GLI INSIEMI PROF. STEFANO SPEZIA

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1 GLI INSIEMI

2 INTRODUZIONE Dimentica ogni cosa che hai imparato riguardo i numeri! In realtà, dimentica anche cosa è un numero! È proprio qui che inizia la Matematica! Invece di iniziare a trattare la Matematica attraverso i numeri, la ricostruiremo partendo dallo studio di oggetti.

3 DEFINIZIONE DI INSIEME Che cosa è un insieme? È un raggruppamento di oggetti caratterizzati da una proprietà comune. ESEMPIO 1 ESEMPIO 2 Questo insieme è fatto di soli 3 indumenti, ma sono sicuro che i vostri potrebbero superare anche il centinaio! Quest insieme riguarda il tipo di dita di una mano, ed include l indice, il medio, l anulare e il mignolo.

4 RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE O TABULARE Questo tipo di rappresentazione consiste semplicemente nell elencare ciascun elemento (o membro ) separate da una virgola, e chiusi all interno di una coppia di parentesi graffe: { } Riprendendo i due esempi della diapositiva precedente: ESEMPIO 1: {calzini, scarpe, orologi, magliette,...} ESEMPIO 2: {indice, medio, anulare, mignolo} Notiamo come nel primo esempio ci sono i tre punti ".... Essi possono significare che l elenco continua all infinito!

5 INSIEMI INFINITI ED INSIEMI FINITI Nella realtà, non esiste nulla di infinito, così come il vostro guardaroba. Tuttavia, pensiamo come se lo fosse! Il primo insieme {calzini, scarpe, orologi, magliette,...} lo chiameremo un insieme infinito, mentre il secondo insieme {indice, medio, anulare, mignolo} lo chiameremo un insieme finito. Talvolta i tre punti "..." possono essere usati nel mezzo di un elencazione per evitare di scrivere una lunga lista di elementi. Come ad esempio, l insieme delle lettere dell alfabeto: {a, b, c,..., x, y, z}. In quest ultimo caso, l insieme è finito (essendo costituito da 26 lettere).

6 LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Un terzo modo di rappresentare un insieme è quello grafico. Questo tipo di rappresentazione fa uso dei cosiddetti Diagrammi di Eulero-Venn. Leonhard Euler ( ), svizzero. John Venn ( ), inglese.

7 I DIAGRAMMI DI EULERO-VENN Un diagramma di Eulero-Venn consiste nel rappresentare un insieme mediante una linea chiusa che racchiude al suo interno tutti gli elementi dell insieme, ciascuno di essi indicato con un punto o con un simbolo ESEMPIO 1 ESEMPIO 2

8 LA RAPPRESENTAZIONE PER PROPRIETÀ CARATTERISTICA

9 GLI INSIEMI SONO IMPORTANTI La parola insieme singolarmente potrebbe non avere alcun significato se non fosse associata ad una situazione ben definita. Quando questa associazione è realizzata allora gli insiemi diventano i più potenti mattoncini Lego della Matematica, con i quali è possibile realizzare nuove Matematiche. 2. Grazie agli insiemi, la Matematica è diventata velocemente una disciplina abbastanza complicata. 3. Teoria dei Grafi, Algebra Astratta, Analisi Reale, Analisi Complessa, Algebra Lineare, Teoria dei Numeri, e così via, sono tutte branche della Matematica che hanno in comune il concetto di insieme.

10 L INSIEME UNIVERSO 1. Letteralmente parlando, un insieme universo dovrebbe essere quell insieme che contiene ogni cosa. Tuttavia, in Matematica, per ogni cosa si intende tutto ciò che è di interesse alla problematica che si sta trattando. 2. Ad esempio, se stiamo lavorando con i numeri interi, allora per noi, l insieme universo sarà l insieme contenente tutti i numeri interi, il cui simbolo è Z. 3. Se invece, stiamo lavorando anche con i numeri non interi, con quelli non solo esprimibili con le frazioni e con le radici, allora il nostro insieme universo sarà l insieme dei numeri reali, il cui simbolo è R. 4. Il primo insieme universo che studieremo sarà l insieme dei numeri naturali: N.

11 NOTAZIONI E SIMBOLI 1. In Matematica, quando si lavora con un insieme, comunemente lo si indica con una lettera maiuscola del nostro alfabeto, mentre i suoi elementi vengono rappresentati da lettere minuscole. 2. Ad esempio, A è un insieme, ed a è un suo elemento: A = {a, b, c} 3. Ovviamente come in tutte le notazioni, è possibile non rispettarle, purché si rispettino le regole matematiche. Tuttavia, questa notazione è così elegante e semplice da usare! Perché non usarla? 4. Quando si dice che un elemento a appartiene all insieme A si può scrivere a A,, viceversa se d non vi appartiene: d A.

12 INSIEMI UGUALI Definizione. Due insiemi A e B si dicono uguali se sono costituiti dagli stessi elementi. In simboli, A = B x A x B, dove i simboli, e si leggono rispettivamente (in ordine) per ogni, se e soltanto se e allora. Esempio. A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3} sono insiemi uguali.

