SOMMARIO 1 Introduzione al calcolo delle probabilità 2. 2 Cenni di calcolo combinatorio 4

Transcript

1 SOMMARIO 1 Introduzione al calcolo delle probabilità La probabilità Legge empirica del caso: legge dei grandi numeri Proprietà additiva della probabilità Probabilità condizionata Eventi indipendenti 3 2 Cenni di calcolo combinatorio Principio fondamentale Operatore fattoriale: Permutazioni, disposizioni, combinazioni semplici Permutazioni semplici Disposizioni semplici Combinazioni semplici Coefficiente binomiale Permutazioni, disposizioni, combinazioni con ripetizioni Permutazioni con ripetizioni Disposizioni con ripetizioni Combinazioni con ripetizioni 6 1

2 1 Introduzione al calcolo delle probabilità Un avvenimento che, al realizzarsi di determinate condizioni, può verificarsi oppure no si dice casuale o aleatorio. Quando si realizza un esperimento basato sulla ripetizione di situazioni casuali per valutarne la possibilità di esito positivo o negativo, si chiama prova la singola esecuzione; si chiama spazio delle probabilità l insieme dei possibili risultati (da non confondersi con l insieme di tutte le prove effettuate!); si chiama evento un sottoinsieme dello spazio delle probabilità. Un evento si dice elementare quando è un insieme che contiene un solo elemento; si dice certo se coincide con lo spazio delle probabilità; si dice impossibile se coincide con l insieme vuoto. Nel corso dell esperimento si dirà che l evento A si è verificato se il risultato della prova coincide con un suo elemento. 1.1 La probabilità La definizione classica di probabilità p di un evento rappresentato dall insieme A nello spazio delle probabilità (che si assume come universo) ha la forma: p(a) = m n dove m rappresenta il numero di elementi di A (casi favorevoli) e n rappresenta il numero di elementi dello spazio delle probabilità (casi possibili). E immediatamente evidente che: 0 p(a) 1 con il valore 0 che indica un evento impossibile ed il valore 1 che indica un evento certo. Inoltre la somma della probabilità di un evento e quella dell evento contrario (cioè il caso che l evento non si verifichi) è sempre pari ad 1: come è ovvio, è certo che un evento accada oppure no Legge empirica del caso: legge dei grandi numeri Ricordando che la frequenza relativa di un evento aleatorio è il rapporto tra il numero di prove con esito positivo ed il numero di prove effettuate, pur essendo ciascuna prova regolata dalla definizione di probabilità precedentemente indicata, si ha che la frequenza relativa tende ad approssimare sempre meglio la probabilità dell evento al crescere del numero di prove effettuate. Questa è la cosiddetta legge dei grandi numeri (che non permette alcuna previsione sulla prossima prova, ma serve a dare informazioni su un ipotetico insieme infinito di prove) Proprietà additiva della probabilità Se si vuole valutare la probabilità che si verifichi uno qualsiasi di due eventi A (con probabilità p(a)) e B (con probabilità p(b)), si deve valutare l evento A B. La probabilità p(a B) è pari alla somma di p(a) e p(b) solo nel caso che A e B siano eventi incompatibili, cioè che non possano avvenire contemporaneamente. Infatti, se i due eventi fossero compatibili, la probabilità dell evento contemporaneo A B sarebbe computata sia tra i casi favorevoli di A che di B, venendo così conteggiata due volte. Quindi, in generale: p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Con ovviamente p(a B) = 0 per eventi incompatibili Probabilità condizionata La probabilità che si verifichi un evento A a condizione che si sia già verificato un secondo evento B si chiama probabilità condizionata di A rispetto a B e si indica come p(a B). E ovvio che la probabilità di A dato B ha senso solo se l evento B non è impossibile, quindi assumeremo sempre: p(b) > 0. 2

