PROBABILITA : TERNO AL LOTTO

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1 PROBABILITA : TERNO AL LOTTO Qual è la probabilità di fare un terno al lotto? Possiamo dare una valutazione di equiprobabilità degli eventi Casi possibili 90 5 Casi favorevoli Probabilità

2 PROBABILITA :GARA DI CORSA Marco e Luca partecipano ad una gara di corsa a cui si sono iscritti altri cinque concorrenti. Qual è la probabilità che Marco e Luca arrivino nei primi tre posti? Non avendo nessuna informazione circa la bravura dei concorrenti, possiamo ritenere tutti i risultati possibili equiprobabili e quindi la probabilità è (3 2)/(7 6) = 1/7

3 PROBABILITA : COMPLEANNI Qual è la probabilità che il compleanno di sei persone cada in maggio e settembre? I compleanni possibili sono 12 6 = I compleanni favorevoli = 62 Dunque la probabilità richiesta è (2 6-2)/12 6

4 PROBABILITA : CALZINI Possiedi 6 paia di calzini, 2 paia sono grigi e 4 paia sono neri. Li hai riposti separati e alla rinfusa in un cassetto. Quando ti alzi al mattino e ne prendi a caso due, che probabilità hai di ottenere un paio dello stesso colore? Per ottenere un paio dello stesso colore, o ne prendi due grigi o ne prendi due neri. La probabilità di prendere due grigi è (4 3)/(12 11) La probabilità di prendere due neri è (8 7)/ (12 11) La probabilità richiesta è (4 3)/(12 11) + (8 7)/ (12 11) = 68/132 = 17/33

5 PROBABILITA : ANCORA CALZINI Possiedi 6 paia di calzini di colori diversi. Li hai riposti separati e alla rinfusa in un cassetto. Quando ti alzi al mattino, ne prendi a caso quattro, che probabilità hai che ci sia almeno un paio completo? Conviene calcolare la probabilità dell evento negazione di quello richiesto, vale a dire l evento: Nessun paio è completo, i quattro calzini scelti sono spaiati

6 PROBABILITA :ANCORA CALZINI Per calcolare la probabilità dell evento nessun paio è completo, possiamo ragionare, ad esempio, in termini di estrazioni successive ed utilizzare la legge della probabilità composta: Prima estrazione: qualunque calzino estratto va bene, 12/12 Seconda estrazione: conoscendo l esito della prima, il calzino estratto per secondo deve essere di colore diverso al precedente; ci sono 10 calzini con questo requisito degli 11 che restano. (12/12) (10/11), proseguendo..

7 PROBABILITA CALZINI, CONTINUA. (12/12) (10/11), proseguendo.. Terza estrazione: conoscendo i colori dei primi due calzini estratti, il terzo calzino estratto deve avere un colore diverso dai due precedenti, ci sono 8 calzini dei 10 che restano con questo requisito (12/12) (10/11) (8/10), proseguendo. Quarta ed ultima estrazione estrazione: analogamente ai casi precedenti, abbiamo già tre colori estratti, il quarto calzino deve avere un colore diverso, quindi restano 6 calzini, dei 9 disponibili, che soddisfano alla richiesta La probabilità dell evento: tutti spaiati è (12/12) (10/11) (8/10) (6/9) = 24/33

8 PROBABILITA : CALZINI, CONTINUA. La probabilità dell evento almeno un paio dello stesso colore, è dunque 1-24/33 = 9/33 = 3/11 SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA: Avremmo potuto anche affrontare il problema, contando quanti sono i casi possibili, vale a dire in quanti modi puoi prendere 4 calzini dei 12 che hai nel cassetto. Valutando in termini di equiprobabilità, basterà contare i casi favorevoli, che conviene comunque considerare quelli in cui tutti i calzini sono spaiati, e fare quindi il rapporto tra numero casi favorevoli e numero casi possibili.

