1 Cenni di logica matematica

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1 1 Cenni di logica matematica 1 1 Cenni di logica matematica Una delle discipline chiave della matematica (e non solo, visto che è fondamentale anche per comprendere la lingua parlata) è la logica matematica, il cui scopo è analizzare e formalizzare i metodi corretti di ragionamento. Gli elementi costitutivi in matematica (così come nella lingua parlata) sono le proposizioni, dette anche enunciati, la cui caratteristica è che possiamo attribuire loro un valore di verità (Vero o Falso). Indicheremo gli enunciati con lettere minuscole (ad esempio, p, q, ecc.). Esempio 1.1. p: 3 è un numero naturale, q: sono enunciati. p è vero, q è falso. Dato un enunciato p, la sua negazione è l enunciato p (si legge: non p oppure p negato). Esempio 1.2. La negazione degli enunciati dell esempio precedente è: p: 3 non è un numero naturale e q: < 5. Come si può notare, se un enunciato è vero, la sua negazione è falsa. Analogamente a come avviene nella lingua parlata, le proposizioni possono essere legate tra loro dando luogo a vere e proprie frasi matematiche. Se nel parlato il collegamento tra le frasi avviene grazie alle congiunzioni, in logica matematica ciò avviene tramite i connettivi logici. Elenchiamoli qui di seguito: negazione p (non) congiunzione p q (e) disgiunzione p q (o) nel senso del vel latino implicazione p = q (se... allora, p implica q) doppia implicazione p q (p se e solo se q, p equivale a q) I connettivi, come le operazioni aritmetiche (in una espressione senza parentesi HANNO LA PRECEDENZA divisioni e moltiplicazioni su addizioni e sottrazioni) e le parentesi matematiche (in una espressione con parentesi prima si risolvono le operazioni dentro le parentesi tonde, poi quelle dentro le parentesi quadre e SOLO ALLA FINE quelle dentro le parentesi graffe), hanno una loro gerarchia; partendo dal connettivo con maggiore precedenza e in ordine decrescente abbiamo: =. 1

2 1 Cenni di logica matematica 2 Quando due proposizioni p e q (ciascuna con il suo valore di verità) vengono legate con i connettivi logici la proposizione risultante avrà un valore di verità che dipende da quello di p e q, secondo le seguenti tavole di verità: p q p ( q) p q p q p = q p q V V F (F) V V V V F V V (F) F V V F V F F V F F F F F F V V Osservazione 1.3. L implicazione semplice p = q richiede qualche chiarimento. Infatti spesso si trova difficoltà ad accettare che p = q debba considerarsi vera se p è falsa (tanto più quando q è vera. Sebbene questa sia una situazione poco comune nei linguaggi ordinari, non lo è in matematica. Riflettiamo sull enunciato Se T è un triangolo allora la somma degli angoli interni di T è 4π radianti. Se non l aveste riconosciuto, questo è un teorema della geometria euclidea elementare e non si ha difficoltà a convenire che si tratta di un enunciato vero. Se T fosse un quadrato, l enunciato resterà ancora vero, anche se non possiamo affermare che la somma degli angoli interni di T è π radianti (e quest ultima affermazione è valida soltanto se è vero che T è un triangolo). Gli enunciati dei teoremi della matematica sono tipicamente della forma p = q. Quando (non importa come) si riconosca la verità di p, si può applicare la regola d inferenza detta Modus ponens e dedure q. Una logica basata sugli enunciati è insufficiente per costruire ragionamenti generali. Introducendo in una proposizione una o più variabili si ottengono i predicati. Se è presente una sola variabile il predicato si dice unario se ne contiene due si dice binario e così via. Ovviamente fissando tutte le variabili (ossia attribuendo un preciso valore alle variabili), il predicato diventa una proposizione che può essere vera o falsa. Due o più predicati insieme possono produrre nuovi predicati mediante l uso dei quantificatori. Ne esistono di due tipi: quantificatore universale e quantificatore esistenziale. Esempio 1.4. Sia p (x, y): un uomo x osserva la stella y: x : p (x, y) significa: esiste un uomo che osserva la stella y x : p (x, y) significa: tutti gli uomini osservano la stella y y, x : p (x, y) significa: per ogni stella esiste un uomo che la osserva x, y : p (x, y) significa: esiste un uomo che osserva ogni stella y, x : p (x, y) significa: esiste una stella osservata da tutti gli uomini. 2

