METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA

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1 METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA Tutorato Lezione 2 17/03/2016 Corso per matricole congrue a 1 Docente: Margherita Napoli Tutor: Amedeo Leo

2 Applicazioni della logica proposizionale La logica ha una serie di applicazioni importanti, come la matematica e l'informatica. Le proposizioni espresse nel linguaggio naturale sono spesso ambigue. Per questo, è necessario tradurle nel linguaggio della logica. Esempio: Puoi accedere a Internet dal campus solo se hai un account o non sei un ospite. Come si traduce: p: puoi accedere a Internet dal campus solo se: -> hai un account: q sei un ospite: r Quindi: (q V -r) -> p Esempio: Se (hai più di 12 anni o sei accompagnato dai tuoi genitori) allora (puoi salire su quella giostra) Proposizioni elementari: p = hai più di 12 anni q = sei accompagnato dai tuoi genitori r = puoi salire su quella giostra Traduzione: p q r Esempio: Non puoi andare sulle montagne russe se sei alto meno di 150cm o se hai meno di 16 anni. Proposizioni elementari: q: puoi andare sulle montagne russe r: sei alto meno di 150cm s: hai più di 16 anni Traduzione: (r s) -> q Regola generale: Individua nella frase le parole chiave che corrispondono ai connettivi logici ed usa essi per identificare le proposizioni elementari Esempio: Puoi avere caffè gratis se sei maggiorenne ed è martedì passo 1: individua connettivi logici (se, ed) passo 2: identifica le proposizioni elementari (p caffè, q maggiorenne, r martedì) passo 3: riscrivi la frase come una proposizione logica q r -> p Esempio: Si assuma di avere le seguenti proposizioni elementari: p = Tu guidi a più di 130 km/h q = Prendi la multa Traduci ciascuna delle seguenti frasi: Tu non guidi a più di 130 km/h ( p) Tu guidi a più di 130 km/h, ma non prendi la multa (p q) Se non guidi a più di 130 km/h allora non prendi la multa ( p q) Guidare a più di 130 km/h è sufficiente per prendere una multa (p q) Prendi la multa, ma non guidi a più di 130 km/h (q p)

3 Rappresentazione di T e F in un computer I computer rappresentano le informazioni (dati e programmi) attraverso 1 e 0. La logica utilizza vero e falso, cioè T e F. Un bit è sufficiente a rappresentare 1 (vero = T) e 0 (falso = F). Una variabile booleana può corrispondere ad una proposizione. T ed F sono sostituite con 1 e 0. Ricerche su Web I connettivi logici sono anche utilizzati nella ricerca di informazioni in rete. Poiché tali ricerche usano tecniche della logica proposizionale, sono chiamate ricerche booleane. In tale ricerche, il connettivo AND è usato per abbinare i record che contengono entrambi i termini di ricerca, il connettivo OR è usato per abbinare uno o entrambi i termini, e il connettivo NOT viene utilizzato per escludere un particolare termine di ricerca. Esercizio 2 pagina 22 Puoi vedere il film sole se sei maggiorenne o hai il permesso di un genitore. Puoi vedere il film : p Sei maggiorenne : q Hai il permesso di un genitore : r Espressione: p -> (q V r) Esercizio 8 pagina 22 p: L utente inserisce una password valida q: Accesso consentito r: L utente è registrato al sistema a) L utente è registrato al sistema, ma non inserisce una password valida. Risposta: r p d) Se l utente non inserisce una password valida, ma è registrato al sistema, allora l accesso è consentito. Risposta: ( p r ) -> q Equivalenze proposizionali Nel ragionamento matematico riveste un ruolo importante la possibilità di sostituire una affermazione (proposizione) con un altra avente gli stessi valori di verità. Una tautologia è una proposizione composta (ovvero un espressione formata da proposizioni legate da operatori logici) che è sempre vera per tutti i possibili valori delle proposizioni elementari che la compongono. Una contraddizione è una proposizione composta che è sempre falsa per tutti i possibili valori delle proposizioni elementari che la compongono. Una contingenza è una proposizione composta che non è né una tautologia né una contraddizione.

