ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI

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1 ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI

2 In Matematica il concetto di insieme è assunto come primitivo, cioè non si definisce. Considereremo quindi la nozione di insieme dal punto di vista intuitivo. Un insieme è quindi un agglomerato di oggetti di qualsiasi specie (numeri, persone, piante, elementi chimici, ecc.) Tali oggetti si chiamano elementi dell insieme.

3 Esempi l agglomerato dei pazienti di un ospedale

4 Esempi l agglomerato dei pazienti di un ospedale la totalità dei numeri pari

5 Esempi l agglomerato dei pazienti di un ospedale la totalità dei numeri pari la collezione degli studenti iscritti al Corso di Laurea in Farmacia dell Università di Cagliari.

6 Gli insiemi si indicano usualmente con le lettere maiuscole A, B, C, racchiudendo in parentesi graffe gli elementi che appartengono all insieme.

7 Per esempio, S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto} è l insieme dei cinque sensi

8 Per esempio, S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto} è l insieme dei cinque sensi A = {1, 2, 4, 8} è l insieme dei divisori del numero 8.

9 Un modo per rappresentare graficamente un insieme è disegnare una figura geometrica di questo tipo: S vista udito olfatto gusto tatto A insieme dei 5 sensi insieme dei divisori di 8 S ed A sono esempi di insiemi finiti, cioè insiemi con un numero finito di elementi.

10 Invece un esempio di insieme infinito è l insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3, 4,..}.

11 Invece un esempio di insieme infinito è l insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3, 4,..}. Un altro esempio di insieme infinito è l insieme dei numeri relativi Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,.} o l insieme dei numeri reali, indicato con il simbolo R

12 Per esprimere che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo e si legge appartiene a. Per esempio, per dire che il numero 12 appartiene all insieme dei numeri naturali si scrive 12 N.

13 Invece, per dire che un oggetto non fa parte di un insieme si usa il simbolo che si legge: non appartiene a. Per esempio, intuito S π N 5 {numeri pari}

14 Per insiemi molto grandi spesso è sconveniente o impossibile elencarne tutti gli elementi. Quindi essi vengono definiti per mezzo di parole o espressioni matematiche.

15 Per insiemi molto grandi spesso è sconveniente o impossibile elencarne tutti gli elementi. Quindi essi vengono definiti per mezzo di parole o espressioni matematiche. Per esempio, come descriviamo l insieme di tutti i numeri più grandi di 8? Non possiamo enumerare tutti i numeri reali più grandi di 8. Ma possiamo scrivere {x R tali che x > 8}

16 Per usare una scrittura più abbreviata, al posto delle parole tali che si può usare il simbolo : oppure

17 Per usare una scrittura più abbreviata, al posto delle parole tali che si può usare il simbolo : oppure Per esempio cosa indica questa scrittura? {x R x 2 = 4}

18 Per usare una scrittura più abbreviata, al posto delle parole tali che si può usare il simbolo : oppure Per esempio cosa indica questa scrittura? {x R x 2 = 4} Essa indica l insieme dei numeri reali che elevati al quadrato danno 4, cioè i numeri 2 e -2. Quindi {x R x 2 = 4} = {2, 2}.

19 Due insiemi A e B si dicono uguali, e si indica con il simbolo A = B quando contengono esattamente gli stessi elementi.

20 Ora consideriamo {x R x 2 = 1}

21 Ora consideriamo {x R x 2 = 1} Tale insieme non ha alcun elemento, perché nessun numero reale elevato al quadrato è uguale a -1.

22 Nasce quindi l esigenza di considerare l insieme privo di elementi, indicato con il simbolo e chiamato insieme vuoto.

23 Nasce quindi l esigenza di considerare l insieme privo di elementi, indicato con il simbolo e chiamato insieme vuoto. Pertanto {x R x 2 = 1} =

24 Sottoinsiemi Consideriamo A = insieme dei farmaci antipiretici B = insieme di tutti i farmaci Chiaramente tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

25 Sottoinsiemi Consideriamo A = insieme dei farmaci antipiretici B = insieme di tutti i farmaci Chiaramente tutti gli elementi di A sono anche elementi di B. Possiamo rappresentare graficamente tale situazione in questo modo: A B

26 In generale, diremo che A è sottoinsieme di B se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B Ciò si indica con il simbolo A B

27 Conseguenze immediate 1) A A 2) A per qualsiasi insieme A.

28 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?

29 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3},

30 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1},

31 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1}, {2},

32 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1}, {2}, {3},

33 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1}, {2}, {3}, {1,2},

34 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},

35 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}

36 Esempi 1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3}?, {1,2,3}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} 2. Consideriamo A = insieme di tutte le malattie cardiovascolari B = {angina pectoris} Allora B A.

37 3. Indichiamo con A = l insieme dei quadrilateri B = l insieme dei rombi C = l insieme dei quadrati Allora si ha che C B A

38 Unione L unione di due insiemi A e B è l insieme, indicato A B i cui elementi sono esattamente gli elementi che appartengono ad A oppure che appartengono a B. Più in breve: A B = { x x A oppure x B}

39 A B A B

40 Esempi 1. Consideriamo gli insiemi e Allora: A = {-2, 0, 1} B = {1, 2, 3, 4} A B =?

41 Esempi 1. Consideriamo gli insiemi e Allora: A = {-2, 0, 1} B = {1, 2, 3, 4} A B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4}

42 2. Siano A = insieme dei numeri pari B = insieme dei numeri dispari Allora A B =?

