BREVE RIEPILOGO SULLE FRAZIONI

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1 BREVE RIEPILOGO SULLE FRAZIONI ---> Numeratore = numero di parti uguali considerate Linea di frazione <--- = divisione ---> Denominatore = numero di parti uguali in cui è diviso l'intero la frazione si può leggere in modi diversi: tre quinti, tre fratto cinque, tre su cinque, tre diviso. La linea di frazione corrisponde ad una divisione: =:=0,6 Prendere i di una certa quantità detta intero, ad esempio un numero o un segmento o una figura geometrica, significa dividere l'intero in parti uguali e prenderne. Quindi per calcolare i di un numero che rappresenta l'intero bisogna dividere l'intero per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore. Calcolare i di 0 vuol dire calcolare: 0=(0:) =4 = AL CONTRARIO: se un valore, ad esempio, corrisponde ai di un intero, vuol dire che l'intero è stato diviso in parti uguali e parti insieme valgono, quindi ogni parte vale :=. Per calcolare l'intero bisogna divivere il numero dato per il numeratore e moltiplicare il risultato per il denominatore. Se corrisponde ai di un intero allora intero : ) x = x = Due o più frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano la stessa parte dell'intero e quindi corrispondono allo stesso valore, ad esempio 4 = 8 = =0,. Per trovare frazioni equivalenti si applica la proprietà invariantiva della divisione, cioè si moltiplica o divide numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero. Ad esempio = = 6 =0,4 ; 8 40 = 8:8 40:8 = =0, Una frazione è ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono primi tra loro. Ridurre una frazione ai minimi termini vuol dire trovare una frazione equivalente in cui numeratore e denominatore siano primi tra di loro. Quindi per ridurre una frazione ai minimi termini applico la proprietà invariantiva: divido numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero fino a quando numeratore e denominatore sono primi tra loro.

2 FRAZIONI CON STESSO DENOMINATORE OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ADDIZIONE e SOTTRAZIONE + = + = 4 La SOMMA di due o più frazioni con stesso denominatore è la frazione che ha: per denominatore lo STESSO DENOMINATORE per numeratore la SOMMA DEI NUMERATORI =+4 9 = 6 9 ; 4 + =4+ = 6 - = - = La DIFFERENZA di due o più frazioni con stesso denominatore è una frazione che ha: per denominatore lo STESSO DENOMINATORE per numeratore la DIFFERENZA DEI NUMERATORI = 4 9 = 9 ; 4 =4 =

3 FRAZIONI CON DIVERSO DENOMINATORE 4 + =? Prima di svolgere le operazioni bisogna TRASFORMARE TUTTE le frazioni in frazioni equivalenti CON LO STESSO DENOMINATORE. Poi è possibile addizionare o sottrare i numeratori trasformati come visto nel caso precedente. I passaggi da seguire sono: ) Calcolare il denominatore comune cioè il minimo comune multiplo di TUTTI i denominatori: denominatore comune = m.c.m (, 4, ) = 60 ) Trasformare TUTTE le frazioni in modo che abbiano il denominatore uguale al denominatore comune. Per farlo uso la proprietà invariantiva: moltiplico numeratore e denominatore per lo stesso numero in modo da ottenere come denominatore 60. = 0 0 =40 60 ; 4 = 4 = 60 ; = =6 60 Come si calcola il numero per cui devo moltiplicare per ottenere 60? Con l'operazione inversa: dividere il denominatore comune per i denominatori delle frazioni: 60 : = 0 ; 60 : 4 = ; 60 : = ) Svolgere le operazioni come visto prima con le frazioni trasformate con lo stesso denominatore: 4 + = = = NELLA PRATICA per comodità si uniscono i passaggi e quindi alla fine : si traccia un'unica riga di frazione, si calcola il denominatore comune e si scrive a denominatore a numeratore, per calcolare i numeri da sommare o sottrarre, si divide il denominatore comune per il denominatore di ogni frazione e si moltiplica il risultato per il numeratore: 4 + =(60:) (60 : 4) +(60 :) 60 = 0 + = = NOTE IMPORTANTI PRIMA DI SVOLGERE I PASSAGGI E' MOLTO UTILE RIDURRE LE FRAZIONI AI MINIMI TERMINI altrimenti si rischia di svolgere conti con numeri inutilmente grandi con cui è più facile sbagliare. SE SONO PRESENTI DEI NUMERI INTERI BISOGNA RICORDARE CHE CORRISPONDONO A FRAZIONI CON DENOMINATORE UGUALE A. Ad esempio: + = + =(:) +(:) = + = 0+ =