3 Sia n > 0 il numero di elementi dello spazio delle probabilità; sia m 0 il numero degli elementi di A e sia > 0 quello degli elementi di B. Infine, sia h 0 il numero degli elementi di p(a B) (evento dato dal verificarsi sia di A che di B). La condizione che B si sia verificato significa che i casi possibili non sono più tutti gli elementi dello spazio delle probabilità, ma solo i valori dell insieme B: a causa di questa condizione i casi favorevoli rimanenti sono solo gli h valori di A che prevedevano il verificarsi anche di B; quindi: p(a B) = h h = n n = p(a B) p(b) Dalla formula della probabilità condizionata si ricava immediatamente la regola della probabilità composta (probabilità del prodotto di due eventi): p(a B) = p(b) p(a B) = p(a) p(b A) Per chiarire l ultimo passaggio, si ricordi che ovviamente A B = B A Eventi indipendenti Nel caso particolare in cui la probabilità che si verifichi l evento A non è alterata dal verificarsi dell evento B, si dice che i due eventi sono indipendenti e si ha: p(a B) = p(a) p(a B) = p(a) p(b). E evidente che se A è indipendente da B allora B è indipendente da A. Infatti: p(a) p(b A) = p(b) p(a B) = p(a B) p(b A) = p(b) Per concludere, si può dire che per eventi indipendenti la proprietà della probabilità di somma di eventi diventa: p(a B) = p(a) + p(b) p(a) p(b) 3

4 2 Cenni di calcolo combinatorio "Quasi tutta la matematica classica, dall'algebra elementare alla teoria delle equazioni differenziali, è applicabile al mondo reale solo nell'ipotesi che questo sia costituito di oggetti e di eventi a carattere continuo. Però, in molte situazioni comuni in fisica e in chimica ed in altre scienze, si può parlare realisticamente solo di collezione di oggetti a carattere discreto, i quali agiscono in combinazione, un passo per volta; la matematica applicata a tali situazioni si chiama analisi combinatoria. Molti problemi di analisi combinatoria, tra i più interessanti, si sono presentati nella forma di ingegnosi indovinelli, a sfida di matematici e non matematici assieme: a prima vista, alcuni di essi possono sembrare addirittura frivolezze, eppure quasi tutti hanno delle applicazioni immediate ed importanti a problemi scientifici concreti " Gian Carlo Rota- Analisi combinatoria (Le Scienze Matematiche -UMI-Zanichelli, 1973) Principio fondamentale Se una scelta può essere fatta in n modi diversi per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere effettuata in m modi diversi e, per ciascuno dei modi in cui si sono compiute le prime due scelte una terza scelta può essere effettuata in modi diversi ecc., allora la successione di tutte le scelte può essere compiuta in n m modi diversi Operatore fattoriale: L operatore fattoriale è un operatore aritmetico (si applica ai numeri naturali) definito come segue: 0! = 1 (n + 1)! = (n + 1) In poche parole il fattoriale di un numero naturale n > 0 equivale al prodotto di tutti i numeri da 1 a n. 2.2 Permutazioni, disposizioni, combinazioni semplici Permutazioni semplici Sia n > 0; nel caso di un insieme di n elementi distinguibili ogni possibile loro numerazione da 1 a n è univoca; ciascuna numerazione si chiama permutazione (o permutazione semplice) e si indica con P n. Dimostriamo per induzione il seguente teorema: il numero di permutazioni di un insieme di n elementi distinguibili è P n = Se n = 1 allora la numerazione è ovviamente unica, cioè P 1 = 1!; posto che per n elementi le permutazioni siano, allora dimostriamo che per n + 1 elementi le permutazioni devono essere (n + 1)!. Si ha infatti che per i primi n elementi si hanno permutazioni; aggiungendo un elemento, questo può essere messo in ciascuna delle n + 1 nuove posizioni di ognuna delle permutazioni precedenti. Vale a dire che per ogni precedente permutazione ce ne devono essere altre n + 1 se si aggiunge un elemento: P n = P n+1 = (n + 1) = (n + 1)! Disposizioni semplici Sempre nel caso precedente di un insieme di n elementi distinguibili possiamo generalizzare il concetto di permutazione numerando non tutti gli n elementi dell insieme, ma quelli di ogni suo possibile sottoinsieme di elementi (con n); ciascuna numerazione si chiama disposizione semplice di n elementi di classe e si indica con D n,. In pratica, si tratta di calcolare in quante 4

