L'algebra Booleana. Generalità. Definizioni

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1 L'algebra Booleana Generalità L algebra booleana è stata sviluppata da George Boole nel 1854, ed è diventata famosa intorno al 1938 poiché permette l analisi delle reti di commutazione, i cui soli stati possono essere 1 e 0. Scopo della logica è quello di verificare la correttezza di un ragionamento, per far questo la logica trasforma ogni frase in una formula matematica in modo che si possa convertire tutto il ragionamento in un calcolo matematico dal quale si può quindi stabilire se è corretto oppure no. Definizioni Proposizione è un enunciato per il quale è possibile stabilire se è vero o falso. Tautologia è un enunciato sempre vero, e contraddizione un enunciato sempre falso. Connettivi logici sono operazioni che possono legare una o più proposizioni. Siano A, B, C, delle proposizioni Esempi: A= è un gatto B= è un animale nero La negazione di una proposizione si indica con A A= non è un gatto B= non è un animale nero Una proposizione ammette tre principi fondamentali: Principio di identità: Ogni proposizione deve mantenere sempre lo stesso significato durante il discorso. Principio di non contraddizione: Una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa. Principio del terzo escluso: Una proposizione può essere vera o falsa e non esiste una terza possibilità.

2 Connettori Connettore O (v) 1 Connettore E (^) A B A v B A B A ^ B V V V V V V V F V V F F F V V F V F F F F F F F L'affermazione (A ^ B) vuol dire che è un gatto ed è anche un animale nero. Se una delle due condizioni non fosse vera l'affermazione sarebbe falsa. Per esempio se cercassi un gatto nero e trovassi un gatto bianco o un cane nero non me ne farei niente. L'affermazione (A v B) vuol dire che è un gatto o un animale nero. Se una delle due condizioni non fosse vera l'affermazione sarebbe comunque vera. Per esempio se cercassi un gatto o un qualsiasi animale nero e trovassi un gatto bianco o un cane nero la cosa mi andrebbe comunque bene. Alcune leggi Si può dimostrare che valgono le seguenti leggi di De Morgan (A v B) = A ^ B (A ^ B) = A v B dove = sta ad indicare è equivalente. Esempi: La frase non è vero che Giulia ama Aldo o Bruno ( (A v B)) è equivalente a: Giulia non ama Aldo e non ama Bruno ( A ^ B) La frase: non è vero che Giulia ama Aldo e Bruno ( (A ^ B)) è equivalente a: Giulia non ama Aldo o non ama Bruno ( A v B). Altri leggi: La proposizione (A v A) è sempre vera (è una tautologia) Connettore di implicazione ( ) La congiunzione proposizionale Se... Allora... è un connettivo logico che lega in una implicazione due variabili, e si indica di solito con una freccia puntata verso destra: A B. Quindi: se si verifica A allora si verifica anche B; tale relazione vale sempre in un solo senso ma non vale in generale in senso opposto, cioè non è commutativa, quindi se succede B non è detto che succeda A. Facciamo un esempio: Se io sono nato a Roma (A) allora sono italiano (B); ma in generale non vale il viceversa: se io sono italiano non è detto che sia nato a Roma. Le variabili e la tabella logica relativa a tale connettivo sono i seguenti: 1 Corrisponde al vel latino e non all' aut

3 A B A B 1) V V V 2) V F F 3) F V V 4) F F V La riga 1) che dice che se sono nato a Roma allora sono italiano, L'implicazione è vera. La riga 2) dice che se sono nato a Roma allora non sono italiano, l'implicazione è falsa. La riga 3) e 4) iniziano con A che indica che non sono nato a Roma, quindi sono ambedue possibili i casi che sia italiano o no, di conseguenza le implicazioni sono sempre vere. Altro esempio. Se io affermo se piove (A) sto a casa (B) dico il falso sole se piove e non sto a casa, non nel caso in cui non piove e sto a casa. La contronominale Un equivalente di questa relazione è la cosiddetta contronominale, ovvero la possibilità di invertire l'implicazione diretta negando le due variabili ovvero: A B = Quindi se non sono italiano allora non sono nato a Roma. B A. Questa è una delle forme della dimostrazione per assurdo in cui la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi 2. Condizione necessaria e sufficiente In modo equivalente l'implicazione si può voltare introducendo il concetto di necessario e sufficiente. Quindi possiamo dire che è sufficiente (ma non necessario) che si verifichi A affinché si verifichi anche B; oppure: è necessario (ma non sufficiente) che si verifichi B affinché si verifichi anche A. Altri esempi Altri esempi che fanno uso di tale connettivo si possono costruire utilizzando per esempio il verbo essere oppure il verbo avere nel discorso: Mario ha i capelli neri e Luca è un contadino sono frasi dove non vale il viceversa, quindi: Luca Contadino ; Mario Capelli neri. Un altro interessante caso dell'implicazione diretta è il seguente (A B)=A ^ B Per esempio la frase non è vero che se Aldo suda (A) allora si ammala (B) è equivalente a Aldo suda (A) e non si ammala ( B). 2 Le altre forme di dimostrazione per assurdo sono le seguenti: - l'ipotesi e la negazione della tesi implica la negazione dell'ipotesi - l'ipotesi e la negazione della tesi implica la tesi - l'ipotesi e la negazione della tesi implica un assurdo

4 Si possono usare anche i quantificatori ( tutti, qualunque, ed esiste) per esempio con frasi del tipo: non è vero che se tutti gli studenti ( A) fanno ricreazione allora fanno baccano (B) che è equivalente a esistono studenti ( A ) che fanno ricreazione senza fare baccano ( B).

