METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA

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1 P METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA Tutorato Lezione 3 31/03/2016 Corso per matricole congrue a 1 Docente: Margherita Napoli Tutor: Amedeo Leo

2 Predicati e quantificatori Esercizio 9 pagina 53 P(x): x parla inglese. Q(x): x conosce il linguaggio C. a) C è uno studente che parla inglese e conosce il linguaggio C. b) C è uno studente che parla inglese, ma non conosce il linguaggio C. c) Ogni studente o parla inglese o conosce C. d) Nessuno studente parla inglese o conosce C. a) x (P(x) Q(x)) b) x (P(x) Q(x)) c) x (P(x) V Q(x)) d) x (P(x) V Q(x)) x (P(x) V Q(x)) x( (P(x) Q(x)) Esercizio 12 pagina 53 Q(x) = x + 1 > 2x. Il suo dominio è l insieme di tutti gli interi. a) Q(0) V b) Q( 1) F c) Q(1) V d) xq(x) V (x = 0, x = 1) e) xq(x) F (controesempio con x = -1) f) x Q(x) V (x >= 2) g) x Q(x) F (controesempio con x = 0) Esercizio 38 pagina 55 Trasformate le proposizioni in linguaggio naturale. S(x,y) indica che x è nello stato y ; il dominio di x e y consiste di tutti i sistemi e di tutti gli stati, rispettivamente. a) x S(x, open) b) x(s(x, malfunctioning) S(x, diagnostic)) c) xs(x, open) xs(x, diagnostic) d) x S(x, available) e) x S(x, working) a) Un sistema è in uno stato aperto. b) Ciascun sistema è in stato malfunzionante o in stato diagnostico. c) Un sistema è in uno stato aperto o in uno stato diagnostico. d) Un sistema è in uno stato non disponibile. e) Nessun sistema sta lavorando (ciascun sistema non sta lavorando).

3 Esercizio 41 pagina 55 a) Almeno una mail, tra l insieme di messaggi non vuoti, può essere salvata se c è un disco con più di 10KB di spazio libero. P(x): Il disco x ha più di 10KB liberi. Q(y): la mail y può essere salvata. R(y): la mail y è non vuota. x P(x) y(q(y) R(y)) Esercizio 45 pagina 56 Mostrare che x(p(x) Q(x)) e xp(x) xq(x) sono logicamente equivalenti. La prima proposizione è vera quando esiste una x nel dominio che rende vera una tra P(x) o Q(x). Lo stesso si può dire della seconda. Esercizio 52 pagina 56 Il dominio consiste di tutti gli interi. a)!x (x > 1) b)!x (x 2 = 1) c)!x (x + 3 = 2x) d)!x (x = x + 1) a) Falso (esempio, con x = 2 o x = 3). b) Falso (x = 1 e x = -1). c) Vero (x = 3). d) Falso. Esercizio 59 pagina 56 P(x): x è un professore. Q(x): x è ignorante. R(x): x è vanitoso. Esprimere ognuna di queste proposizioni tramite quantificatori e connettivi logici, sapendo che il dominio è formato da tutte le persone. a) Nessun professore è ignorante. b) Tutti gli ignoranti sono vanitosi. c) Nessun professore è vanitoso. d) La terza (c) segue dalle prime? a) x (P(x) Q(x)) b) x (Q(x) R(x))

4 c) x (P(x) R(x)) d) No, non sappiamo chi non sia ignorante (poiché ogni professore non è ignorante). Esercizio 4 pagina 64 P(x,y): lo studente x frequenta la classe y. Il dominio consiste di tutti gli studenti di Metodi Matematici per l Informatica e y di tutti i corsi di Informatica. Esprimere le seguenti proposizioni in italiano: a) x y P(x,y) b) x y P(x,y) c) x y P(x,y) d) y x P(x,y) e) y x P(x,y) f) x y P(x,y) a) Uno studente di Metodi Matematici per l Informatica ha seguito un corso di Informatica. b) Uno studente di Metodi Matematici per l Informatica ha seguito ogni corso di Informatica. c) Ciascuno studente di Metodi Matematici per l Informatica ha seguito un corso di Informatica. d) Esiste un corso di Informatica che ciascuno studente di Metodi Matematici per l Informatica ha seguito. e) Ciascun corso di Informatica è stato seguito da almeno uno studente di Metodi Matematici per l Informatica. f) Ciascuno studente di Metodi Matematici per l Informatica ha seguito ciascun corso di Informatica. Esercizio 31 pagina 67 Esprimere le negazioni delle proposizioni in modo tale che i simboli di negazioni precedano i predicati. a) x y z T(x, y, z) b) x yp(x, y) x yq(x, y) c) x y(p(x, y) zr(x, y, z)) d) x y(p(x, y) Q(x, y)) Ogni volta che si spinge il simbolo di negazioni verso il predicato, il quantificatore che si attraversa deve cambiare il suo tipo. Saranno utilizzate le leggi di De Morgan e l equivalenza logica a) x y z T(x, y, z) x y z T(x, y, z) x y z T(x, y, z) x y z T(x, y, z) b) ( x yp(x, y) x yq(x, y)) x yp(x, y) x yq(x, y)) x yp(x, y) x yq(x, y)) x y P(x, y) x y Q(x, y)) c) x y(p(x, y) zr(x, y, z)) x y(p(x, y) zr(x, y, z)) (p -> q) p q

5 x y (P(x, y) zr(x, y, z)) x y ( P(x, y) V zr(x, y, z)) x y ( P(x, y) V z R(x, y, z)) d) x y(p(x, y) Q(x, y)) x y(p(x, y) Q(x, y)) x y (P(x, y) Q(x, y)) x y (P(x, y) Q(x, y)) Esercizio 39 pagina 68 Trovare un controesempio per queste proposizioni (il dominio consiste di tutti gli interi). a) x y(x = 1/y) c) x y(x 2 y 3 ) a) x = 2 e y = -2 c) x = 5 e y = -1