GLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE

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1 GLI INSIEMI PROF. WALTER PUGLIESE

2 INSIEME DEFINIZIONE UN RAGGRUPPAMENTO DI OGGETTI RAPPRESENTA UN INSIEME IN SENSO MATEMATICO SE ESISTE UN CRITERIO OGGETTIVO CHE PERMETTE DI DECIDERE UNIVOCAMENTE SE UN QUALUNQUE OGGETTO FA PARTE O NO DEL RAGGRUPPAMENTO ESEMPIO 1 SONO INSIEMI I SEGUENTI RAGGRUPPAMENTI: I PIANETI DEL SISTEMA SOLARE; I NUMERI NATURALI MAGGIORI DI ESEMPIO 2 NON SONO INSIEMI, INVECE: I PROFESSORI PIÙ SEVERI; LE FRAZIONI MOLTO PICCOLE.

3 GLI ELEMENTI DI UN INSIEME GLI OGGETTI CHE FORMANO UN INSIEME SONO CHIAMATI ELEMENTI DELL INSIEME. UN INSIEME È FINITO SE CONTIENE UN NUMERO FINITO DI ELEMENTI, IN CASO CONTRARIO SI DICE INFINITO. GLI INSIEMI SI INDICANO CON UNA LETTERA MAIUSCOLA, GLI ELEMENTI DI UN INSIEME SI INDICANO CON UNA LETTERA MINUSCOLA ESEMPIO L INSIEME DEI GRANELLI DI SABBIA CONTENUTI IN UN RECIPIENTE È UN INSIEME FINITO; L INSIEME DEI NUMERI NATURALI MULTIPLI DI 3 È UN INSIEME INFINITO.

4 GLI INSIEMI NUMERICI PER GLI INSIEMI NUMERICI UTILIZZIAMO LE SEGUENTI LETTERE: N INSIEME DEI NUMERI NATURALI; P INSIEME DEI NUMERI NATURALI PARI; D INSIEME DEI NUMERI NATURALI DISPARI; Z INSIEME DEI NUMERI INTERI; Q INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI; R INSIEME DEI NUMERI REALI.

5 L'INSIEME VUOTO L'INSIEME CHE NON HA ELEMENTI SI CHIAMA INSIEME VUOTO. PER INDICARE L'INSIEME VUOTO SI INDICA IL SIMBOLO ESEMPI L INSIEME DEI NUMERI DISPARI DIVISIBILI PER 2; L INSIEME DELLE CONSONANTI DELLA PAROLA «IO»; L INSIEME DEI TRIANGOLI AVENTI QUATTRO LATI.

6 APPARTENENZA A UN INSIEME PER INDICARE CHE UN ELEMENTO APPARTIENE A UN INSIEME SI USA IL SIMBOLO SI SCRIVE X A E SI LEGGE «X APPARTIENE AD A» PER INDICARE CHE UN ELEMENTO NON APPARTIENE A UN INSIEME SI USA IL SIMBOLO SI SCRIVE X A E SI LEGGE «X NON APPARTIENE AD A» ESEMPIO 5 N SIGNIFICA 5 APPARTIENE ALL'INSIEME DEI NUMERI NATURALI 0,25 N SIGNIFICA 0,25 NON APPARTIENE ALL'INSIEME DEI NUMERI NATURALI

7 LE RAPPRESENTAZIONI DI UN INSIEME POSSIAMO DESCRIVERE GLI INSIEMI IN TRE MODI DIVERSI: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA; RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE; RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE LA PROPRIETÀ CARATTERISTICA.

8 LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA SI UTILIZZANO I DIAGRAMMI DI EULERO-VENN, NEI QUALI GLI ELEMENTI DEGLI INSIEMI SONO RACCHIUSI DENTRO LINEE CHIUSE a.e..i.o..u A B INSIEME DEI NUMERI NATURALI MINORI DI 4. INSIEME DELLE VOCALI

