METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA

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1 METODI MATEMATICI PER L INFORMATICA Tutorato Lezione 5 05/05/2016 Corso per matricole congrue a 1 Docente: Margherita Napoli Tutor: Amedeo Leo

2 Dimostrazioni e prove Esercizio 7 pagina 91 Utilizzare una prova diretta per dimostrare che ogni numero dispari è la differenza di due quadrati. Ricordiamo che p q viene dimostrata mostrando che Se p è vera allora q è vera Sapendo che n = 2k + 1, vogliamo che esistono x e y interi tali che Facciamo qualche esempio: Il caso generale è quindi n = x 2 y 2 n = a = 2, b = 1 n = 5 a =, b = 2 n = 7 a = 4, b = n = 9 a = 5, b = 4 n = 11 a = 6, b = 5 n = (k + 1) 2 k 2 = k 2 + 2k + 1 k 2 = 2k + 1 Gli interi x e y cercati sono dunque k+1 e k. Applicando la generalizzazione esistenziale abbiamo dimostrato lo statement cercato con una prova diretta. Esercizio 16 pagina 91 Dimostrare che se m e n sono interi e mn è pari, allora m è pari o n è pari. Lo dimostriamo con una dimostrazione per contrapposizione. Ricordiamo che p q viene dimostrata mostrando che Quindi, sia m che n sono dispari. Se q è vera allora p è vera (contronominale) m = 2i + 1; n = 2j + 1, con i e j interi m n = (2i + 1) (2j + 1) = 4ij + 2i + 2j + 1 = 2(2ij + i + j) + 1 = 2x + 1, con x intero Quindi, mn è dispari. Poiché la negazione della conclusione implica che l'ipotesi è falsa, lo statement originario è vero. La prova per contrapposizione è dimostrata. Esercizio 17 pagina 91 Dimostrare che se n è un intero e n + 5 è dispari, allora n è pari, b) utilizzando una prova per contraddizione. Ricordiamo che p q viene dimostrata mostrando che Se p è vera e q è vera allora si giunge ad un asserzione falsa Supponiamo quindi che n + 5 è dispari e n è dispari. Quindi, n = 2k + 1

3 n + 5 = (2k + 1) + 5 = 8k + 12k 2 + 6k = = 8k + 12k 2 + 6k + 6 = 2(4k + 6k 2 + k + ) Quindi, n + 5 è pari. Dall assunzione che n è dispari siamo arrivati all assurdo che n + 5 sia al tempo stesso pari (per quanto dimostrato) e dispari (per ipotesi). Da cui segue che n deve essere pari. Esercizio 28 pagina 91 Dimostrare che m 2 = n 2 se e solo se m = n oppure m = n. Lo dimostriamo con una dimostrazione per equivalenza. Poiché Entrambe le implicazioni devono essere vere. Dimostriamo la prima implicazione (verso destra): Quindi, o m = n oppure m = n. p q (p q) (q p) m 2 = n 2 m 2 n 2 = 0 (m n)(m + n) = 0 Dimostriamo la seconda implicazione (verso sinistra) per casi: 1. m = n. 2. m = n. m 2 = (m)(m) = (n)(n) = n 2 m 2 = (m)(m) = ( n)( n) = n 2 Esercizio 41 pagina 92 Mostrare che se n è un intero, queste quattro asserzioni sono equivalenti: 1. n è pari 2. n + 1 è dispari. n + 1 è dispari 4. n è pari 1 -> 2: Se n è pari, allora n + 1 è dispari. Assumiamo che n è pari. Quindi n + 1 è dispari. 2 -> : Se n + 1 è dispari, allora n + 1 è dispari: Assumiamo che n + 1 è dispari. n = 2k n + 1 = 2k + 1

