S O M M A R I O. Programma svolto nella classe I sezione A LM. pag. 2. Programma svolto nella classe I sezione A IGEA. pag. 3

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1 1 S O M M A R I O Programma svolto nella classe I sezione A LM. pag. 2 Programma svolto nella classe I sezione A IGEA. pag. 3 Programma svolto nella classe II sezione B IGEA. pag. 4 Programma svolto nella classe III sezione A LM. pag. 5 1

2 2 svolto nella classe I sez. A LM LOGICA E INSIEMI Proposizioni atomiche. Connettivi logici. Proposizioni composte: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva, implicazione materiale, doppia implicazione. Tautologie e contraddizioni. Equivalenze logiche: legge della doppia negazione, leggi di De Morgan, legge di contrapposizione, ecc. Regole di deduzione: modus ponens, modus tollens, regola di sostituzione. Espressioni tipiche del linguaggio matematico: termini primitivi, sistema di assiomi, coerenza, dimostrazione diretta e indiretta di un teorema (dimostrazioni per assurdo), teorema diretto e teorema inverso. Generalità sugli insiemi. Diagrammi di Euler Venn. Uguaglianza e inclusione di insiemi. Insiemi numerici: dei numeri naturali, degli interi relativi, dei numeri razionali. Proposizioni aperte e proprietà caratteristica di un insieme. L'insieme vuoto. I quantificatori. Leggi di De Morgan per le proposizioni quantificate. Insieme delle parti. Le operazioni con gli insiemi: intersezione, unione, complementazione, differenza, differenza simmetri ca. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, d'assorbimento, d'idempotenza, distributiva, dell'uni verso e dell'insieme vuoto, del complementare, di De Morgan. Principio di dualità. Prodotto cartesiano d'insiemi. Relazioni fra due insiemi e loro rappresentazione grafica. LE APPLICAZIONI Definizione di applicazione: dominio, codominio, insieme immagine. Uguaglianza di due applicazioni. Applica zioni iniettive, suriettive, bijettive. Applicazione inversa. Applicazione composta. Concetto di equazione. RELAZIONI DI EQUIVALENZA Definizione di relazione binaria in un insieme. Proprietà di una relazione: riflessiva, simmetrica, antisimmetri ca, transitiva. Grafo di una relazione. Relazioni di equivalenza: uguaglianza in un insieme, congruenza modulo n nell'insieme degli interi relativi, equivalenza di frazioni. Partizione di un insieme. Insieme-quozien te. Principio di contrazione (classi-resto modulo n, insieme dei numeri razionali). OPERAZIONI BINARIE Definizione di operazione binaria. Esempi fondamentali di operazioni: operazioni aritmetiche, addizione e moltiplicazione modulo n, composizione delle sostituzioni di un insieme, ecc. Tabelle di Cayley. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro, elementi simmetrizzabili, proprie tà distributiva. CALCOLO LETTERALE Definizioni di monomio e di polinomio. Operazioni con i polinomi: somma algebrica, moltiplicazione, divisione col resto. Forma normale di un polinomio. Grado di un polinomio. Polinomi omogenei. Polinomi ordinati secondo le potenze crescenti o decrescenti di una variabile. Completi. Prodotti notevoli: potenza di un binomio (triangolo di Tartaglia), differenza di due quadrati, somma e differenza di due cubi. Fattorizzazione: raccoglimento totale e parziale a fattor comune, mediante prodotti notevoli, trinomio caratteristico di secondo grado, regola di Ruffini. 2

3 3 svolto nella classe I sez. A IGEA LOGICA E INSIEMI Proposizioni atomiche. Connettivi logici. Proposizioni composte: negazione, congiunzione, disgiunzione inclusiva, implicazione materiale, doppia implicazione. Tautologie e contraddizioni. Equivalenze logiche: legge della doppia negazione, leggi di De Morgan, legge di contrapposizione, ecc. Regole di deduzione: modus ponens, modus tollens, regola di sostituzione. Espressioni tipiche del linguaggio matematico: termini primitivi, sistema di assiomi, coerenza, dimostrazione diretta e indiretta di un teorema (dimostrazioni per assurdo), teorema diretto e teorema inverso. Generalità sugli insiemi. Diagrammi di Euler Venn. Uguaglianza e inclusione di insiemi. Insiemi numerici: dei numeri naturali, degli interi relativi, dei numeri razionali. Proposizioni aperte e proprietà caratteristica di un insieme. L'insieme vuoto. I quantificatori. Leggi di De Morgan per le proposizioni quantificate. Insieme delle parti. Le operazioni con gli insiemi: intersezione, unione, complementazione, differenza, differenza simmetri ca. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, d'assorbimento, d'idempotenza, distributiva, dell'uni verso e dell'insieme vuoto, del complementare, di De Morgan. Principio di dualità. Prodotto cartesiano d'insiemi. Relazioni fra due insiemi e loro rappresentazione grafica. LE APPLICAZIONI Definizione di applicazione: dominio, codominio, insieme immagine. Uguaglianza di due applicazioni. Applica zioni iniettive, suriettive, bijettive. Applicazione inversa. Applicazione composta. Concetto di equazione. RELAZIONI DI EQUIVALENZA Definizione di relazione binaria in un insieme. Proprietà di una relazione: riflessiva, simmetrica, antisimmetri ca, transitiva. Grafo di una relazione. Relazioni di equivalenza: uguaglianza in un insieme, congruenza modulo n nell'insieme degli interi relativi, equivalenza di frazioni. Partizione di un insieme. Insieme-quozien te. Principio di contrazione (classi-resto modulo n, insieme dei numeri razionali). OPERAZIONI BINARIE Definizione di operazione binaria. Esempi fondamentali di operazioni: operazioni aritmetiche, addizione e moltiplicazione modulo n, composizione delle sostituzioni di un insieme, ecc. Tabelle di Cayley. Proprietà delle operazioni: associativa, commutativa, esistenza dell'elemento neutro, elementi simmetrizzabili, proprie tà distributiva. CALCOLO LETTERALE Definizioni di monomio e di polinomio. Operazioni con i polinomi: somma algebrica, moltiplicazione, divisione col resto. Forma normale di un polinomio. Grado di un polinomio. Polinomi omogenei. Polinomi ordinati secondo le potenze crescenti o decrescenti di una variabile. Completi. Prodotti notevoli: potenza di un binomio (triangolo di Tartaglia), differenza di due quadrati, somma e differenza di due cubi. Fattorizzazione: raccoglimento totale e parziale a fattor comune, mediante prodotti notevoli, trinomio caratteristico di secondo grado, regola di Ruffini. 3