13 POTENZA O CARDINALITÀ DI UN INSIEME Definizione. Si definisce potenza o cardinalità di un insieme, il numero degli elementi che costituiscono l insieme. In simboli, dato l insieme A, la sua potenza o cardinalità si indica equivalentemente con i seguenti simboli: n(a) = A = card(a) = #A. Definizione. Due insiemi A e B si dicono equipotenti se hanno lo stesso numero di elementi. In simboli, A B card(a) = card(b) Esempio. A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c} sono equipotenti; hanno entrambi tre elementi.

14 INSIEMI UNITARI E L INSIEME VUOTO Definizione. Un insieme costituito da un solo elemento si dice unitario. In simboli, A è unitario card(a) = 1 Esempio. L insieme A = {Matematica} costituito dalla sola parola Matematica è unitario. Definizione. Si definisce l insieme vuoto quell insieme privo di qualunque elemento. In simboli si indica con, Ovviamente, card( ) = 0.

15 INSIEMI UGUALI SONO EQUIPOTENTI Teorema. Condizione sufficiente affinché due insiemi A e B siano equipotenti è che siano uguali. In simboli, Dimostrazione. Omessa. A = B A B. Esempio. Gli insiemi A = {a, b, c} e B = {b, c, a} sono uguali, e sono entrambi costituiti da tre elementi, quindi sono equipotenti.

16 I SOTTOINSIEMI Definizione. Dati gli insiemi A e B, si dice che B è sottoinsieme dell insieme A, se tutti gli elementi dell insieme B appartengono anche all insieme A. In simboli, B A x B x A, dove il simbolo è il simbolo di inclusione, e si legge equivalentemente incluso in, sottoinsieme di. Se addirittura, B può anche essere uguale ad A, allora si usa il simbolo, e si scrive B A. Esempio. Dati gli insiemi A = {d, i, m, n, o}, B = {d, n, o} e C = {x x è una lettera della parola domino }, si ha che B A e C A. B. d. i. m A = C. n. o

17 I SOTTOINSIEMI IMPROPRI 1. Dato l insieme A (non vuoto), è sempre possibile affermare che A A, in quanto ogni insieme è uguale a se stesso, mentre non è vero dire che A A. Per il suddetto motivo, si dice che ogni insieme è sottoinsieme improprio di se stesso, e si usa esclusivamente la scrittura A A. 2. Inoltre anche l insieme vuoto è sempre contenuto (incluso) in un dato insieme A, e si può scrivere A. Anche in questo caso, si dice che l insieme vuoto è sempre un sottoinsieme improprio di un dato insieme non vuoto. A Tutti gli altri sottoinsiemi di un insieme dato si dicono invece sottoinsiemi propri.

18 INSIEME DELLE PARTI Definizione. Dato un insieme A non vuoto (A ), si definisce l insieme delle parti dell insieme A, e si indica 풫(A), l insieme dei sottoinsiemi (propri ed impropri) di A. In simboli, Esempio. Dato l insieme A = {1, 2, 3}. 풫(A) = {B B A }. L insieme delle parti di A è 풫(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}. Se la potenza o cardinalità di un insieme A è n, allora quella dell insieme delle parti 풫(A) è 2 n. In simboli, card(a) = n card(풫(a)) = 2 n. Nell esempio precedente card(a) = n = 3, e card(풫(a)) = 2 3 = 8 (come si può verificare contando gli elementi di 풫(A)).

19 Le operazioni con gli insiemi: L intersezione, l unione, la differenza e il prodotto cartesiano.

20 L INTERSEZIONE DI INSIEMI Definizione. Dati gli insiemi A e B, si definisce l insieme intersezione di A e B, e si indica con A B, l insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B. In simboli, A B = {x x A x B}. è il simbolo dell intersezione tra insiemi e si legge come intersezione, mentre è il simbolo di congiunzione logica e si legge e. Esempio. Dati gli insiemi A = {1, 7} e B = {1, 3, 7, 9}, l insieme intersezione A B = {1, 7}. A B B A In questo caso notiamo che se A B, allora A B = A e quindi A B B. Proprietà non valide in generale.

21 PROPRIETÀ DELL INTERSEZIONE Dati gli insiemi A, B e C, valgono le seguenti proprietà: 1. L operazione è commutativa: 2. L operazione è associativa: A B = B A. A B C = (A B) C = A (B C). 3. L operazione ha come elemento neutro l insieme universo. Se l insieme universo è indicato con la lettera O, allora si ha che: A O = O A = A. 4. L intersezione di un insieme con l insieme vuoto è uguale all insieme vuoto. A = A =. Quando si verifica una tale situazione si dice che l operando è un elemento assorbente per l operazione. In questo caso l insieme vuoto è l elemento assorbente dell intersezione.