4 MOLTIPLICAZIONE Il PRODOTTO di due o più frazioni è una frazione che ha: per numeratore il PRODOTTO dei NUMERATORI per denominatore il PRODOTTO dei DENOMINATORI 4 = 4 = 8 ; 7 = 7 = 7 =6 7 ; 4 = 4 = 8 4 NOTE IMPORTANTI PRIMA di svolgere i prodotti è molto utile RIDURRE LE FRAZIONI AI MINIMI TERMINI. Per farlo applichiamo la proprietà invariantiva: dividiamo per lo stesso numero un NUMERATORE E UN DENOMINATORE QUALSIASI. Questa operazione si dice semplificazione a croce. ; ERRORE GRAVE DA NON COMMETTERE NON SI POSSONO SEMPLIFICARE TRA LORO DUE NUMERATORI O DUE DENOMINATORI Per capire il significato della regola della moltiplicazione dobbiamo ricordare che: il prodotto di due numeri rappresenta l'area di un rettangolo con i lati lunghi quanto i numeri x = 6 6 è l'area di un rettangolo con i lati lunghi e il rettangolo è formato da righe ognuna con quadratini La stessa cosa vale quando si moltiplicano due frazioni! Nel disegno si vede un quadrato di lato la cui area vale x =. Un lato è stato diviso in parti uguali e l'altro lato in parti uguali. In questo modo si sono formati x = rettangolini uguali, per cui l'area di un rettangolino, colorata in blu, è dell'area totale. Quindi ci ritroviamo con la regola della moltiplicazione: area di un rettangolino = = =

5 Prima di ricordare la regola della divisione, è importante ricordare che: la frazione INVERSA (o RECIPROCA) di un frazione data si ottiene SCAMBIANDO il numeratore con denominatore. Il prodotto di una frazione con la sua inversa è uguale a inversa ; prodotto x = = inversa ; prodotto x = DIVISIONE La divisione tra due frazioni si svolge moltiplicando la prima per l'inverso della seconda: : = = 6 verifichiamo il risultato con la prova della divisione: 6 =0 0 = 7 := 7 = 4 verifichiamo il risultato con la prova della divisione: 4 = 6 4 = 7 POTENZA L'operazione dell'elevamento a potenza è la stessa operazione già vista per i numeri interi. La potenza di una frazione, detta base della potenza, si ottiene moltiplicando la frazione per se stessa tante volte quante indica l'esponente della potenza. ( ) = = = = 4 ( ; 4 ) = = = 4 =7 64 Dagli esempi si capisce che: la potenza di una frazione si ottiene elevando all'esponente il numeratore e il denominatore Inoltre valgono tutte le proprietà delle potenze viste per i numeri interi: ( ) ( ) ) + ) ; ( ) 4 : ( ) ) 4 ) ; [( ) ] ) ) 6 ; ( ) ( 7 ) 7 ) 6 ) ; ( ) : ( 7 ) : 7 ) 7 ) 4 )

6 TABELLA RIASSUNTIVA NOTA: PRIMA DI SVOLGERE LE OPERAZIONI RIDUCI LE FRAZIONI AI MINIMI TERMINI OPERAZIONE REGOLA ESEMPI ADDIZIONE e SOTTRAZIONE STESSO DENOMINATORE ADDIZIONE e SOTTRAZIONE DENOMINATORE DIVERSO Denominatore: il denominatore resta uguale Numeratore: si sommano o sottraggono i numeratori di ogni frazione Denominatore: si calcola il minimo comune multiplo di tutti i denominatori Numeratore: si sommano o sottraggono i numeratori DOPO AVER TRASFORMATO le frazioni in frazioni equivalenti con stesso denominatore MOLTIPLICAZIONE Denominatore: si moltiplicano tra loro i denominatori ) ) ) ) = +4 7 = = 9 = 9 ) +( :) =(: = = + = +6 = 4 6 4) ( :6) =(: = = = 9 = 7 ) 7 = 7 = 0 Numeratore: si moltiplicano tra di loro i numeratori ) Semplificazione a croce: si possono semplificare tra loro un qualsiasi numeratore con un qualsiasi denominatore ) DIVISIONE La divisione tra due frazioni si trasforma nella moltiplicazione della prima frazione per l'inversa della seconda ) ) : 7 = 7 = 7 = 4 := = = POTENZA Si elevano all'esponente della potenza sia il numeratore che il denominatore. Valgono tutte le proprietà viste con gli interi. ( ) = = 8 7