4 Le proposizioni p e q sono dette logicamente equivalenti se hanno gli stessi valori di verità (o equivalentemente se p q è una tautologia). La notazione p q denota che p e q sono logicamente equivalenti. Esempi di equivalenze logiche Leggi di De Morgan: (p q) p q (p q) p q La prima equivalenza ci dice che la negazione di una congiunzione è formata prendendo la disgiunzione delle negazioni delle proposizioni componenti. Allo stesso modo, la seconda equivalenza ci dice che la negazione di una disgiunzione è formata prendendo la congiunzione delle negazioni delle proposizioni. Commutative laws: p q q p p q q p

5 Associative laws: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Distributività: p (q r) (p q) (p r) Proprietà dell implicazione: p q p q Esempio: Negare, utilizzando le leggi di De Morgan, la frase L estate in Messico è calda ed assolata. Soluzione: L estate in Messico non è calda o non è assolata Uso di equivalenze logiche Le equivalenze possono essere usate per trasformare proposizioni o parti di esse per poter ottenere un qualche risultato. Come mostrare equivalenze logiche: Usare una tavola di verità Usare equivalenze logiche già note Soddisfacibilità proposizionale Una proposizione è soddisfacibile se c'è una assegnazione di valori di verità alle sue variabili che la rende vero. Quando tale assegnazione non esiste, cioè quando la proposizione è falsa per tutte le assegnazioni di valori di verità alle sue variabili, la proposizione è insoddisfacibile (se e solo se la sua negazione è una tautologia). Quando troviamo una particolare assegnazione di valori di verità che fa una proposizione vera, abbiamo dimostrato che è soddisfacibile; tale assegnazione è chiamato una soluzione di questo problema di soddisfacibilità.

6 Esercizio 10 pagina 35 Esercizio 26 pagina 36

7 Esercizi presenti sulla piattaforma relativi alla Logica Proposizionale Esercizio 5 Verificare se la proposizione (p q) (p q) è una tautologia. (p q) (p q) (p q) (p q) (p q) ( p V q) ( p V q) ( p V q) ( p V p) V ( q V q) Per la proprietà dell implicazione Per la proprietà dell implicazione Per le leggi di De Morgan Per le leggi associative e commutative dell OR (Vero) V (Vero) Vero Esercizio 8 Si supponga vera la proposizione p q. Per ciascuna delle seguenti proposizioni dire se possiamo concludere che sia vera, se possiamo concludere che sia falsa o se non possiamo concludere nessuna delle due cose (giustificare le risposte). (a) p q. è vera: p q è vera se sono entrambe vere. (Vero) V (Vero) è Vero. (b) p q. è falsa: per le leggi di De Morgan, corrisponde a (p q). Poiché p q è Vero, la sua negazione è Falsa. (c) p q. è vera: p q è vera, quindi sia p che q sono Vero. (Vero) V (Falso) è Vero. Esercizio 9 Si supponga che la proposizione p q sia falsa. Per ciascuna delle proposizioni (a), (b) e (c) seguenti, dire se possiamo concludere che sia vera, se possiamo concludere che sia falsa o se non possiamo concludere né che sia vera né che sia falsa (giustificare le risposte). (a) p q. non si può concludere nulla. (b) p q. è vera: per le leggi di De Morgan, corrisponde a (p q). Poiché p q è Falso, la sua negazione è Vera. (c) p q. non si può concludere nulla (anche con le leggi di De Morgan; fare la tavola di verità). Cosa è stato fatto 1. Ripasso di teoria sulle applicazioni della logica proposizionale 2. Esercizi (pagina 22, numeri 2,8). 3. Ripasso di teoria sulle equivalenze proposizionali 4. Esercizi (pagine 35 e 36, numeri 10,26) 5. Esercizi assegnati sulla piattaforma relativi alla logica proposizionale (numeri 5,8,9)