ESERCIZI DI MATEMATICA

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1 DI MATEMATICA PER GLI STUDENTI IN INGRESSO ALLA CLASSE PRIMA Rev. Luglio 2019 Pag. 1 di 18

2 NUMERI NATURALI L insieme dei numeri naturali si indica con N. TABELLA DEI NUMERI PRIMI DIVISIBILITÀ E MULTIPLI Un numero è: Divisibile per Se Allora è anche multiplo di 2 Termina con 0 o con una cifra pari 2 3 La somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 Es. 1245: =15 -> 15: 1+5=6 6 è multiplo di 3 -> è divisibile per 3 5 L ultima cifra è 0 o 5 Es. 235 = 5 * La differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11 Es: : cifre di posto pari: = 14 cifre di posto dispari: = 14 la differenza è è divisibile per Massimo Comun Divisore (MCD) fra due o più numeri MCD è un divisore, quindi sarà più piccolo dei numeri dati o sarà uguale al più piccolo tra i numeri dati e per calcolarlo devi: 1. Scomporre ciascun numero in numeri primi 2. Evidenziare i soli fattori comuni tra i numeri scomposti 3. MCD è il prodotto dei soli fattori comuni presi con l esponente più piccolo Rev. Luglio 2019 Pag. 2 di 18

3 Minimo comune multiplo (mcm) fra due o più numeri mcm è un multiplo, quindi sarà più grande dei numeri dati o sarà uguale al più grande dei numeri dati e per calcolarlo devi: 1. Scomporre ciascun numero in numeri primi 2. Evidenziare tutti i fattori comuni e non comuni tra i numeri scomposti 3. mcm è il prodotto di tutti i fattori presenti, presi con l esponente più grande Scomponi e calcola MCD e mcm dei seguenti gruppi di numeri 1. 18, , , , 24, 54 Rev. Luglio 2019 Pag. 3 di 18

4 NUMERI RELATIVI L insieme dei numeri relativi si indica con Z. Sono i numeri interi preceduti dal segno più (+) o dal segno meno (-) e lo zero (0). A volte i numeri relativi positivi si possono scrivere senza il segno più (+) davanti, quando è chiaro che si intende il numero come positivo. I numeri ci servono per dare valore. esempio: voglio sapere quanti soldi ho in tasca, per capire se posso comprare un oggetto devo sommare tutti i valori delle banconote e delle monete che ho devo confrontare il totale ottenuto col prezzo dell oggetto: se il totale è maggiore del prezzo posso comprarlo se il totale è minore del prezzo dell oggetto, devo chiedere di prestarmi la differenza per riuscire a comprarlo: il prestito sono i soldi che mi mancano e quindi lo indicherò col segno (-) Per confrontare i numeri devo saperli ordinare in ordine crescente (dal più piccolo al più grande) o decrescente (dal più grande al più piccolo). Per i numeri positivi è in genere facile, per quelli negativi le regole per ordinarli correttamente sono: ogni numero negativo è più piccolo di qualsiasi numero positivo e dello zero. il più piccolo tra due numeri negativi è quello che ha valore assoluto più grande, cioè è il più grande dei due se non considero il suo segno: > valore assoluto > valore assoluto 5 Quindi Siccome 100 > 5 allora -100 < -5 Esempio: Ordinare i numeri relativi: 1, -1, 3, -4, -5, 6, 10, -100 In ordine crescente: -100, -5, -4, -1, 1, 3, 6, 10 O Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri relativi: Rev. Luglio 2019 Pag. 4 di 18

5 Le operazioni aritmetiche coi numeri relativi: NOTA: coi numeri relativi i segni + e hanno significato diverso in base a dove sono messi: se sono scritti tra due numeri: > somma dei due numeri 8 3 -> differenza dei due numeri se sono scritti davanti ad un numero: + 5 -> numero positivo 3 -> numero negativo Non si possono mai scrivere due simboli di operazioni aritmetiche uno dopo l altro: per sommare +5 a -4 devo scrivere (- 4) per moltiplicare +5 con -4 devo scrivere + 5 * (- 4) MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE Due numeri con lo stesso segno Due numeri di segno diverso numeri positivi numeri negativi Il positivo è maggiore in valore assoluto Il negativo è maggiore in valore assoluto (+3) * (+5) = = +(3*5) = +15 (-3) * (-5) = = +(3*5) = +15 (-3) * (+5)= = - (3*5) = -15 (+3) * (-5) = = -(3*5) = -15 Moltiplicazione Divisione La moltiplicazione di due numeri con lo stesso segno, ha sempre come risultato un numero positivo (+12) : (+2) = (-12) : (-2) = = +(12 : 2) = +6 = +(12 : 2) = +6 La divisione tra due numeri con lo stesso segno, ha sempre come risultato un numero positivo La moltiplicazione di due numeri con segno diverso, ha sempre come risultato un numero negativo (+12) : (-2) = (-12) : (+2) = = -(12 : 2) = -6 = - (12 : 2) = -6 La divisione tra due numeri con segno diverso, ha sempre come risultato un numero negativo SOMMA E SOTTRAZIONE Coi numeri relativi somma e sottrazione si mescolano : sommare un numero negativo è in pratica una sottrazione tra due numeri positivi. Esempi Sommo numeri con lo stesso segno: (+3) + (+5) = = 8 -> è una somma tra numeri naturali e il risultato ha segno + (- 3) + (- 5) = = - 8 -> è la somma dei valori dei due numeri, ma il risultato ha segno - Rev. Luglio 2019 Pag. 5 di 18