5 Esercizi 1) Paolo è così amico di Giuseppe e di Claudio che quando lui va alle feste ci vanno anche i suoi due amici. Data la frase precedente, quale delle seguenti affermazioni è certamente vera? (implicazione) Paolo ieri è andato ad una festa, quindi sicuramente c erano anche Giuseppe e Claudio Ieri Claudio è andato ad una festa, quindi c è andato anche Paolo Giuseppe e Claudio ieri erano ad una festa, quindi c era anche Paolo Ieri c era una festa alla quale Paolo non è andato, quindi anche Giuseppe e Claudio non c erano Giuseppe ieri era ad una festa, quindi sicuramente c è andato anche Claudio 2) Sara afferma che tutti gli studenti di medicina hanno frequentato il liceo scientifico. Quale delle seguenti condizioni è NECESSARIO si verifichi affinché l affermazione di Sara risulti falsa? (implicazione o negazione) Deve esistere almeno uno studente di medicina che non ha frequentato il liceo scientifico Deve esistere almeno uno studente di medicina che ha frequentato il liceo classico Nessuno studente di medicina deve aver frequentato il liceo scientifico Deve esistere almeno uno studente che ha frequentato il liceo scientifico ma che non è iscritto a medicina Tutti gli studenti che non sono iscritti a medicina devono aver frequentato il liceo scientifico 3) Per superare il provino ed entrare in una squadra di calcio è necessario, ma non sufficiente, saper giocare bene e non avere più di 14 anni. Determinare quale delle seguenti situazioni è NON compatibile con la frase precedente. (implicazione) Elena non sa giocare bene a calcio, ha meno di 14 anni, e supera il provino Elena sa giocare bene a calcio, ha meno di 14 anni e supera il provino Elena sa giocare bene a calcio, ha meno di 14 anni e non supera il provino Elena non sa giocare bene a calcio, ha meno di 14 anni e non supera il provino Elena ha meno di 14 anni e non supera il provino 4) Condizione sufficiente, ma non necessaria, affinché al Liceo Pitagora l'anno scolastico si concluda con una festa è che le interrogazioni terminino entro la fine del mese di maggio. Determinare quale delle seguenti situazioni è INCOMPATIBILE con l'affermazione precedente. (implicazione) Nel 2008 le interrogazioni sono terminate a marzo, e poi non c'è stata la festa Nel 2006 uno studente è stato interrogato il 4 giugno, e poi c'è stata la festa Nel 2003 uno studente è stato interrogato il 4 giugno, e poi non c'è stata la festa Nel 2010 uno studente è stato interrogato il 3 aprile, e poi non c'è stata la festa Da quando esiste il Liceo Pitagora la festa c'è stata ad anni alterni

6 5) L'affermazione "a nessuna ragazza sono antipatici tutti i ragazzi" è equivalente alla seguente affermazione: (negazione) c'è un ragazzo che è simpatico a tutte le ragazze per ogni ragazza c'è almeno un ragazzo che le è simpatico c'è una ragazza alla quale sono simpatici tutti i ragazzi 6) L'esatta negazione della frase "i miei amici sono tutti buoni e belli" è (De Morgan) qualcuno dei miei amici è brutto oppure è cattivo qualcuno dei miei amici è brutto qualcuno dei miei amici è cattivo i miei amici sono tutti brutti e cattivi i miei amici sono tutti brutti o cattivi 7) Qual è l'esatta negazione della proposizione: "Tutte le ragazze in quest'aula sono bionde"? (negazione) Esiste una ragazza non bionda in quest'aula In qualche posto esiste una ragazza bruna Nessuna ragazza in quest'aula è bionda 8) Quale tra le seguenti frasi è logicamente equivalente alla proposizione "se vieni tu, non vengo io" (contronominiale) se non vieni tu, io vengo io vengo se e solo se tu non vieni se io vengo, tu non vieni nessuna delle precedenti 9) L'affermazione "se A è giallo allora B è verde" ha come conseguenza: (contronominiale) se A è blu, allora B non è verde se B è verde, allora A è giallo se B è blu, allora A non è giallo nessuna delle precedenti 10) L'esatta negazione della proposizione Tutti gli studenti sono promossi è (negazione) Nessuno è promosso Qualcuno è promosso Qualcuno è bocciato Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta