Correzione Esercitazione 1. Esercizio 1. La risposta alla domanda dell esercizio ci viene fornita dal coefficiente multinomiale. = n! k i!

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1 Correzione Esercitazione 1 Esercizio 1. La risposta alla domanda dell esercizio ci viene fornita dal coefficiente multinomiale ( n = n! k r k i! che ci dice in quanti modi possiamo mettere n oggetti in r scatole in modo che nella prima ce ne siano k 1, nella seconda k 2, etc. Nel nostro caso dunque, avremo n = 7 giochi, r = bambini, k 1 = giochi per il primo bambino e k 2 = k = 2 giochi per gli altri due. Il risultato quindi sarà: ( 7, 2, 2 = 7!!2!2! = 210. Esercizio 2. Il numero di tessere composte da due numeri diversi non ordinati è dato dal numero di combinazioni senza ripetizione di sette oggetti (i numeri da 0 a 6 due alla volta, cioè: ( 7 2. Per considerare anche le tessere aventi i due numeri uguali ci basta aggiungere sette tessere, una per ogni numero disponibile. Il totale sarà quindi: ( = = 28. Esercizio. Supponiamo per assurdo che A e B siano incompatibili. Avremmo quindi che: P(A B = P(A + P(B = = 1 12 > 1 che è impossibile. Possiamo quindi concludere che gli eventi A e B non sono incompatibili. 1

2 Esercizio 4. Svolgiamo i conti separatamente per i quattro punti dell esercizio. 1. Nel primo caso non abbiamo nessun vincolo: ci viene solo richiesto di disporre 8 persone distinte in 8 sedie. Il risultato dunque è dato dal numero di permutazioni di 8 oggetti, quindi è 8! = In questo caso invece ci viene richiesto che i 4 uomini e le 4 donne siano seduti vicini fra loro. Avremo quindi 4! modi di disporre gli uomini e 4! modi di disporre le donne; inoltre avremo 2 modi di disporre i gruppi di 4. Il risultato finale dunque sarà 4! 4! 2 = Se vogliamo che solo gli uomini siano obbligatoriamente vicini, oltre ai (4! 2 modi di disporre i gruppi di 4 calcolati nell esercizio precedente avremo 5 modi di disporre le 4 donne intorno al gruppo di uomini. Il risultato finale dunque sarà 4! 4! 5 = Infine ci viene chiesto in quanti modi possiamo disporre gli amici se vogliamo mantenere le coppie unite. In questo caso ci si riconduce alle permutazioni di 4 oggetti distinti, le 4 coppie, cioè 4! possibilità. Per ogni coppia però, dobbiamo considerare che i componenti possano scambiarsi di posto fra loro in 2 4 modi. Il risultato dunque sarà 4! 2 4 = 84. Esercizio 5. Consideriamo una famiglia E i di eventi disgiunti. 2

3 Vogliamo dimostrare che P( E i = P(E i. Notiamo prima di tutto che: P( E i = P( n E i E i = P( n E i +P( P( i=n+1 E i. i=n+1 Definiamo ora una famiglia di insiemi B k = i=n+1 i=k E i = n P(E i + Ei. Si avrà dunque che B k+1 B k, quindi ho una successione decrescente, per cui si avrà che P(B k 0. Consideriamo nuovamente la relazione precedente, ( da cui si ha: ( ( n P E i = lim P E i = lim P(E i + P(B n+1 n n P(E i + lim P(B n+1 = P(E i n che è proprio quello che volevamo dimostrare. = Esercizio 6. Questo esercizio può essere risolto in due modi, che vedremo separatamente. In entrambi i casi calcoleremo la probabilità complementare a quella richiesta, cioè la probabilità che si estraggano solo calzini spaiati. Il primo metodo consiste nel contare esplicitamente i modi che ho di estrarre i calzini. I modi possibili saranno e i modi favorevoli saranno , perchè a ogni estrazione devo togliere non solo il calzino estratto ma anche il suo

