LIBRO ADOTTATO. A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI LIBRI CONSIGLIATI

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1 LIBRO ADOTTATO A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI LIBRI CONSIGLIATI G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI C. COSTANTINO, P. LONGOBARDI, M. MAJ, C. NICOTERA: MATEMATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL

2 M.G. BIANCHI, A. GILLIO: INTRODUZIONE ALLA MATE- MATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL L. DI MARTINO, M.C. TAMBURINI: APPUNTI DI ALGE- BRA, ed. CLUED

3 Si consiglia di studiare il capitolo: QUALCHE NOZIONE DI LOGICA MATEMATICA pagg del libro di A. Facchini: ALGEBRA E MATEM- ATICA DISCRETA

4 INSIEMI NUMERICI insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4,..., } Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } insieme dei numeri interi relativi Q è l insieme dei numeri della forma p q, dove p e q sono numeri relativi e q è diverso da 0; Q si dice insieme dei numeri razionali con il simbolo R si indica l insieme dei numeri reali. In seguito si definirà anche l insieme C dei numeri complessi.

5 SIMBOLI FONDAMENTALI Il simbolo di appartenenza di un oggetto ad un insieme è: si legge: appartiene oppure è elemento di. Ad esempio: 3 N, 1 Z, 5 3 Q, 5 R

6 Definizione 1 Siano A, B insiemi. Si dice che A è incluso oppure è contenuto in B o anche che A è sottoinsieme di B e si scrive A B se ogni elemento di A è anche elemento di B. Si dice invece che A è incluso oppure è contenuto propriamente o strettamente in B o anche che A è sottoinsieme proprio di B e si scrive A B o A B se ogni elemento di A è anche elemento di B ed esiste un elemento di B che non è elemento di A. Definizione 2 Si dice che due insiemi A e B sono uguali, e si scrive A = B, se essi hanno gli stessi elementi.

7 È chiaro, quindi, che A = B se e soltanto se A B e B A. Osservazione 3 Quali che siano gli insiemi A, B, C si ha: 1. A A 2. se A B e B A allora A = B 3. se A B e B C allora A C Esempi: N Z, Z Q.

8 Naturalmente ci sono le negazioni: non appartiene : / esempi: 3 / N, 1 3 / Z, π / Q non è contenuto : esempi: Z N, R Q.

9 Quantificatori: quantificatore universale quantificatore esistenziale il primo si legge per ogni, il secondo si legge esiste. Si usa anche il simbolo che vuol dire esiste ed è unico.

10 Insieme vuoto: è l insieme che non ha elementi ( x)(x / ). Si osservi che esso è sottoinsieme di qualunque insieme ( A insieme)( A).

11 Si può assegnare un insieme enumerando i suoi elementi (nel caso questo sia possibile), oppure tramite una proprietà caratteristica, ovvero una proprietà P che verificano tutti e soli gli elementi dell insieme che si vuole definire. Si scrive: A = {x U P(x)} oppure A = {x U : P(x)}. Esempi: Sia P l insieme dei numeri pari. Allora si può scrivere (definendolo tramite la proprietà caratteristica) P = {n Z m Z tale che n = 2m}. L insieme D dei numeri dispari può essere scritto come D = {n Z h Z tale che n = 2h + 1}.

12 Connettivi logici congiunzione: che si legge e disgiunzione: che si legge o. Esempi: (8 P) (8 è divisibile per 4) sia n Z allora: (n P) (n D).

13 Definizione 4 Dati due insiemi A e B si definiscono l unione A B e l intersezione A B come segue: A B = {x x A x B} A B = {x x A x B} Si osserva subito che per ogni insieme A A = A A = e che se A B allora si ha A B = B A B = A.

14 1. (A B) C = A (B C) proprietà associativa dell unione 2. (A B) C = A (B C) proprietà associativa dell intersezione 3. A B = B A proprietà commutativa dell unione 4. A B = B A proprietà commutativa dell intersezione 5. (A B) C = (A C) (B C), A (B C) = (A B) (A C) proprietà distributive dell intersezione rispetto all unione, 6. (A B) C = (A C) (B C), A (B C) = (A B) (A C) proprietà distributive dell unione rispetto all intersezione.

15 Definizione 5 Sia A insieme e B A si definisce il complementare di B rispetto ad A: A (B) = {x A x / B}. Si ha ovviamente: A (A) = ; A ( ) = A; B A (B) = A; B A (B) = Si dimostrano le leggi di DE MORGAN: A (B C) = A (B) A (C); A (B C) = A (B) A (C), dove B, C A. Definizione 6 Siano A, B insiemi. Allora insieme: A B = {x A x / B} si dice insieme differenza tra l insieme A e l insieme B

16 Definizione 7 Sia A un insieme. Si dice insieme delle parti di A e si indica con P(A) l insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A. In simboli: P(A) = {X X A} È ovvio che A P(A), P(A), se X P(A), Y P(A), allora X Y P(A) e X Y P(A). Definizione 8 Siano A e B insiemi. Si definisce il prodotto cartesiano: A B = {(a, b) a A, b B}. Naturalmente si ha: A = A =.