9 RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE GLI ELEMENTI VENGONO ELENCATI, RACCHIUSI FRA PARENTESI GRAFFE E SEPARATI DA VIRGOLE. GLI ELEMENTI NON DEVONO ESSERE RIPETUTI E NON HA IMPORTANZA L ORDINE CON CUI SONO SCRITTI. ESEMPIO 1 LA RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE DELL INSIEME DELLE LETTERE DELLA PAROLA «ARISTOGATTI» È: L = a, g, i, o, r, s, t ESEMPIO 2 SE L INSIEME È COSTITUITO DA INFINITI ELEMENTI, DOPO AVER ELENCATO UN NUMERO DI ELEMENTI SUFFICIENTE A IDENTIFICARLO, SI PUÒ RICORRERE AI PUNTINI. NUMERI NATURALI: N ={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

10 LA RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE PROPRIETÀ CARATTERISTICA L INSIEME È DEFINITO ENUNCIANDO LA PROPRIETÀ CHE CARATTERIZZA IN MODO OGGETTIVO E UNIVOCO OGNI SUO ELEMENTO. ESEMPIO: OSSERVIAMO LA SCRITTURA I = x N x È multiplo di 3 IL SIMBOLO SIGNIFICA «TALE CHE»; LA LETTERA x INDICA UN ELEMENTO GENERICO DELL INSIEME; «È MULTIPLO DI 3» È LA PROPRIETÀ DI CUI GODE x, OSSIA OGNI ELEMENTO DELL INSIEME. LA SCRITTURA I = {x N/ x È MULTIPLO DI 3} SI LEGGE: «I È L INSIEME DEI NUMERI NATURALI x TALI CHE x È MULTIPLO DI 3».

11 SOTTOINSIEME SI DICE CHE L INSIEME B È SOTTOINSIEME DELL INSIEME A SE TUTTI GLI ELEMENTI DI B APPARTENGONO ANCHE AD A. SI SCRIVE B A E SI LEGGE «B È SOTTOINSIEME DI A», O «B È INCLUSO IN A», O «B È CONTENUTO IN A». DUE INSIEMI SONO UGUALI SE SONO FORMATI DAGLI STESSI ELEMENTI E SI SCRIVE A=B. PER DIRE CHE «A E B NON SONO UGUALI» SCRIVIAMO INVECE A B ESEMPIO CONSIDERIAMO A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} E B {0, 3, 6, 9}. L INSIEME B È UN SOTTOINSIEME DI A E SCRIVIAMO B A.

12 INCLUSIONE STRETTA SI DICE CHE L INSIEME B È STRETTAMENTE INCLUSO NELL INSIEME A QUANDO OGNI ELEMENTO DI B È ANCHE ELEMENTO DI A, MA ESISTONO ELEMENTI DI A CHE NON SONO ELEMENTI DI B. SI SCRIVE B A E SI LEGGE «B CONTENUTO STRETTAMENTE IN A», OPPURE «B È INCLUSO STRETTAMENTE IN A ESEMPIO ESEMPIO P N, PERCHÉ TUTTI I NUMERI PARI SONO NATURALI, MA ESISTONO NATURALI CHE NON SONO PARI. OSSERVAZIONI SE B A, ALLORA B A, MENTRE NON È VERO IL CONTRARIO: SE B A, NON È DETTO CHE B A. È SBAGLIATO SCRIVERE 2 N E {8} N

13 I SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI DATO UN INSIEME, L INSIEME STESSO E L INSIEME VUOTO SONO SEMPRE SUOI SOTTOINSIEMI E SI DICONO SOTTOINSIEMI IMPROPRI. OGNI SOTTOINSIEME NON VUOTO STRETTAMENTE INCLUSO IN UN INSIEME SI DICE SOTTOINSIEME PROPRIO DELL INSIEME. ESEMPIO 1. L INSIEME A DELLE CONSONANTI DELLA PAROLA «AIA» È UN SOTTOINSIEME IMPROPRIO DELL INSIEME DELLE CONSONANTI, PERCHÉ A= 2. L INSIEME DELLE VOCALI È UN SOTTOINSIEME PROPRIO DI QUELLO DELLE LETTERE DELL ALFABETO.

