Espressioni ed Equazioni

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1 Espressioni ed Equazioni Introduzione espressioni ed equazioni Espressioni Algebriche ed Equazioni: è qui che comincia il tuo lavoro. Si sta per iniziare a lavorare con le lettere dell'alfabeto, numeri e segni di operazioni. Da ora in poi, le lettere come x, y, z, a, b.. diventano altrettanto comuni come i numeri 1, 2 e 3 Ma che significato assumono le lettere in algebra? Fino ad ora - in aritmetica - si lavorava con i numeri, ogni numero corrisponde ad un determinato valore e significato. A 2 corrisponde sempre un 2 - non è mai un 6 e non è mai un 10. E' così per tutti i numeri. In algebra usiamo ancora i numeri, ma abbiamo anche bisogno di usare termini espressi in lettere. In algebra, per esempio, la lettera x, può corrispondere ad infiniti valori diversi. Siamo in grado di porre x uguale a 2 in un problema, ma poi porlo uguale a 6 in un altro. Le lettere in algebra definiscono una varietà infinita di combinazioni di valori. Le lettere in algebra possono addirittura rappresentare altre lettere. Confrontare queste due espressioni : espressione aritmetica: espressione algebrica: x + 1 L espressione aritmetica ci dice di aggiungere 1 al valore 2. L'espressione algebrica, però, ci dice di aggiungere 1 a qualsiasi valore che scegliamo. Quindi, se lasciamo che x = 2 nell espressione algebrica, diventa Se poniamo x = 5, diventa uguale a Si può vedere che la versione algebrica è molto più flessibile rispetto alla versione aritmetica. Definizioni Un determinato valore numerico (come 2, 4, -6, ¾) è chiamato costante. Il valore è costante... ossia immutabile (è sempre lo stesso). Un termine algebrico (ad esempio x, y, a, b, e così via) è chiamato variabile. Il valore può essere variato. Quando costanti o variabili sono collegate da operazioni (come +,, x, o ), si ha una espressione Esempi di espressioni algebriche. Espressione Linguaggio Naturale Significato Parti significative Note x + 2 x più due Aggiungi alla variabile x la costante 2 Questo è un esempio di una espressione algebrica che consiste di una variabile e una costante. y 5 y meno cinque Sottrai alla variabile y la costante 5 y è una variabile 5 è una costante segno di operazione 5 y cinque meno y Sottrai alla costante 5 la variabile y y è una variabile 5 è una costante segno di operazione

2 2x due x due volte x Moltiplica la costante 2 per la variabile x Nessun segno di operazione (indica moltiplicazione) 2x può anche essere indicato con (2) ( x) o 2 x. La x segno di moltiplicazione non deve essere usato in espressioni algebriche, perché è troppo facilmente confusa con la lettera variabile x. w / 4 w diviso 4 Dividi la variabile w con la costante 4 w è una variabile 4 è una costante / segno di operazione 4 / w 4 diviso w Dividi la costante 4 con la variabile w w è una variabile 4 è una costante / segno di operazione x + y x più y Aggiungi alla variabile x la variabile y Questo è un esempio di una espressione algebrica che consiste di due variabili e nessuna costante. x - 2y x meno due y x meno due volte y Moltiplica y per 2, e quindi sottrarre il risultato da x Ricorda: nell ordine di chiamata si applicano le regole delle espressioni (prima le moltiplicazioni e le divisioni e poi.) il "nessun segno" tra 2 e y indica (sottinteso) il segno di moltiplicazione Questo è un esempio di una espressione algebrica che consiste di due variabili e una costante. Definizione Un equazione è una dichiarazione di parità (uguaglianza) tra due espressioni. La stessa equazione si compone di due insiemi di espressioni algebriche separate da un segno di uguale Lo scopo di un equazione è di esprimere la parità (ossia l uguaglianza) tra le due espressioni. E qual è la vera differenza tra un'espressione algebrica e una equazioni algebrica? Semplice: Un'equazione include un segno di uguale (=) e l'espressione no. Un'espressione può comprendere i segni di operazione, ma non un segno di uguale. Nota: La principale differenza tra un'espressione e una equazione è la presenza di un segno di uguale in uno di essi. Quale?

