Definizione frequentistica di probabilita :

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1 Esperimenti aleatori un esperimento e l osservazione del verificarsi di qualche accadimento ( A ) che, a partire da determinate condizioni iniziali, porti ad un particolare stato delle cose finali se si ripete l esperimento nelle identiche condizioni iniziali, il risultato dovrebbe essere riproducibile a piacimento (determinismo della meccanica classica ) nella realta gli esperimenti, di precisione, non sono mai perfettamente riproducibili un esperimento si definisce aleatorio se il verificarsi di un risultato non è prevedibile a partire dalla conoscenza delle leggi fisiche e delle condizioni iniziali la probabilita e la valutazione della verosimiglianza che un fenomeno aleatorio ha di accadere Definizione classica (aprioristica) di probabilta : numero di casi in cui si ha l'evento favorevole N A PA ( ) = = numero casi totali N t nacque nell ambito dei giochi d azzardo e storicamente e la prima definizione di probabilita ma presuppone che gli eventi siano equiprobabili Definizione frequentistica di probabilita : numero di prove in cui si ha l'evento favorevole N PA ( ) = lim = lim Nt Nt numero prove totali N A t definizione introdotta, e molto usata, in ambito scientifico ma presuppone che le prove siano ripetibili a piacimento non si possono effettuare un numero infinito di prove anche effettuando un numero infinito di prove non e garantito che si pervenga al risultato corretto

2 Definizione soggettiva di probabilita : de Finetti (1930 ) e Savage nell ignoranza dei fatti la probabilita esprime il nostro grado di fiducia sulla verosimiglianza di una affermazione la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, ma di ricevere 0 se l'evento non si verifica. In aggiunta : le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa (criterio di coerenza). Es. : se si ritenesse che le probabilita' di vincita della propria squadra del cuore in un derby cittadino siano del 70% si dovrebbe essere disposti a puntare 70 euro sulla vincita della propria squadra per riceverne 100 in caso di vittoria della squadra e perdendo tutto in caso di sconfitta o pareggio la definizione soggettiva di probabilita permette di superare i limiti delle due precedenti definizioni in quanto consente di calcolare la probabilità di eventi anche quando gli eventi elementari non sono equiprobabili (definizione classica) e quando l'esperimento non può essere ripetuto (definizione frequentistica) ma introduce un livello di arbitrarieta dato che e fondata sull'opinione di singoli individui, che potrebbero avere propensioni al rischio molto diverse tra loro e la definizione soggettiva di probabilita e basata sulla nozione di gioco equo e sulla di speranza di vincita

3 Risultati elementari ed eventi esempio del lancio del dado: i risultati elementari a i possibili nel lancio di un dado ( o eventi elementari ) sono sei : esce la faccia 1 {1}, esce la faccia 2 {2} esce la faccia 6 {6} sintetizzando : a i = esce la faccia i per i = 1,2,,6 Eventi = insiemi di risultati ad es. un evento b potrebbe essere : {esce un numero pari} {2,4,6} Evento certo ( S ) = insiemi di tutti i risultati possibili esce la faccia 1, o la faccia 2, o la faccia 3, o la quattro, o la cinque, o la sei S {1,2,3,4,5,6} Evento vuoto ( ) o evento impossibile = insieme complemento di S

4 Nota Bene : l insieme di tutti i risultati possibili e la probabilita di ogni evento sono specifici ad ogni determinato esperimento Lancio di un dado equo ( risultati elementari equiprobabili ) Lancio di due dadi equi ( risultati elementari equiprobabili ) Insieme di tutti i possibili risultati elementari Insieme di tutti i possibili risultati elementari ( 1 ); ( 2 ); ( 3 ); ( 4 ); ( 5 ); ( 6 ) ( 1, 1 ); ( 1, 2 ); ( 1, 3 ); ( 1, 4 ); ( 1, 5 ); ( 1, 6 ) ( 2, 1 ); ( 2, 2 ); ( 2, 3 ); ( 2, 4 ); ( 2, 5 ); ( 2, 6 ) ( 3, 1 ); ( 3, 2 ); ( 3, 3 ); ( 3, 4 ); ( 3, 5 ); ( 3, 6 ) ( 4, 1 ); ( 4, 2 ); ( 4, 3 ); ( 4, 4 ); ( 4, 5 ); ( 4, 6 ) ( 5, 1 ); ( 5, 2 ); ( 5, 3 ); ( 5, 4 ); ( 5, 5 ); ( 5, 6 ) ( 6, 1 ); ( 6, 2 ); ( 6, 3 ); ( 6, 4 ); ( 6, 5 ); ( 6, 6 ) Eventi: coincidono con i risultati elementari Eventi: somma dei risultati del lancio di due dadi 1; 2; 3; 4; 5; 6 2 = ( ) 3 = ( ); (2 +1 ) 4 = ( ); ( 2+ 2 ) ; (3 +1 ) 5 = ( ); ( ) ; (3 +2 ); ( ) 6 = ( ); ( ); ( ); ( 4 + 2) ;( ) 7 = ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ) 8 = ( ); ( ) ; ( ); ( ) ; ( ) 9 = ( ); ( ) ; ( ); ( ) 10 = ( ); ( ) ; ( ) 11 = ( ); ( ) 12 = ( )

