2 per ogni n N +. k=1 a k) ( n. k=1 b k) n

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1 (ii) il prodotto di due irrazionali è irrazionale; (iii) la somma di un razionale e di un irrazionale è irrazionale; (iv) il prodotto di un razionale e di un irrazionale è irrazionale. 5. Siano a, b R. Provare ce se 0 < a < b allora 0 < a n < b n per ogni n N. 6. Provare ce: (i) n (n ) 4 (n )2 per ogni N con n; (ii) (n!) 2 = n = (n ) per ogni n N ; (iii) n n (n!) 2 ( ) n 2n 2 per ogni n N. 7. Siano a,..., a n, b,..., b n numeri reali. Denotiamo con {â } il riordinamento crescente e con {ă } il riordinamento decrescente della sequenza {a }, e similmente per {b }. Si provino le disuguaglianze seguenti: (i) n = ăˆb n = a b n = âˆb, (ii) n = ăˆb n ( n = a ) ( n = b ) n = âˆb. [Traccia: si può supporre ce {b } sia già riordinata in modo crescente. Consideriamo le due disuguaglianze di destra: per (i), si verifici ce se i < j e a i > a j, allora risulta a i b i a j b j < a j b i a i b j ; per (ii), si decomponga la quantità n,= (â â )(ˆb ˆb ) e si noti ce essa è non negativa. Le disuguaglianze di sinistra si ottengono applicando quelle di destra a {a } e a { b }.].7 La formula del binomio Per ogni n, N con n definiamo i coefficienti binomiali ( n ) (si legge n su ) nel modo seguente: n! =!(n )!. Si noti ce ( n ) = quando = n e quando = 0; negli altri casi si a n(n ) (n ) =,! 3

2 e questa espressione si presterà ad ulteriori generalizzazioni nel seguito del corso. Dalla definizione seguono subito queste proprietà: ( ) ( ) n n (simmetria) =, n (legge del triangolo di Tartaglia) = ( n Il triangolo di Tartaglia, qui sopra riprodotto, a tutti sui lati obliqui ed ogni suo elemento all interno è la somma dei due elementi ad esso soprastanti. Gli elementi del triangolo sono appunto i coefficienti binomiali: ( n ) si trova al posto -simo nella riga n-sima (cominciando sempre a contare da 0). La denominazione coefficiente binomiale nasce dal fatto ce questi numeri saltano fuori come coefficienti nella formula di Newton ce dà lo sviluppo del binomio (a b) n, formula ce adesso dimostreremo. Ricordiamo preliminarmente ce se x R \ {0} e n N, la potenza x n, il cui significato è comunque ovvio, andrebbe definita rigorosamente nel seguente modo: { x 0 = x n = x x n n N; se invece x = 0, si pone 0 n = 0 per ogni n N, mentre 0 0 non si definisce. Ciò posto, si a: Teorema.7. Se a, b R \ {0} e n N, si a (a b) n = =0 32 a b n. ).

3 Dimostrazione Utilizziamo il principio di induzione. Se n = la formula è vera percé ( ) ( ) a b = a 0 b a b 0 = b a. 0 Supponiamo vera la formula per un binomio di grado n e proviamola per un binomio di grado n. Si a (a b) n = (a b)(a b) n = (per ipotesi induttiva) = (a b) a b n = a b n a b n = = =0 =0 (ponendo = nella prima somma e = nella seconda) n = a b n a b n = =0 (isolando l ultimo addendo nella prima somma e il primo addendo nella seconda) = a n b 0 n = a 0 b n 0 a b n = = a n b n = = [ =0 a b n ( )] n a b n = (per la legge del triangolo di Tartaglia) n = a n b n a b n = a b n. = Per il principio di induzione la formula è vera per ogni n N. Osservazioni.7.2 () La formula del binomio vale più in generale per a, b R e n N, se in tale formula si conviene di interpretare il simbolo 0 0 come. =0 =0 (2) Scelti a =, b =, n N si ottiene 0 = ( ) n = ( ) n, 33