3 2 Insiemi 3 2 Insiemi Per insieme si intende una collezione di oggetti di qualunque natura: esso è un concetto primitivo, ossia non è riconducibile a concetti più elementari. Un generico insieme viene solitamente denotato con una lettera latina maiuscola (A, B, C, ) mentre si usano lettere latine minuscole (a, b, c, ) per denotare gli elementi di un insieme. Il fatto che un elemento a appartenga ad un insieme A si esprime con la notazione a A (a appartiene ad A, oppure a è un elemento di A). Se invece non gli appartiene si scrive a / A. Il modo più semplice di definire un particolare insieme consiste nell elencare gli elementi dell insieme considerato, cioè nel darne una definizione estensiva: in tal caso l elenco degli elementi è racchiuso tra parentesi graffe. Un modo, invece, più praticabile di definire un dato insieme consiste nel far ricorso ad una proprietà P (x) che caratterizzi tutti e soli gli elementi di quell insieme che vogliamo descrivere. In altre parole, ne diamo una definizione di tipo intensivo. Esempio 2.1. Scrivendo A := {1, 2, 3, 4} si indica che l insieme A è definito come quello i cui elementi sono i numeri 1, 2, 3, 4. Non ha alcuna importanza l ordine in cui gli elementi sono stati elencati e non bisogna ripetere più volte lo stesso elemento. Osserviamo, inoltre, che A è un insieme finito. Esempio 2.2. B := {x xè un numero pari} indica che l insieme B è definito come quello i cui elementi sono tutti i numeri pari. Valgono le stesse osservazione fatte per l insieme A dell esempio precedente, tranne l ultima: infatti, B è un insieme infinito. Un particolare insieme è l insieme vuoto, ossia l unico insieme privo di elementi, la cui definizione formale è: := {x x x}. Un altro tipo di insiemi particolari sono quelli che contengono un solo elemento, cioè quelli della forma {a}, detti singoletti. Non bisogna confondere il singoletto {a} con l elemento che gli appartiene!!! Si dice che un insieme A è un sottoinsieme dell insieme B e si scrive A B quando ogni elemento di A è anche elemento di B. Se A B e A B si parla di inclusione propria e si scrive A B. Osserviamo che tra i sottoinsieme di un dato insieme ci sono l insieme vuoto e l insieme stesso, e sono detti sottoinsiemi impropri. La relazione di inclusione è una relazione 3

4 2 Insiemi 4 1. riflessiva: A A (è intuitivo) 2. antisimmetrica: se A B e B A allora A = B (anche questo è intuitivo) 3. transitiva: se A B e B C allora A C Esempio 2.3. Sia A := {triangoli isosceli}. Allora B := {triangoli equilateri} è un sottoinsieme di A. L insieme formato con tutti i sottoinsiemi di un dato insieme A viene detto insieme delle parti di A e denotato con P (A). Se, ad esempio, A := {x, y, z} allora P (A) = {, A, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {x, z}}. Le operazione tra insiemi che vogliamo definire sono cinque (escludiamo l elevamento a potenza B A ): una unaria, che è il passaggio al complementare CA, e quattro binarie, ossia l unione A B, l intersezione A B, il prodotto cartesiano A B e la differenza insiemistica A \ B. Sia B A. Si definisce insieme complementare di B rispetto a A l insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B: CB := {x A x / B}. Ad esempio, siano A = {1, 3, 5, 2, 9} e B = {3, 5, 2}. Allora CB = {1, 9}. Dati due insiemi A e B si definisce differenza insiemistica fra A e B l insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B: A \ B := {x A x / B}. Ad esempio, siano A = {0, 1, 3, 5, 2, 9} e B = {1, 2, 9}. Allora A \ B = {0, 3, 5}. Osservazione 2.4. Queste prime due definizioni sembrano identiche se non fosse per il fatto che per la differenza insiemistica non è richiesto che B sia sottoinsieme di A. Siano A e B due insiemi. - Definiamo intersezione fra A e B l insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B: A B = {x x A x B}. Se due insiemi non hanno elementi in comune, ossia la loro intersezione è, si dicono disgiunti. 4

5 2 Insiemi 5 - Definiamo unione fra A e B l insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B: A B = {x x A x B}. - Definiamo prodotto cartesiano fra A e B l insieme formato dalle coppie ordinate (a, b), dove a A e b B: Osservazione 2.5. (a, b) (b, a). A B = {(a, b) a A b B}. 5