4 4 svolto nella classe II sez. B IGEA ANELLI Definizione di anello e proprietà fondamentali. Anelli d'integrità, corpi e campi. Anello dei polinomi: ripasso della terminologia, delle operazioni, della divisione con il resto e della regola di Ruffini. STRUTTURE ISOMORFE Definizione di morfismo fra due strutture algebriche. Strutture isomorfe: isomorfismo come relazione di equi valenza. Sottostrutture e ampliamenti. Il campo delle frazioni algebriche. RELAZIONI D'ORDINE Definizione di ordinamento. Ordinamento totale (disuguaglianza nel campo dei numeri razionali) e ordina mento parziale (inclusione nell'insieme delle parti di un universo dato). Diagrammi di Hasse. Maggioranti e minoranti, massimi e minimi. Intervalli. Insiemi densi e insiemi discreti. IL CAMPO R Il campo dei numeri reali. Assiomi dell'ordine: stabilità e tricotomia. La relazione di disuguaglianza in R e sue principali proprietà. R come ampliamento di Q. Irrazionalità della radice quadrata di 2. Assioma di completezza. Intervalli in R. La retta reale. Rappresentazione decimale dei numeri reali: arrotondamento. Notazione scientifica. IL PIANO CARTESIANO Il riferimento cartesiano ortogonale. Particolari simmetrie del piano. Distanza fra due punti. FUNZIONI REALI Definizione di funzione reale di variabile reale. Convenzione del massimo dominio. Rappresentazione grafica. Monotonìa. Parità. Studio di funzioni (solo alcuni esempi di funzioni potenza ad esponente intero relativo: funzione quadrato, funzione cubo, funzione reciproco, ecc.). Grafico dell'inversa di una funzione. Funzioni radice quadrata e cubica. Proprietà fondamentali dei radicali aritmetici. Funzioni particolari: funzione affine, funzione valore assoluto, funzione segno, funzione parte intera (definizioni, proprietà e grafici). EQUAZIONI Introduzione alle equazioni. Criteri di equivalenza. Equazioni polinomiali: di primo grado e di secondo grado (formula risolutiva generale, ridotta e ridottissima) complete e incomplete (equazione pura, spuria, mono mia). Equazioni intere riducibili a equazioni polinomiali di primo o secondo grado: equazione biquadratica, trinomia, irrazionale, a soluzioni reciproche. Relazioni di Viète e scomposizione del trinomio di secondo grado in fattori. Teorema del resto. Risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo ricorrendo alla fattorizzazione o alla regola di Ruffini. Equazioni fratte, razionali e irrazionali. 4

5 5 svolto nella classe III sez. A - LM IL PIANO CARTESIANO Ripasso essenziale del campo ordinato e completo dei numeri reali e delle sue proprietà fondamentali. La retta reale. Il riferimento cartesiano ortogonale. Particolari simmetrie del piano. Distanza fra due punti. FUNZIONI REALI Definizione di funzione reale di variabile reale. Convenzione del massimo dominio. Rappresentazione grafica. Monotonìa. Parità. Studio di funzioni (solo alcuni esempi di funzioni potenza ad esponente intero relativo: funzione quadrato, funzione cubo, funzione reciproco, ecc.). Grafico dell'inversa di una funzione. Funzioni radice quadrata e cubica. Proprietà fondamentali dei radicali aritmetici. Funzioni particolari: funzione affine, funzione valore assoluto, funzione segno, funzione parte intera (definizioni, proprietà e grafici). EQUAZIONI Introduzione alle equazioni. Criteri di equivalenza. Equazioni polinomiali: di primo grado e di secondo grado (formula risolutiva generale, ridotta e ridottissima) complete e incomplete (equazione pura, spuria, mono mia). Equazioni intere riducibili a equazioni polinomiali di primo o secondo grado: equazione biquadratica, trinomia, irrazionale, a soluzioni reciproche. Relazioni di Viète e scomposizione del trinomio di secondo grado in fattori. Teorema del resto. Risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo ricorrendo alla fattorizzazione o alla regola di Ruffini. Equazioni fratte, razionali e irrazionali. DISEQUAZIONI Qualche approfondimento sulle funzioni reali strettamente monotòne. Definizione di disequazione e criteri di equivalenza. Disequazioni lineari. Segno di una funzione quadratica. Disequazioni quadratiche. Sistemi di disequazioni. Risoluzione di disequazioni di grado superiore al secondo. Disequazioni fratte. Disequazioni irrazionali (intere e fratte). Disequazioni con valori assoluti (razionali, intere e fratte). 5