22 INSIEMI DISGIUNTI Definizione. Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, ovvero se la loro intersezione è uguale all insieme vuoto. In simboli, Esempio. A B =. A = {x x è una lettera della parola casa } e B = {x x è una lettera della parola letto }. Siccome i due insiemi non hanno elementi in comune, sono allora disgiunti e si può scrivere A B =. B A. c. a. s. l. e. t. o

23 L UNIONE DI INSIEMI Definizione. Dati gli insiemi A e B, si definisce l insieme unione di A e B, e si indica con A B, l insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono ad A o a B. In simboli, A B = {x x A x B}. è il simbolo dell unione tra insiemi e si legge come unione, mentre è il simbolo di disgiunzione inclusiva o semplicemente disgiunzione logica e si legge o. Esempio. Dati gli insiemi A = {2, 7} e B = {3, 4, 7, 9}, l insieme unione A B = {2, 3, 4, 7, 9}. A B A B

24 PROPRIETÀ DELL UNIONE Dati gli insiemi A, B e C, valgono le seguenti proprietà: 1. L operazione è commutativa: A B = B A. 2. L operazione è associativa: A B C = (A B) C = A (B C). 3. L operazione ha come elemento neutro l insieme vuoto. In simboli, A = A = A.

25 PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELL INTERSEZIONE RISPETTO ALL UNIONE Dati gli insiemi A, B e C, l intersezione di A e l unione di B con C è uguale all unione della intersezione di A e B con l intersezione di A e C. In simboli, Esempio. A (B C) = (A B) (A C). Dati gli insiemi A = {1, 4, 5}, B = {1, 2, 9} e C = {1, 6}, calcoliamo l espressione a sinistra e a destra dell uguaglianza sopra riportata: B C = {1, 2, 6, 9} A (B C) = {1}; A B = {1}, A C = {1} (A B) (A C) = {1}.

26 DIFFERENZA FRA DUE INSIEMI Definizione. Dati due insiemi A e B, l insieme differenza fra A e B, è l insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B, e si indica con A - B. In simboli, A - B = {x x A x B}. Esempio 1. Dati gli insiemi A = {a, i, m, n, r, t} e B = {a, i, m, r, y}, l insieme differenza fra A e B è A - B = {n, t}. Esempio 2. L insieme differenza fra B ed A degli insiemi usati nel precedente esempio 1 è B - A = {y} Dai due esempi si deduce che la differenza non è un operazione commutativa. In simboli, A - B B - A.

27 INSIEME COMPLEMENTARE Definizione. Dati l insieme A e il suo sottoinsieme B (B A), si definisce l insieme complementare dell insieme B rispetto ad A, e si indica con B c, l insieme costituito da tutti A gli elementi di A che non appartengono a B, ovvero dalla differenza fra A e B. In simboli, B c A = A - B. Esempio. Dato l insieme A = {a, b, g, n, o} e il suo sottoinsieme B = {a, b, o}, l insieme complementare di B rispetto ad A è B c = A - B = {g, n}. A A. g. a. b.n. o B B c A E facile riconoscere dalla rappresentazione grafica che B B c A = A e B Bc A =.

28 PRODOTTO CARTESIANO DI INSIEMI Definizione. Dati due insiemi A e B, si definisce il prodotto cartesiano di A e B, e si indica con A B, l insieme di tutte le coppie ordinate di elementi, indicati da (a; b), tali che il primo elemento a della coppia appartenga all insieme A e il secondo elemento b della coppia appartenga all insieme B. In simboli, A B = {(a; b) a A b B}. Esempio 1. Dati gli insiemi A = {Milan-Inter, Inter-Juventus} e B = {1, x, 2}, il prodotto cartesiano A B = {(Milan-Inter; 1), (Milan-Inter; x), (Milan-Inter; 2), (Inter-Juventus; 1), (Inter-Juventus; x), (Inter-Juventus; 2)}. Esempio 2. Dato l insieme T = {+, -}, il prodotto cartesiano di T con se stesso è T T = T 2 = {(+; +), (+; -), (-; +), (-; -)}.

29 PROPRIETÀ DEL PRODOTTO CARTESIANO 1. L insieme vuoto è l elemento assorbente di un prodotto cartesiano, ovvero il prodotto cartesiano dell insieme vuoto per qualunque altro insieme A è uguale all insieme vuoto. In simboli, A = A =. 2. Sebbene nella proprietà precedente vale la proprietà commutativa, in generale, dati due insiemi non vuoti, per il prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa: A B B A. Esempio. Dati gli insiemi A = {a, b, c} e B = {0, 1}, A B = {(a; 0), (a; 1), (b; 0), (b; 1), (c; 0), (c; 1)}, mentre B A = {(O; a), (O; b), (0; c), (1; a), (1; b), (1; c)} 3. La cardinalità o potenza di un prodotto cartesiano è uguale al prodotto ordinario tra le cardinalità degli insiemi operandi: card(a B) = card(b A) = card(a) card(b).

30 A B: TABELLA A DOPPIA ENTRATA 0 1 a (a; 0) (a; 1) b (b; 0) (b; 1) c (c; 0) (c; 1)

31 A B: DIAGRAMMA A FRECCE A B. a. 0. b. 1. c

32 A B: RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

33 A B: DIAGRAMMA AD ALBERO

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