6 Sommo numeri con segni diversi: La somma di numeri con segni diversi è una sottrazione: (-3) + (+ 5) = = 5 3 = 2 -> quando il numero con valore più grande è positivo è la sottrazione dei due numeri e il risultato ha segno + (+3) + (- 5) = 3-5 = = - 2- > quando il numero con valore più grande è negativo è la sottrazione dei due numeri, ma il risultato ha segno - In pratica, si sottrae il numero più piccolo in valore assoluto dal più grande in valore assoluto e il segno del risultato è quello che aveva il numero con valore assoluto più grande. Calcola le seguenti somme e sottrazioni Calcola le seguenti moltiplicazioni e divisioni Rev. Luglio 2019 Pag. 6 di 18

7 LE POTENZE. Una potenza si definisce come il prodotto di un numero per sé stesso eseguito più volte: Esempio: Un caso particolare sono i numeri naturali: 1 = = = 3 1 Potenze notevoli: Esponente 0: 1 0 = 2 0 = (-3) 0 = 1 Base 0: 0 1 = 0 2 = = 0 3 è la base della potenza 4 è l esponente della potenza Caso particolare: 0 0 non ha significato Determinare il segno di una potenza: Nel caso di potenza di un numero positivo, il risultato è sempre positivo. Se si eleva a potenza un numero negativo, il risultato sarà positivo se l esponente è pari e sarà negativo se l esponente è dispari. Es. (-2) 4 = + 16 (-2) 3 = - 8 attenzione alle parentesi: - ( 2) 4 = ( 2) 3 = (-2) 4 = (-2) 3 = + 8 Proprietà delle potenze. Prodotto di potenze con la stessa base: Esempio = = 5 6 Divisione di potenze con la stessa base: Esempio 5 4 : 5 3 = = 5 1 = 5 Potenza di potenza: Esempio: (7 2 ) 5 = = 7 10 Prodotto di potenze con lo stesso esponente Esempio = (5 3) 2 = 15 2 Divisione tra potenze con lo stesso esponente Esempio 15 2 : 3 2 = (15 : 3) 2 = 5 2 a m a n = a m + n a m : a n = a m - n (a m ) n = a m n a m b m = (a b) m a m : b m = (a:b) m Rev. Luglio 2019 Pag. 7 di 18

8 Calcola il valore delle seguenti potenze ( -3) 4 = ( +3) 4 = ( 1 ) 10 = 0 5 = ( -2) 5 = Calcola il valore delle seguenti operazioni tra potenze lasciando il risultato espresso come potenza (es = 2 8 ) = = = = = = Rev. Luglio 2019 Pag. 8 di 18

9 ORDINE DI PRECEDENZA DELLE OPERAZIONI NEL CALCOLO DELLE ESPRESSIONI 1. Si risolvono le parentesi, dalle più interne alle più esterne. Se il contenuto di una parentesi è elevato a potenza, prima si eseguono le operazioni all interno della parentesi e poi si eleva a potenza il risultato. 2. Moltiplicazioni e divisioni, nell ordine in cui sono scritte Se le moltiplicazioni o le divisioni sono tra numeri elevati a potenza, si controlla se si possono applicare le proprietà delle potenze per semplificare i calcoli, poi si eleva a potenza e quindi si eseguono le moltiplicazioni e divisioni rimaste, nell ordine in cui sono scritte. Quando non è possibile applicare le proprietà delle potenze, prima si eleva a potenza e poi si eseguono moltiplicazioni e divisioni, nell ordine in cui sono scritte. 3. Addizioni e sottrazioni, nell ordine in cui sono scritte Se le addizioni e le sottrazioni sono tra numeri elevati a potenza, prima si eleva a potenza e poi si eseguono addizioni e sottrazioni, nell ordine in cui sono scritte. Calcola: : = [ 10 ] 2. (2 5) 3 : (2 3 : 2 2 ) {(6 2 2 ) [ (2 4 : 2 2 )]} = [ 4] 3. [ ( 2) 3 + ( 12) 2 : ( 4 2 )] [ ( 3) 2 12] = [ 42] 4. [( 5) 7 : ( 5) 5 ( 5 2 )]: [( 5) 8 : ( 5) 6 ] + ( ) 2 : (15 8) 2 = [ 24] Rev. Luglio 2019 Pag. 9 di 18

10 FRAZIONI I NUMERI RAZIONALI Le frazioni sono espressioni del tipo N è il numeratore ed è un numero intero D è il denominatore ed è un numero intero La frazione è un modo per scrivere una divisione: = N : D Deve sempre essere D 0, perché non si può mai dividere per 0 Semplificazione di una frazione (detta anche riduzione ai minimi termini) Esempio: Semplifica, se possibile, le seguenti frazioni = = 12 8 = = = = Disponi le seguenti frazioni in ordine crescente. Rev. Luglio 2019 Pag. 10 di 18