4 n + 1 = 2k + 1 n + 1 = 2n + (n + 1) = 2n + 2k + 1 = 2(n + k) + 1 Quindi n + 1 è dispari. -> 4: Se n + 1 è dispari, allora n è pari. Assumiamo che n + 1 è dispari. n + 1 = 2k + 1 n = 2k n = 2k Quindi n è pari 4 -> 1: Se n è pari, allora n è pari. Lo dimostriamo per contrapposizione. Supponiamo che n non è pari. n = 2k + 1 n = (2k + 1) = 6k + = 2(k + 1) + 1 Quindi n + 1 è dispari. Abbiamo completato la prova per contrapposizione Induzione Molte asserzioni matematiche affermano che una proprietà è vera per ogni intero positivo, come, ad esempio, la somma dei primi n numeri naturali è n(n+1)/2. Questo tipo di risultato è dimostrato attraverso l induzione matematica. L induzione consiste di due parti: nella prima si dimostra che lo statement è vero per il numero 1 (base); nella seconda (passo induttivo), si dimostra che se l asserzione è vera per un intero positivo, deve avere anche per quello successivo. Si basa dunque sulla regola di inferenza che afferma: Se P(1) e k(p(k) P(k + 1)) sono vere, allora np(n) è vera. L assunzione che P(k) sia vera è detta ipotesi induttiva. Si può anche riscrivere come (P(1) k(p(k) P(k + 1))) np(n) Non assumiamo che P(k) sia vera per tutti gli interi positivi. È solo mostrato che se assumiamo che P(k) è vera, allora anche P(k+1) è vera. Esercizio pagina 29 P(n): n 2 = n(n+1)(2n+1)/6 a) Determinare P(1): b) Mostrare che P(1) è vero: 1 2 = (1 (1 + 1) (2(1) + 1))/6 1 = (1 2 )/6 1 = 1

5 c) Qual è l ipotesi induttiva? Assumiamo per un intero positivo n che P(n): n 2 = n(n+1)(2n+1)/6 d) Cosa c è bisogno di dimostrare nel passo induttivo? Nel passo induttivo occorre provare che P(n+1) è vero. P(n + 1): n 2 + (n + 1) 2 = ((n+1)(n+2)(2n+))/6 e) Completare il passo induttivo. Per completare il passo induttivo, occorre che n 2 + (n + 1) 2 = (n(n+1)(2n + 1))/6 + (n + 1) 2 = (n(n + 1)(2n + 1)+6(n + 1) 2 )/6 = ((n + 1)(n(2n + 1)+6(n + 1))/6 = ((n + 1)(2n 2 + n + 6n + 6))/6 = ((n + 1)(2n 2 + 7n + 6))/6 = ((n + 1)(n + 2)(2n + ))/6 in cui l = vale per l ipotesi induttiva. f) Spiegare perché i passi precedenti mostrano che questa formula è vera con n intero positivo. Poiché abbiamo dimostrato che lo statement vale anche per P(n+1) quando vale per P(n), abbiamo completato entrambi i passi (base e induttivo), quindi abbiamo provato l induzione. Esercizio 5 pagina 29 Dimostrare che (2n + 1) 2 = (n+1)(2n+1)(2n+)/ per ogni intero non negativo. P(k) è l ipotesi che (2k + 1) 2 = (k+1)(2k+1)(2k+)/. Caso base: per k = 0, 1 = 1. Passo induttivo: assumiamo che P(k) è vero per un generico intero k; quindi, (2k + 1) 2 = (k+1)(2k+1)(2k+)/ Vogliamo mostrare che il passo induttivo, ovvero P(k+1), è vero: Consideriamo la parte a sinistra dell equazione: (2k + 1) 2 + (2k + ) 2 = (k+2)(2k+)(2k+5)/ (2k + 1) 2 + (2k + ) 2 = ( (2k + 1) 2 ) + (2k + ) 2 = ((k+1)(2k+1)(2k+)) (k+1)(2k+1)(2k+) + (2k + ) 2 = + (2k+)2 = 2k+ ((k + 1)(2k + 1) + (2k + )) = 2k+ (2k 2 + 9k + 10) = 2k+ ((k + 2)(2k + 5)) = (k+2)(2k+)(2k+5) in cui l = vale per l ipotesi induttiva. Esercizio 11 pagina 0 a) Occorre trovare una formula, esaminando solo valori piccoli di n, per

6 n Per n = 1 la somma è 1, per n = 2 è, per n = la somma è 7 15, per n = 4 la somma è Quindi, la formula è 2n 1 2 n. b) Proviamo la formula trovata. Assumiamo che P(k) è vero per un generico intero k: k = 2k 1 2 k Dobbiamo dimostrare P(k+1) (il passo induttivo): k + 1 2k k+1 Consideriamo solo la parte sinistra dell equazione: ( k) k 1 2 k (2 k 1) k in cui l = vale per l ipotesi induttiva. 2 k k+1 Cosa è stato fatto 1. Teoria su dimostrazioni e prove 2. Esercizi su dimostrazioni e prove (esercizi da pagina 91 a pagina 92, numeri 7,16,17,28,41). Teoria su induzione 4. Esercizi su induzione (esercizi da pagina 29 a 0, numeri,5,11)