ampliamo l insieme Z in modo che si possano svolgere anche tutte (quasi) le divisioni. L insieme Z si può ampliare aggiungendo le frazioni. Nasce così l insieme Q dei numeri razionali.

9 Ancora non possiamo svolgere tutte le divisioni, ma quasi tutte Quanto fa 0 : 3? Perché? Quanto fa 3 : 0? Perché? Quanto fa 0 : 0? Perché?

10 0 : 3 = 0 perché 0 x 3 = 3 3 : 0 = nessun un numero! Infatti nessu numero, moltiplicato per 0 dà 3 0 : 0 = qualsiasi numero! Infatti qualsiasi numero, moltilpicato per 0 dà 0 Quindi: Escludiamo le divisioni con divisore 0, che sono: Impossibili se il dividendo è diverso da zero Indeterminate se il dividendo è uguale a zero

11 L insieme Q È l insieme dei numeri razionali (ratio = rapporto) Q = {a/b : a, b sono numeri interi, a è diverso da 0} Quindi Q è un insieme infinito, che ha Z come sottoinsieme

12 L insieme Q Q N=Z + Z

13 L insieme Q Q è chiuso rispetto alle operazioni: Addizione e sottrazione Moltiplicazione (ed elevamento a potenza) e divisione*

14 Ampliamo l insieme Q in modo che si possa svolgere anche l operazione inversa dell elevamento a potenza. Tutte??? Ci porterà a generare l insieme R dei numeri reali.

15 L insieme R È un insieme infinito È chiuso rispetto a: Addizione e sottrazione Moltiplicazione e divisione* Estrazione di radice di indice dispari Estrazione di radice di indice pari di numeri positivi

16 L insieme R Contiene: numeri razionali (in Q) numeri irrazionali (in R meno Q) (esempi: radice di due, radice di tre, pi-greco, )

17 L insieme R R Q N=Z + Z

18 Esempi π - 2 R -3/4 +2/3 +0,333 Z Q N=Z

19 Insieme numerico N Z Q 1) Il problema algebrico Operazioni interne Addizione Moltiplicazione-Elevamento a potenza Addizione, Moltiplicazione - Elevamento a potenza Sottrazione Addizione, Moltiplicazione - Elevamento a potenza Sottrazione Divisione? Voglio che diventi interna l operazione inversa all elevamento a potenza

20 Qual è l operazione inversa dell elevamento al quadrato? La RADICE QUADRATA di un numero a positivo o nullo è quel numero, positivo o nullo, che elevato al quadrato dà come risultato a. a = b se a=b 2 con a 0 e b 0

21 Q non è chiuso rispetto all estrazione di radice quadrata, infatti ci sono alcuni numeri che non hanno la radice quadrata in Q. Vediamo il caso del numero 2

22 Cerchiamo in N

23 Cerchiamo in Q Supponiamo che ci sia una frazione ridotta ai minimi termini che abbia come quadrato 2. a b 2 = 2 Ma a non è multiplo di b, quindi nemmeno a a è frazione apparente. b b Come fa una frazione non apparente ad essere uguale a 2? Abbiamo ottenuto una contraddizione!!!

24 Quindi non esiste alcun numero razionale che abbia come quadrato 2. Proviamo a cercare quel numero che elevato al quadrato dà 2. 2 ( 1) < 2 < (2) Se cerco quello con una cifra decimale? 2 2 ( 1,...) < 2 < (1,...) 2

25 2) Problema storico, alla scuola di Pitagora È possibile trovare una unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte sia nel lato sia nella diagonale di qualsiasi quadrato?

26 Tutto è numero Pitagora Samo 470 a.c. Metaponto 495 a.c.

27 Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline senza lasciare spazi vuoti......si potrà fare lo stesso per la diagonale?

28 Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline......si potrà fare lo stesso per la diagonale?

29 Questa non è una soluzione accettabile: non si possono lasciare spazi vuoti!

30 Non funziona!

31 E se usassimo delle palline più piccole? Non funziona!

32 E se usassimo delle palline più piccole?

33 E se usassimo delle palline più piccole? Non funziona!

34 E se usassimo delle palline ancora più piccole?

35 E se usassimo delle palline ancora più piccole? Non funziona! Si riuscirà in qualche modo?

36 Lato e diagonale di un quadrato qualsiasi sono incommensurabili : è impossibile trovare un unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale

37 Lato e diagonale di un quadrato sono incommensurabili : è impossibile trovare un unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale

38 Lato e diagonale di un quadrato sono incommensurabili : è impossibile trovare un unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte tanto nel lato quanto nella diagonale

39 Rivediamo la dimostrazione proposta nel dialogo tra Ippaso e i pitagorici.

40 Supponiamo che: n m il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n

41 Supponiamo che: D C a b A B il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b

42 D C Supponiamo che: b a A B il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele Teorema di Pitagora a 2 =2b 2 a 2 è pari a è pari a=2c a 2 =4c 2 2b 2 =4c 2 b 2 =2c 2 a/b è ridotta ai minimi termini b 2 è pari b è dispari b è pari

43 Supponiamo che: il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele Teorema di Pitagora a 2 =2b 2 D A b a C B a 2 è pari a è pari a/b è ridotta ai minimi termini a=2c a 2 =4c 2 2b 2 =4c 2 b 2 =2c 2 b 2 è pari b è dispari b è pari

44 Supponiamo che: il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele Teorema di Pitagora a 2 =2b 2 D A b a C B a 2 è pari a è pari a/b è ridotta ai minimi termini a=2c a 2 =4c 2 2b 2 =4c 2 b 2 =2c 2 b 2 è pari b è dispari contraddizione b è pari

45 Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili cioè che esista una unità di misura contenuta a volte nella diagonale e b volte nel lato... b a

46 Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie. b è dispari contraddizione b è pari

47 Se supponiamo che: lato e diagonale siano commensurabili. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie. Perciò dobbiamo concludere che: lato e diagonale sono incommensurabili