Il Principio di Induzione

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1 Il Principio di Induzione dott.ssa Angelica Malaspina Di.M.I.E., Università degli Studi della Basilicata, Italy Denotiamo con N = {0,, 2, 3,...} l insieme dei numeri naturali. Indichiamo con P n una proprietà dei numeri naturali, cioè una proposizione dipendente da un parametro n che a seconda del suo valore può essere vera o falsa. Esempi: P n : (n + ) 2 = n 2 + 2n + è vera per ogni n N. La proprietà: P n : n è un numero pari è vera ad esempio per n = 6, è falsa 3 ad esempio per n =. Talvolta per dimostrare una proprietà dei numeri naturali P n si adopera il cosiddetto: Principio di Induzione. Se una proprietà P n dipendente da un numero naturale n è vera per n = 0, cioè (i) P 0 è vera e se, supposta vera per un certo k 0, k N, risulta vera anche per il successivo k +, ovvero (ii) k N, k 0, P k vera P k+ vera allora P n è vera per ogni naturale n. Il punto (i) si denomina passo base, (ii) si denomina passo induttivo. Idea del funzionamento. Per il passo base P 0 è vera. Applichiamo (ii) con k = 0, cioè poichè P 0 è vera P è vera. Applichiamo (ii) con k =, cioè poichè P è vera P 2 è vera. Applichiamo (ii) con k = 2, cioè poichè P 2 è vera P 3 è vera. E così via. Metafora del domino. Il funzionamento del Principio di Induzione si può comprendere comparandolo ad un effetto domino.

2 Affinchè le tessere di un domino disposte in fila cadano tutte è sufficiente che siano verificate due condizioni: (i) che cada la prima tessera (il che equivale al passo base); (ii) che ogni tessera sia posizionata in modo che cadendo provochi la caduta della tessera successiva (il che equivale al passo induttivo). Dimostrazione del Principio di Induzione. La veridicità dell enunciato si basa sul fatto che ogni sottoinsieme di numeri naturali è dotato di minimo. Supponiamo per assurdo che esista almeno un naturale n 0 tale che P n sia falsa, cioè il sottoinsieme A = {n N / n 0, P n è falsa } non è vuoto. Sia h = min A. Per il passo base, h 0 perchè P 0 è vera. Quindi h > 0. Pertanto h 0 e per definizione di minimo, P h è vera. Ma la condizione (ii) applicata con n = h implica che P h è vera. Ciò contraddice il fatto che h sia il minimo di A. Variante. Il procedimento induttivo parte da un numero diverso da zero: (i) se P n0 è vera con n 0 N, n 0 ; (ii) se k N k n 0 P n0, P n0 +,..., P k sono vere P k+ è vera allora P n è vera per ogni naturale n n 0. Osservazione. Il Principio di Induzione permette di dimostrare rigorosamente una formula ottenuta in un altro modo, non fornisce nessuno strumento per trovarla. Applicazioni. Utilizzando il Principio di Induzione dimostrare le seguenti proposizioni: () i = i= n(n + ) 2 (somma di Gauss); Tale proprietà, intuitivamente evidente, può essere dedotta dagli assiomi di ordinamento. 2

3 (2) (3) i 2 = i= i= n(n + )(2n + ) ; 6 i 3 = n4 + 2n 3 + n 2 ; 4 (4) n, 2 n > n; (5) n, n < 0 n ; (6) n 4, 2 n < n! (fattoriale di n: 0! =, n! = 2... n, n N ); (7) (2i ) = n 2 ; i= (8) n, α >, ( + α) n ( + nα) (disuguaglianza di Bernoulli); (9) i= i(i + ) = n n + ; (0) n, α R, 0 < α <, ( α) n < () n 2, x k k= + nα ; x k, x, x 2,..., x n R (generalizzazione k= della disuguaglianza triangolare). Svolgimento (5). Se n =, allora < 0, quindi P è vera. Se P, P 2,..., P n sono vere allora dunque P n+ è vera. n + = n + n n (moltiplico e divido per n) < n + n 0n (passo induttivo: P n vera) < 0 n+ ( n + = + n n < 0) Svolgimento (0). Sia α (0, ) fissato. Se n =, allora ( α) < + α ( α)( + α) < α2 < α 2 < 0 3

4 quindi P è vera. Se P, P 2,..., P n sono vere allora Dunque P n+ è vera. ( α) n+ = ( α) n ( α) < ( α) + nα ( α)( + (n + )α) < + (n + )α + nα + nα (n + )α2 = + (n + )α + nα < + (n + )α + nα + nα = + (n + )α. Appendice Il simbolo di sommatoria. La sommatoria è un simbolo matematico che abbrevia, in una notazione sintetica, la somma di un certo insieme di addendi. La notazione prevede: una lettera sigma maiuscola: Σ che indica che si sta effettuando una somma di addendi; una lettera speciale chiamata indice di sommatoria (in genere si usano le lettere k, h, i, j, n, m); un espressione algebrica a destra di Σ in cui può comparire l indice della sommatoria; un intervallo di valori (interi) in cui può variare l indice da indicare sotto e sopra Σ. Il simbolo k si legge somma di k per k che va da a n k= ed indica k = n; k= k = è l indice iniziale da cui far partire la sommatoria e k = n è il valore finale. Se l indice di sommatoria k viene sostituito con una qualsiasi altra lettera, la sommatoria non cambia, ad esempio 4

5 k = k= i. Si dice che l indice di sommatoria è muto. Si possono effettuare anche dei cambiamenti di indice nelle sommatorie. Per esempio ponendo j = k + in si ottiene 9 k=0 9 k=0 i= k + 0 k + = j. Occorre modificare anche gli indici sotto e sopra il simbolo Σ. Se k = 0 allora j = 0 + =, k = 9 allora j = 9 + = 0. j= 5