14 LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI SI DICE INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI A E B L INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO SIA AD A SIA A B. SI SCRIVE A B E SI LEGGE «A INTERSEZIONE B» O «A INTERSECATO B». IN SIMBOLI: A B= x x A e x B

15 ESEMPI DI INTERSEZIONI DI DUE INSIEMI A E B HANNO ALCUNI ELEMENTI IN COMUNE, MA NON TUTTI: LA LORO INTERSEZIONE È UN SOTTOINSIEME PROPRIO SIA DI A SIA DI B. B È SOTTOINSIEME DI A L INTERSEZIONE È SOTTOINSIEME IMPROPRIO DI B, POICHÉ COINCIDE CON L. A E B NON HANNO ELEMENTI IN COMUNE E LA LORO INTERSEZIONE È L INSIEME VUOTO, CIOÈ UN SOTTOINSIEME IMPROPRIO DI ENTRAMBI.

16 INSIEMI DISGIUNTI SE DUE INSIEMI NON HANNO ELEMENTI IN COMUNE, SI DICONO DISGIUNTI. IN GENERALE, SULL INTERSEZIONE POSSIAMO AFFERMARE CHE: SE A B, ALLORA A B = A; SE A E B SONO DISGIUNTI, ALLORA A B =.

17 L'UNIONE DI DUE INSIEMI SI DICE UNIONE DI DUE INSIEMI A E B L INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO AD A O A B. SI SCRIVE A B E SI LEGGE «A UNIONE B» O «A UNITO B». IN SIMBOLI: A B= x x A o x B

18 ESEMPI DI UNIONE DI DUE INSIEMI NELL UNIONE CI SONO TUTTI GLI ELEMENTI DEI DUE INSIEMI E SOLTANTO ESSI. GLI ELEMENTI IN COMUNE VENGONO SCRITTI UNA SOLA VOLTA.

19 LA DIFFERENZA TRA DUE INSIEMI SI DICE DIFFERENZA TRA DUE INSIEMI A E B, CONSIDERATI NELL ORDINE, L INSIEME DEGLI ELEMENTI DI A CHE NON APPARTENGONO A B. SI SCRIVE A-B E SI LEGGE «A MENO B». IN SIMBOLI: A-B= x x A x B

20 L'INSIEME COMPLEMENTARE DI UN INSIEME DEFINIZIONE: SE B A, L INSIEME COMPLEMENTARE DI B RISPETTO AD A È A-B L INSIEME COMPLEMENTARE DI B RISPETTO AD A SI INDICA CON ESEMPI: 1. SE A È L INSIEME DELLE LETTERE DI UNA PAROLA E B QUELLO DELLE SUE CONSONANTI, È L INSIEME DELLE VOCALI DELLA PAROLA. 2. IL COMPLEMENTARE DI UN INSIEME PUÒ ESSERE VUOTO. PER ESEMPIO, È SEM-PRE VERO CHE

21 PRODOTTO CARTESIANO SI DICE PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI A E B, CONSIDERATI NELL ORDINE, L INSIEME DI TUTTE LE COPPIE ORDINATE IN CUI IL PRIMO ELEMENTO APPARTIENE AD A E IL SECONDO APPARTIENE A B. SI SCRIVE AXB E SI LEGGE «A PER B» O «A CARTESIANO B». IN SIMBOLI: A B= ( x; y) x A e y B

22 LA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA NELLA RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA (O DIAGRAMMA CARTESIANO) DI AXB DELL'ESEMPIO PRECEDENTE, GLI ELEMENTI DI A SONO RAPPRESENTATI SU UNA SEMIRETTA ORIZZONTALE, GLI ELEMENTI DI B SU UNA SEMIRETTA VERTICALE, GLI ELEMENTI DI AXB SONO I NODI DELLA GRIGLIA. ESEMPIO CONSIDERIAMO GLI INSIEMI: A {1, 2, 3}, B {A, B}. IN AXB CI SONO LE COPPIE: (1; A), (2; A), (3; A), (1; B), (2; B), (3; B). INVECE IN BXA CI SONO (A; 1), (A; 2), (A; 3), (B; 1), (B; 2), (B; 3). QUINDI A B B A PERCHÉ, PER ESEMPIO, (1;A) (A;1)

23 L'INSIEME DELLE PARTI SI CHIAMA INSIEME DELLE PARTI DI A L INSIEME COSTITUITO DA TUTTI I SOTTOINSIEMI DI A. SI SCRIVE: P(A).