4 compagno. Il risultato quindi sarà = Alternativamente, consideriamo come casi possibili le combinazioni di 20 oggetti 4 alla volta, cioè ( Il numero dei casi favorevoli invece, sarà dato dal prodotto tra le possibili quaterne di calzini estratte da coppie diverse, cioè ( 10 4, moltiplicate per 2 4 modi di estrarre tali quaterne. Il risultato finale sarà lo ( stesso, ma nella forma 1 4 ( 20 4 = = Esercizio 7. Svolgiamo i calcoli separatamente per ogni punto dell esercizio. In tutti i punti, comunque, il numero di casi possibili è dato dal numero totale di mani di 5 carte estratte da un mazzo di 52 carte, cioè ( 52 5 = Contiamo i casi favorevoli, cioè le mani che contengono una coppia. Abbiamo 1 modi di scegliere il numero o la figura della coppia, ( ( 4 2 modi di scegliere i due semi della coppia, 12 modi di scegliere le altre carte della mano fra i 12 numeri o figure rimanenti e 4 modi di scegliere i semi di queste tre carte. In totale quindi, le mani che contengono una coppia saranno 1 (4 2 ( 12 4 = ; quindi la probabilità di avere una coppia servita è = Nel caso della doppia coppia, invece, abbiamo ( 1 2 modi di scegliere i due numeri o figure per le due coppie, (( modi di scegliere i semi per le due coppie, ( 11 1 modi di scegliere la quinta carta e 4 modi di scegliere il suo seme. In totale dunque 4

5 ( avremo: 1 (( = 12552, quinndi la probabilità di avere una doppia coppia servita sarà = Passiamo ora alle mani che contengono un tris. Avrò 1 modi di scegliere il numero o la figura che si ripeterà e ( 4 modi di scegliere i semi per il tris, avrò inoltre ( 12 2 modi di scegliere le due carte rimanenti e 4 2 modi di scegliere il loro seme. Il risultato dunque sarà 1 (4 ( 12 sarà = = e la probabilità 4. Per il colore, dobbiamo considerare le mani composte solo da carte dello stesso seme ma non in scala. Avremo quindi 4 modi di scegliere il seme e ( 1 5 modi di scegliere le 5 carte, a cui dovremo sottrarre le scale. Le scale sono 9 per ogni seme, quindi il numero di casi favorevoli è 4 [( ] = La probabilità di avere il colore servito dunque sarà = I full sono composti da un tris e una coppia, avremo quindi 1 modi per scegliere il numero o la figura per il tris e ( 4 modi per scegliere i tre semi, 12 modi per scegliere il numero o la figura per la coppia e ( 4 2 modi per scegliere i due semi. La probabilità di estrarre un full dunque è = Infine le scale dello stesso seme sono in tutto 6 (9 per ogni seme, quindi la probabilità richiesta è = Esercizio 8. Sia A i l evento la lettera i-esima viene inserita nella 5

6 busta corretta. P( n A i. La probabilità che dobbiamo calcolare quindi è Poichè gli A i non sono incompatibili, abbiamo che: P( n n A i = P(A i P(A i A j + P(A i A j A k + + i<j i<j<k ( 1 n+1 P(A 1... A n. n Poichè P(A i = 1 n, abbiamo che P(A i = 1. Per calcolare P(A i A j, ragioniamo nel modo seguente: se 1 n è i<j la probabilità che si verifichi A 1, la probabilità che si verifichi anche A 2 sarà 1 n 1 e avremo ( n 2 modi di scegliere coppie per cui i < j. La probabilità richiesta dunque sarà data da ( n 2 1 n(n 1 = 1 2!. Analogamente ricaviamo: P(A i A j A k = 1! i<j<k e, per induzione, P(A 1... A n = 1 n!. La probabilità richiesta, dunque, è data da: P( n A i = 1 1 2! + 1! + + ( 1n+1 1 n! che tende a 1 1 e =