4 cioè ( ) = 0 n N. =0 (3) Scelti a =, b =, n N si ottiene = 2 n n N. =0 Questa uguaglianza a una interpretazione combinatoria: 2 n è il numero di sottoinsiemi distinti di un fissato insieme con n elementi (esercizio.6.7), mentre ( n ) è il numero di sottoinsiemi distinti aventi elementi di un insieme con n elementi (esercizio.7.2). Si tratta dunque di contare tutti i sottoinsiemi raggruppandoli per numero di elementi. (4) ( Un altro modo di enunciare la proprietà dell esercizio.7.2 è il seguente: n ) è il numero di modi in cui si possono sistemare palline indistinguibili in n scatole distinte, una per scatola: infatti ogni distribuzione di palline individua un sottoinsieme di scatole (sulle n complessive). In termini probabilistici si può ance dire: data un urna contenente palline biance e n palline nere, la probabilità dell evento ce consiste nell estrarre le palline biance nelle prime estrazioni (intesa come rapporto tra gli esiti favorevoli e gli esiti possibili) è pari a ( n ). Infatti, nella prima estrazione ci sono esiti favorevoli su n possibili, nella seconda su n, e così via, fincé nella -sima si a un solo esito favorevole su n possibili: dunque la probabilità ce l evento considerato si verifici è n n n = ( n ). Ad esempio la probabilità di fare 6 al Superenalotto è ( 90 6 ) = (qui le palline biance sono i 6 numeri prescelti e il simbolo significa circa uguale a ). 34

5 (5) Dalla formula del binomio segue subito la seguente disuguaglianza di Bernoulli: ( x) n nx x 0, n N (basta osservare ce tutti gli addendi nello sviluppo del binomio (x) n sono non negativi); una versione più generale di questa disuguaglianza è enunciata nell esercizio.7.5. Si può ance osservare ce risulta ( x) n nx n(n ) 2 x 2 x 0, n N. Esercizi.7. Provare ce: (i) (n) ( = n n ) per ogni n, N con n ; (ii) n = (n ) = n 2 n per ogni n N ; (iii) n = 2 (n ) = n(n ) 2 n 2 per ogni n N ; (iv) n ( m ) ( m= = n ) per ogni n, N con n. 2. Provare ce un insieme di n elementi a ( n ) sottoinsiemi distinti con elementi (0 n). 3. Calcolare la probabilità di fare un terno al lotto. 4. Calcolare la probabilità di fare 5 al Superenalotto. 5. (Disuguaglianza di Bernoulli) Provare ce risulta ( x) n nx x, n N. 6. Provare ce {( sup x ) n } : n N = x 0. n 2 [Traccia: utilizzare la disuguaglianza di Bernoulli.] 7. Si generalizzi la formula del binomio al caso di tre addendi. 35

6 8. Dimostrare per n N le seguenti formule: (i) =0 =0 ( n )( ) = 3 n, (ii) =0 =0 i=0 ( n )( )( ) = 4 n, i e trovare una formula analoga ce dia come risultato p n, ove p è un fissato numero naturale..8 Radici n-sime Proviamo adesso un altra conseguenza dell assioma di continuità, vale a dire l esistenza della radice n-sima di qualunque numero reale non negativo. Teorema.8. Sia n N. Per ogni numero reale a 0 esiste un unico numero reale r 0 tale ce r n = a; tale numero si ciama radice n-sima di a, e si scrive r = n a oppure r = a n. Dimostrazione Supporremo n 2, dato ce per n = la tesi è ovvia. Se a = 0, allora l unica soluzione dell equazione x n = 0 è il numero 0 in virtù della legge di annullamento del prodotto. Supponiamo dunque a > 0. Proviamo dapprima l unicità della radice n-sima. Se vi fossero due numeri r e ρ, entrambi non negativi ed entrambi soluzioni dell equazione x n = a, uno dei due, ad esempio ρ, sarebbe maggiore dell altro; ma da r < ρ segue (esercizio.6.5) ce a = r n < ρ n = a, il ce è assurdo. Dunque r = ρ e l unicità è provata. Per dimostrare l esistenza della radice n-sima, consideriamo l insieme A = {x 0 : x n < a} (ovviamente non vuoto, dato ce 0 A) e mostriamo: (a) ce A è limitato superiormente, (b) ce r = sup A è il numero ce stiamo cercando, ossia ce r n = a. Proviamo (a): se a, facciamo vedere ce il numero a è un maggiorante di A, mentre se 0 < a < facciamo vedere ce il numero è un maggiorante di A. Sia a : se per un x A risultasse x > a, moltiplicando questa disuguaglianza per x e per a avremmo x 2 > ax > a 2 ; essendo a, dedurremmo 36