3 Esempi di equazioni algebriche Equazione Linguaggio Naturale Significato Parti significative Note x + 3 = 5 x più 3 uguale a 5 L espressione x + 3 è uguale al valore costante 5 3 e 5 sono costanti x - 12 = 16 x meno 12 è uguale a 16 L espressione x - 12 è pari (uguale) al valore costante e 16 sono costanti segno di operazione x = y + 2 x è uguale a y più 2 La variabile x è uguale alla espressione y + 2 Questo è un esempio di una equazione che ha due variabili, una costante, e un segno di operazione.. x = 2y x è uguale a 2y Il valore di x è il doppio del valore di y Il segno (sottinteso) è una moltiplicazione. x / = 3y - 8 x diviso 2 più 4 è uguale a 3 volte y meno 8 Il valore dell espressione x / 2 +4 è uguale all espressione 3y 8. 2, 4, e 3 sono costanti I segni delle operazioni includono divisione, addizione, moltiplicazione e sottrazione. Questo è un esempio di una equazione che ha due variabili, tre costanti, e quattro segni di operazioni. Un'espressione algebrica può essere calcolata da Esempio 1 Calcolo Espressione Algebrica Fase 1 : L'assegnazione di specifici valori numerici per tutte le variabili. Passo 2: Completare tutte le operazioni Problema: calcolare l'espressione x + 4 quando x = 2 Procedura 1. Sostituire il valore dato di x nell'espressione. 2. Completare l'operazione. x + 4 = = 6 Soluzione : x + 4 = 6 se x = 2.

4 Esempio 2 Problema: calcolare l'espressione 6 y quando y = 5 Procedura 1. Sostituire il valore dato di y nell'espressione. 2. Completare l'operazione. 6 - y = = 1 Soluzione: 6 y = 1 quando y = 5 PROVA TU? sul quaderno.. 1. Calcolare l'espressione : x - 5 quando x = 8 Fase 1: Fase 2: 2. Calcolare l'espressione : 2w + 11 quando w = 3 Fase 1: Fase 2: 3. Calcolare l'espressione x / quando x = 20 Fase 1: Fase 2: Esercizi 1. Calcolare x + 4 quando x = Calcolare x 4 quando x = Calcolare 12 y quando y = Calcolare 3x + 1 se x = Calcolare k / 4 1 se k = 12. Equazioni Definizione Un equazione è una dichiarazione matematica di uguaglianza tra due espressioni. Esempio: 2x + 3 = 11 è un'equazione Nota Un segno di uguale viene utilizzato per indicare l'uguaglianza tra due espressioni.

5 Risolvere equazioni nella forma a + b = c e a b = c Ecco un esempio di un'equazione nella forma a b = c x 2 = 8 La strategia per la soluzione di questa equazione è di fare tutto il necessario affinché la variabile x resta da sola sul lato sinistro del segno di uguale. Ciò significa ELIMINARE il termine costante 2. Ma come si fa a mandar via 2? Aggiungendo (addizionando) due: = In questo modo il 2 va via, e la variabile x si trova da sola sul lato sinistro dell'equazione. A questo punto bisogna ricordare la regola principale dell algebra: QUALSIASI COSA VIENE FATTA da un lato del segno di uguale deve essere fatto anche dall atro lato (PENSA AD UNA BILANCIA A PIATTI IN EQUILIBRIO). In questo esempio, abbiamo aggiunto due al lato sinistro del segno di uguale, quindi dobbiamo aggiungere 2 anche a destra del segno uguale. x = Poi puliamo l'equazione andando alla ricerca dei termini simili in questo modo: come : Esempio x = x + 0 = 10 Il risultato è x = 10 y 5 = 12 y =? Problema Risolvere y 5 = 12 Aggiungere 5 a entrambi i lati dell equazione y = Combina i termini y = 17 Soluzione y = 17 Controllo (VERIFICA) y 5 = 12 con y = 17 y 5 = = = 12 VERIFICATO Ecco un esempio di un'equazione nella forma a + b = c x + 2 = 8 x = 8 2

6 Ripulire l'equazione combinando i termini: x = 8 2 x + 0 = 6 Il risultato è x = 6 Esempio y + 5 = 12 y =? Problema Risolvi y + 5 = 12 Sottrarre 5 ad entrambi i lati dell equazione y = 12 5 Combina come termini y = 7 Soluzione y = 7 Controllo (VERIFICA) y 5 = 12 con y = 17 y + 5 = = = 12 VERIFICATO Risolvere equazioni nelle forme a x = b e x / a = b Ricordiamo che qualsiasi termine diviso per se stesso è pari a 1. Espresso in un'equazione, è costituito da: un / un = 1 Ricordiamo inoltre che ogni termine, moltiplicato per 1 è uguale a quel termine stesso. Espresso in un'equazione: a 1 = a La strategia per risolvere le equazioni nella forma a x = b usa entrambe queste regole. Ecco un esempio di un'equazione nella forma x / a = b 1. risolvere: x / 5 = 10 È necessario isolare la variabile x Per annullare il denominatore 5, moltiplichiamo entrambi i lati (membri) per 5 Soluzione: x / 5 = 10 5 (x / 5) = 10 ( 5 ) x = 50

7 ************************************************************************************* Esempio di un'equazione nella forma a x = b 2. risolvere: 6 x = 36 È sempre necessario isolare la variabile x Per annullare il fattore 6, dividiamo entrambi i lati (membri) per 6 Soluzione: 6 x = 36 (6x) / 6 = 36 / 6 x = 6