43 2. Siano A = insieme dei numeri pari B = insieme dei numeri dispari Allora A B = Z

44 Intersezione Si chiama intersezione di A e B l insieme, indicato con A B costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B. Più in breve, A B = { x x A e x B}

45 In altre parole, A B è l insieme degli elementi che i due insiemi A e B hanno in comune. A B A B

46 Può anche capitare che due insiemi non abbiano alcun elemento in comune. In questo caso A B = cioè i due insiemi hanno intersezione vuota.

47 Esempi 1 π,10,11,12,10,11, 50? 2 1., { π } =

48 Esempi 1 π,10,11,12,10,11, 50? 2 1., { π } = A -π 12 1/ π 50 B A B

49 Esempi π,,10,11,12 { π,10,11, 50} = { 10,11} A -π 12 1/ π 50 B A B

50 2. R N = N. Infatti ogni numero naturale è anche un numero reale.

51 2. R N = N. Infatti ogni numero naturale è anche un numero reale. 3. Sia A = insieme dei rettangoli B = insieme dei rombi Allora A B = insieme di quei rombi che sono anche rettangoli = insieme dei quadrati

52 2. R N = N. Infatti ogni numero naturale è anche un numero reale. 3. Sia A = insieme dei rettangoli B = insieme dei rombi Allora A B = insieme di quei rombi che sono anche rettangoli = insieme dei quadrati

53 2. R N = N. Infatti ogni numero naturale è anche un numero reale. 3. Sia A = insieme dei rettangoli B = insieme dei rombi Allora A B = insieme di quei rombi che sono anche rettangoli = insieme dei quadrati

54 Differenza La differenza tra due insiemi A e B è l insieme, indicato A \ B i cui elementi sono gli elementi di A che non appartengono a B: A \ B { x A x B} =

55 A B A \ B

56 Nel caso particolare in cui A S, la differenza S \ A si chiama complementare di A rispetto ad S e si indica con A c S A c S \ A = A

57 Esempi 1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} =?

58 Esempi 1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = {0, 5}

59 Esempi 1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = {0, 5} 2. Siano Allora A = insieme degli anti-infiammatori B = insieme dei cortisonici A \ B =?

60 Esempi 1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = {0, 5} 2. Siano Allora A = insieme degli anti-infiammatori B = insieme dei cortisonici A \ B = anti-infiammatori non steroidei

61 Simbologia In Matematica si tende ad usare dei simboli in luogo di espressioni di parole

62 Simbologia In Matematica si tende ad usare dei simboli in luogo di espressioni di parole per una questione di comodità

63 Simbologia In Matematica si tende ad usare dei simboli in luogo di espressioni di parole per una questione di comodità per evitare di scrivere espressioni matematiche troppo lunghe

64 Simbologia In Matematica si tende ad usare dei simboli in luogo di espressioni di parole per una questione di comodità per evitare di scrivere espressioni matematiche troppo lunghe per poter disporre di un linguaggio universale comune a tutti gli scienziati, anche di diversa nazionalità

65 Riassumiamo qui sotto alcuni di questi simboli con il relativo significato. x A x appartiene A B A è sottoinsieme di B all insieme A x A x non appartiene A B unione di A e B all insieme A A B intersezione di A e B tale che : A \ B differenza di A e B esiste A c complementare di A per ogni implica insieme vuoto è equivalente a (oppure se e solo se )

66 L implicazione Cosa significa il simbolo?

67 L implicazione Cosa significa il simbolo? Si usa per esprimere in forma abbreviata che se succede P allora capita anche Q Scriveremo e si legge P Q P implica Q

68 Esempio Consideriamo la frase Se Ugo è uno studente italiano allora è uno studente europeo

69 Esempio Consideriamo la frase Se Ugo è uno studente italiano allora è uno studente europeo Questo si può abbreviare scrivendo Ugo è studente italiano Ugo è studente europeo

70 Esempio Consideriamo la frase Se Ugo è uno studente italiano allora è uno studente europeo Questo si può abbreviare scrivendo Ugo è studente italiano Ugo è studente europeo P Q

71 Esempio Consideriamo la frase Se Ugo è uno studente italiano allora è uno studente europeo Questo si può abbreviare scrivendo Ugo è studente italiano Ugo è studente europeo P Q Se P Q non è affatto detto che Q P. Per esempio il fatto che Ugo è un alunno europeo non implica che egli sia necessariamente italiano.

72 Quando accade che si abbia P Q e nello stesso tempo anche che Q P diremo che P e Q sono equivalenti e useremo il simbolo P Q Che si legge P equivale a Q oppure P se e solo se Q.

73 Esempio Consideriamo le affermazioni P = Andrea ha superato l esame di Matematica Q = Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all esame di Matematica

74 Esempio Consideriamo le affermazioni P = Andrea ha superato l esame di Matematica Q = Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all esame di Matematica Chiaramente P Q

75 Esempio Consideriamo le affermazioni P = Andrea ha superato l esame di Matematica Q = Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all esame di Matematica Chiaramente Ma anche P Q Q P

76 Esempio Consideriamo le affermazioni P = Andrea ha superato l esame di Matematica Q = Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all esame di Matematica Chiaramente Ma anche Quindi P Q Q P P Q