9 PROBABILITA : CALZINI, CONTINUA. SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA: Numero casi possibili: 12 4 Numero casi favorevoli (4 calzini spaiati): Probabilità dell evento tutti spaiati :

10 PROBABILITA : CALZINI, CONTINUA. SOLUZIONE PER VIA COMBINATORIA: Probabilità dell evento richiesto: almeno due calzini dello stesso colore :

11 PROBABILITA : ESERCIZI ESERCIZIO 1: Un gruppo di 12 persone, fra cui Paolo e Francesca, viene suddiviso a caso in tre gruppi ugualmente numerosi. Qual è la probabilità che: a) Paolo e Francesca facciano parte entrambi del primo gruppo; b) Francesca finisca nel primo gruppo e Paolo no; c) Paolo e Francesca finiscano in uno stesso gruppo.

12 PROBABILITA : ESERCIZI ESERCIZIO 2: Quando le cellule sono esposte a radiazioni, alcuni cromosomi si spezzano in due parti. La parte lunga è quella che contiene il centromero. Se due parti lunghe o due parti corte si riuniscono tra loro la cellula muore. Supponiamo che 10 cromosomi si siano spezzati e le parti così ottenute formino 10 nuove coppie a caso. Calcolare la probabilità che: a) Si riformi per ogni coppia la configurazione originale; b) tutte le parti più lunghe si accoppino con le parti più corte. c) sapresti generalizzare il problema ad n cromosomi?

13 PROBABILITA In due popolazioni biologiche A, B una certa caratteristica F è presente con probabilità rispettivamente 0.7, 0.4. La frequenza della popolazione A è 0.2, mentre quella di B è 0.8. Scegliendo a caso un individuo (non si sa da quale popolazione) calcolare: a) La probabilità che l individuo non abbia la caratteristica F; b) Sapendo che l individuo non presenta la caratteristica F, la probabilità che appartenga ad A

14 PROBABILITA Rappresentiamo con un grafo ad albero, quanto descritto nel problema: A B F NF F NF

15 PROBABILITA E richiesto di calcolare P(NF). L evento NF, si può avere sia in A che in B, vale a dire NF = (A NF) (B NF) Gli eventi A NF, B NF sono incompatibili, quindi per le regole di coerenza, si ha P(NF) = P(A NF) + P (B NF) Per la legge delle probabilità composte, si ha P (A NF) = P(A) P(NF A) = (0.2)(0.3) = 0.06 P(B NF) = P(B) P(NF B) = (0.8) (0.6) = 0.48 P(NF) = = 0.54

16 PROBABILITA E richiesto, inoltre, di calcolare P(A NF) Dalla definizione di probabilità condizionale: P(A NF) = P(A NF) / P(NF) Si è già calcolato P (A NF) = P(A) P(NF A) = (0.2)(0.3) = 0.06 P(NF) = 0.54 dunque P(A NF) = 0.06/0.54 = 6/54 = 1/9

17 PROBABILITA : FUMATORI In una data popolazione è noto che il 35% è fumatore abituale. E noto inoltre che il 5% dei decessi avviene a causa di un certo tipo di tumore. Infine si è constatato che tra quanti sono deceduti a causa di quel tipo di tumore, il 60% era fumatore abituale. Calcolare la probabilità che un fumatore abituale muoia di quel tipo di tumore. Indichiamo con F l evento il soggetto è fumatore abituale, la probabilità di F è P(F) = 0.35

18 PROBABILITA : FUMATORI Indichiamo con T l evento il soggetto muore di tumore, la probabilità di T è P(T) = 0.05 Quale evento ha probabilità 0.60? P(F T) = 0.60 La probabilità richiesta è. P(T F)

19 PROBABILITA : FUMATORI Ricorrendo alla definizione di probabilità condizionale, possiamo scrivere: P(T F) = P(T F)/P(F), possiamo calcolare P(T F)? P(T F) = P(T) P(F T) = (0.05) (0.6) =0.03 Per calcolare la probabilità richiesta, basta dividere 0.03 per 0.35 P(T F) = P(T F)/P(F) = 0.03 / 0.35 = 3/35

20 PROBABILITA : GEMELLI Due fratelli gemelli sono monocoriali con probabilità p (ed in tal caso hanno sicuramente lo stesso sesso) o dicoriali con probabilità 1-p (ed in tal caso hanno uguale sesso con probabilità 1/2) a) Qual è la probabilità che due gemelli abbiano lo stesso sesso? b) Se hanno lo stesso sesso, qual è la probabilità che siano monocoriali? SOLUZIONE: a) p + (1-p)/2 = ( p+1)/2 b) 2p/(p+1)