11 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI Addizione e sottrazione: bisogna trasformare le frazioni a denominatore comune prima di poter eseguire le operazioni tra i numeratori. Esempio: Moltiplicazione: la frazione risultante ha come numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori. Esempio: Rev. Luglio 2019 Pag. 11 di 18

12 Reciproco di una frazione: il reciproco di una frazione è una frazione si calcola scambiando il numeratore col denominatore. Esempio: il reciproco di è il reciproco di 3 è il reciproco di è 3 Divisione: la divisione tra due numeri frazionari si trasforma in una moltiplicazione tra il dividendo ed il reciproco del divisore. (Nota importante: se le frazioni sono elevate a potenza controllare prima se si può applicare la regola per la divisone tra potenze con la stessa base) Esempio: Potenza: una frazione elevata a potenza si scrive tra parentesi, per segnalare che sia il numeratore che il denominatore sono elevati a potenza. Esempio: Se l esponente è negativo si trasforma in positivo facendo il reciproco della frazione Esempio: oppure Rev. Luglio 2019 Pag. 12 di 18

13 Calcola il valore delle seguenti espressioni [ 1 5 ] [ 1 5 ] [ 15 2 ] [0] PERCENTUALI La percentuale è un altro modo di esprimere una frazione: Es. Calcola il 30% di % = = 270 Rev. Luglio 2019 Pag. 13 di 18

14 Le scarpe che voglio comprare costano 150. Ora ci sono i saldi e sono scontate del 20%. Quanto le pago e quanto risparmio. Calcolo lo sconto: Calcolo quanto le pago: = 30 1 a soluzione: = a soluzione: il prezzo scontato in percentuale è quindi (100 20)% = 80% = 120 Risolvi i seguenti problemi con le frazioni: Marco percorre in bici 54 km in tre tappe; durante la 1 tappa percorre 4/9 dell intero tragitto e durante la seconda tappa i 3/5 dei km rimanenti; quanti chilometri percorre Marco nell ultima tappa? [ 12 km ] Maria e Franco per andare a scuola percorrono la stessa strada. Maria si trova a 15 del percorso, Franco è a del percorso. Chi è più vicino a scuola? (spiega con un calcolo la tua scelta) [Maria] 19 Risolvi i seguenti problemi con le percentuali: In una scatola ci sono 50 palline colorate: 20 sono rosse, 25 blu, 5 bianche. Calcola la percentuale di palline rosse, blu, bianche. Ho comprato un cappotto pagandolo 280 Sapendo che mi è stato applicato uno sconto del 30% quanto costava il cappotto? [40%, 50%,10%] [ 400 ] Rev. Luglio 2019 Pag. 14 di 18

15 DA DECIMALI A FRAZIONI Un numero decimale è un modo di rappresentare la divisione tra un numero intero ed un multiplo di 10. Esempio 3,5489 = : Quindi possiamo trasformare un numero decimale in frazione Esempio 3,5489 = Trasforma in frazioni e, se possibile, riduci le frazioni ottenute ai minimi termini 0,12 72,35 123,5 0,04 Rev. Luglio 2019 Pag. 15 di 18

16 BREVE RIPASSO DI GEOMETRIA Formulario Rev. Luglio 2019 Pag. 16 di 18

17 Teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa equivale all area dei quadrati costruiti sui cateti. CB è l ipotenusa che chiamiamo i AB e AC sono i cateti che chiamiamo c1 e c2 Il teorema di Pitagora : (i) 2 = (c1) 2 + (c2) 2 Noti due lati del triangolo rettangolo, Pitagora ci permette di calcolare la lunghezza del terzo lato: Problemi di geometria 1. Calcola l'area di un triangolo rettangolo avente l'ipotenusa e un cateto lunghi rispettivamente 39 cm e 15 cm. [36 cm] 2. L altezza di un rettangolo è 16 cm più lunga della base, che misura 8 cm. Disegna la figura e calcola area e perimetro del rettangolo. [192 cm 2, 64 cm] 3. Il perimetro di un triangolo equilatero è 99 cm. Calcola il lato del triangolo e motiva il calcolo. [33 cm] 4. Un triangolo isoscele ha la base lunga 2 cm ed il lato lungo il doppio della base. Calcola il perimetro del triangolo- [10 cm] 5. Un quadrato ha area 25 m 2, calcola il suo perimetro. Rev. Luglio 2019 Pag. 17 di 18

18 [20 m] 6. L area di un triangolo rettangolo è di 240 dm². Calcola il perimetro della figura, sapendo che il cateto minore è di 16 dm. [20 m] 7. Vogliamo ingrandire il parcheggio come mostrato in figura: attualmente misura 20 m x 30 m. Possiamo allungare la base di 12,5 metri e l altezza di 10 m. Di quanto aumenta l area del parcheggio? [675 m 2 ] Rev. Luglio 2019 Pag. 18 di 18