5 maniere si possano disporre elementi scelti in ogni modo possibile tra n elementi distinguibili senza che siano possibili ripetizioni tra gli elementi. Dimostriamo il seguente teorema: il numero di disposizioni semplici di n elementi di classe è D n, = (n )! Infatti, fissata una particolare disposizione di elementi, per gli altri n deve valere che P n = (n )!. In definitiva si deve avere: D n, (n )! = P n = D n, = (n )! Combinazioni semplici Nella precedente trattazione ci siamo chiesti come disporre elementi scelti in un insieme di n elementi distinguibili; ma quanti sono i possibili sottoinsiemi di elementi (con n)? Ciascuno dei sottoinsiemi si chiama combinazione semplice di n elementi di classe e si indica con C n,. E importante notare che in questo caso stiamo calcolando il numero dei possibili sottoinsiemi che sono enti matematici non ordinati. Dimostriamo il seguente teorema: il numero di combinazioni semplici di n elementi di classe è C n, =!(n )! Infatti, fissato un particolare sottoinsieme di elementi, deve valere che P =!. In definitiva si deve avere: C n,! = D n, = Coefficiente binomiale (n )! C n, =! (n )! Il numero di combinazioni semplici di n elementi di classe che abbiamo calcolato è dato dal valore!(n )! rappresentabile anche col simbolo (n ) che si chiama coefficiente binomiale; il nome deriva dal fatto che tale coefficiente rappresenta il -esimo coefficiente dello sviluppo del binomio di grado n (seguendo l ordine del triangolo di Tartaglia). Si elencano alcune proprietà del coefficiente binomiale: Infatti: ( n 0 ) = 0! (n 0)! = = 1 ( n n ) = (0)! = = 1 ( n 1 ) = 1! (n 1)! = n ( n ) =! (n )! = (n )!! = (n )! [n (n )]! = ( n n ) ( n ) = (n + 1 ) ( n 1 ) 5

6 ( n + 1 ) ( n 1 ) = (n + 1)!! (n + 1 )! = = ( 1)! (n + 1)! (n + 1) (n + 1)! (n )! (n + 1)! (n )!! (n )! [ (n + 1) (n + 1) (n + 1) ] = 2.3 Permutazioni, disposizioni, combinazioni con ripetizioni Permutazioni con ripetizioni Nel caso di un insieme di n elementi tra i quali a i indistinguibili (con! (n )! = (n ) j=1 a j = n ) ogni possibile loro elencazione si chiama permutazione con ripetizioni e si indica con P n. Dimostriamo il seguente teorema: il numero di permutazioni con ripetizioni di un insieme di n elementi tra i quali a i indistinguibili è P n = j=1 a j! Infatti per ciascuna permutazione P n ce ne sarebbero altre ai se numerassimo ciascun gruppo di elementi a i rendendoli distinguibili. Quindi: P n a j! = P n = j= Disposizioni con ripetizioni j=1 a j! Sempre nel caso precedente di un insieme di n elementi distinguibili possiamo generalizzare il concetto di permutazione elencando non tutti gli n elementi dell insieme, ma facendo un elenco di elementi (con anche la possibilità di > n) ammettendo ripetizioni degli elementi; ciascuna numerazione si chiama disposizione con ripetizioni di n elementi di classe e si indica con D n,. In pratica, si tratta di calcolare in quante maniere si possano disporre in posti elementi scelti tra n elementi distinguibili accettando ripetizioni tra gli elementi. Dimostriamo per induzione il seguente teorema: il numero di disposizioni con ripetizioni di n elementi di classe è D n, = n Se = 1 allora le possibili elencazioni sono ovviamente n, cioè D n,1 = n 1 ; posto che per posti le disposizioni siano n, allora dimostriamo che per + 1 elementi le disposizioni devono essere n +1. Si ha infatti che per il + 1esimo posto si hanno ulteriori n disposizioni per ciascuna delle D n, disposizioni. Vale a dire che per ogni precedente disposizione ce ne devono essere altre n se si aggiunge un posto: D n, Combinazioni con ripetizioni = n D n,+1 = n n = n +1 Come in precedenza possiamo chiederci: quanti sono i possibili raggruppamenti di elementi (con anche la possibilità di > n) se in tali raggruppamenti si ammette la ripetizione di elementi? Si noti che questi raggruppamenti non sono ordinate ma non sono sottoinsiemi dell insieme di partenza, in quanto negli insiemi la ripetizione di un elemento non ha alcun valore. Ciascuno di 6

7 questi raggruppamenti si chiama combinazione con ripetizioni di n elementi di classe e si indica con C n,. Dimostriamo il seguente teorema: il numero di combinazioni con ripetizioni di n elementi di classe è C n, = ( n+ 1 ) Infatti, poiché l ordine non ha significato, possiamo idealmente pensare di dividere i elementi di ogni raggruppamento con n 1 barriere divisorie che separino gli elementi indistinguibili; a questo punto il problema è quello di calcolare le combinazioni semplici di + n 1 elementi di classe. Vale a dire: n + 1 C n, = C n+ 1, = ( ) 7