Prerequisiti Matematici

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1 Prerequisiti Matematici Richiami di teoria degli insiemi Relazioni d ordine, d equivalenza Richiami di logica Logica proposizionale, tabelle di verità, calcolo dei predicati Importante: Principio di Induzione Teoria degli insiemi - sta alla base della semantica denotazionale Logica - sta alla base delle tecniche di specifica Prerequisiti matematici: Logica D altra parte, continuò Tweedledee, se era così, doveva esserlo; E se fosse stato così, lo sarebbe; ma poiché non lo è, non può esserlo. Questa è logica.

2 Logica proposizionale La logica proposizionale tratta combinazioni di frasi (proposizioni) a prescindere dalla loro struttura interna Es. P = Trento è bella Q = Oggi piove Logica proposizionale Sintassi: stabilisce le regole di forma del linguaggio True, False, simboli proposizionali: P, Q, Negazione: P Congiunzione: P Q Disgiunzione: P Q Implicazione: P Q Equivalenza: P Q,,,, si chiamano connettivi logici Le frasi formate con queste regole si chiamano formule ben formate 2

3 Logica proposizionale Semantica: assegna significato alle formule ben formate Il significato di una formula ben formata è un valore di verità, cioe un elemento dell insieme {T,F} (indicato anche con {,}) P P Semantica dei connettivi logici P Q P Q P Q P Q P Q P Q R Una proposizione costruita su n proposizioni elementari, ammetterà ben 2 n ipotesi sul valore di verità delle sue componenti 2 3 = 8 3

4 Logica proposizionale Una formula ben formata si dice valida (o tautologia) se risulta vera sotto ogni possibile interpretazione (cioè qualunque sia l assegnazione dei valori di verità) Es. (false P) è una tautologia Una formula ben formata si dice soddisfacibile se è vera sotto qualche interpretazione (cioè esiste qualche assegnazione dei valori di verità che la rende vera) Esercizio Dimostrare che (P (P Q)) Q è una tautologia P Q P Q P (P Q) (P (P Q)) Q 4

5 Equivalenze di formule Vediamo una serie di equivalenze di formule. Ciascuna può essere dimostrata usando la semantica dei connettivi logici e costruendo le rispettive tabelle di verità true false false true P true P P false false P true true P false P (false P) true Equivalenze di formule Commutatività: i connettori e sono commutativi Es. F G G F Distributività: P (G Q) (P G ) (P Q) P (G Q) (P G ) (P Q) (P G ) Q (P Q ) (G Q) (P G ) Q (P Q ) (G Q) P (G Q) (P G ) (P Q) P (G Q) (P G ) (P Q) 5

6 Equivalenze di formule Negazione: ( P) P (P Q) P Q (P Q) P Q (P Q) P Q Leggi di controposizione: F G G F ( F G) ( G F) F G F G Riduzione: P Q P Q P Q P Q Q P Calcolo dei predicati Il calcolo dei predicati estende il calcolo proposizionale e consente di entrare nella struttura delle proposizioni Consente cioè di fare riferimento ad oggetti e di predicare (esprimere affermazioni) su di essi x P(x) Q(x) x informatico(x) hacker(x) Il calcolo dei predicati consente l uso di due quantificatori si dice quantificatore universale (si legge per ogni ) si dice quantificatore esistenziale (si legge esiste ) 6

7 Calcolo dei predicati Es. x informatico(x) hacker(x) La presenza dei quantificatori pone la necessità di stabilire delle regole per la portata (in inglese scope) degli stessi Scope di un quantificatore: la parte della formula sulla quale il quantificatore influisce Se una variabile x in una formula P non è legata da nessun quantificatore, si dice che è libera in P Una formula ben formata si dice chiusa se non ha occorrenze di variabili libere Calcolo dei predicati L insieme {x P(x)} è detto estensione di P Alcune equivalenze: x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) Distributività: x (P(x) R(x)) ( x P(x)) ( x R(x)) x (P(x) R(x)) ( x P(x)) ( x R(x)) x (P(x) R(x)) ( x P(x) x R(x)) Ridenominazione delle variabili: x P(x) y P(y) x P(x) y P(y) 7

8 Richiami di logica Letture consigliate:. Dispense sul sito del corso 2. La logica può essere divertente: R. Smullyan - Qual è il titolo di questo libro? - edizioni Zanichelli 8