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6 Definizione assiomatica di probabilita : assiomi di Kolmogorov : 1) 2) PA ( ) 0 PS ( ) = 1 la probabilita e un numero reale positivo A PA ( ) = 0 PA ( ) = 0 attenzione : e vero che se ma NON e vero che se la probabilita dell evento certo e uguale ad uno attenzione : e vero che se A S PS ( ) = 1 ma NON e vero che se ( ) 1 A PA= A S 3) PA ( o) B = PA ( ) + PB ( ) PAeB ( ) P( A o B ) e la probabilita che avvenga o l evento A, o l evento B, o tutti e due gli eventi Probabilita condizionale: PA ( / B) = PA ( e B) PB ( ) o equivalentemente PB ( / A) = PA ( e B) PA ( ) Eventi incompatibili ( mutuamente escludentesi ): se avviene A non puo avvenire B e viceversa se l evento (A e B) non puo avvenire (A e B) e l evento vuoto e P (A e B ) = 0 Eventi indipendenti: PA ( / B) = PA ( ) PB ( / A) = PB ( ) in altri termini, se si ha PA ( due eventi sono indipendenti se o e B ) = PA ( ) PB ( ) attenzione a non confondere i concetti di indipendenza ed incompatibilita

7 Esercizio Un tiratore ha probabilita di fare centro al primo colpo. Se prende l autobus per recarsi al poligono di tiro quale sara la probabilita totale di ricevere un biglietto dell autobus con un numero pari oppure di fare centro al primo colpo? {Evento A} = centro al primo colpo p A = {Evento B} = biglietto con numero pari p B = 1 2 = 0.5 dagli assioni di Kolmogorov pa ( o B) = pa ( ) + pb ( ) pa ( e B) i due eventi sono indipendenti tra loro quindi pa ( e B) = pa pb percio : p = pa ( o B) = p + p pp T A B A B p = ( ) = T

8 Teorema della probabilita assoluta o delle probabilita totali gli eventi a i costituiscono una partizione di S se a a = i j 0 e n i= 1 a i = S se B e un qualsiasi evento dello spazio S n PB ( ) = Pa ( ) PB ( / a) i= 1 i i esempio: nel lancio del dado S = {1,2,3,4,5,6} a i = esce la faccia i per i = 1,2,,6 chiaramente gli a i costituiscono una partizione di S se l evento B fosse : {esce un numero pari} P(B) = P(1)P(pari/1) + P(2)P(pari/2) + + P(6)P(pari/6) = 1\ / /6. 1 = 3/6 = 1/2

9 Esercizio Un dispositivo A ha probabilità di guastarsi del 6% e un dispositivo B, ad esso collegato, ha lprobabilità di guastarsi del 5% se A non è guasto e del 3% se A si guasta. Calcolare la probabilità che in un certo momento: 1) i due dispositivi si guastino contemporaneamente; 2) almeno uno sia guasto; 3) sia guasto uno soltanto; 4) non vi sia alcun guasto. Eventi A = { dispositivo A guasto } B = { dispositivo B guasto } A N = { dispositivo A non guasto} B N = { dispositivo B non guasto } in termini di diagammi di Venn Prob. che si rompa A P( A ) Prob. che si rompa B P( B ) Prob. che NON si rompa A P( A ) Prob. che NON si rompa B ( ) P B Prob. che si rompa B se A rotto P( B A ) dati forniti dal testo : - le probabilita condizionate e - la probabilita P (B / A ) = 0.05 P (B / A ) = 0.03 N P (A ) = 0.06 assioma di normalizzazione P (A N) = 1 P(A ) = 0.94 probabilita che : 1) i due dispositivi si guastino contemporaneamente ( B ) P A ( ) = ( ) ( ) definizione di prob. condizionata: P A B P B A P A = = ) almeno uno sia guasto 3) sia guasto uno soltanto ( B ) P A ( ) ( ) P A B P A B terzo assioma di Kolmogorov = P( A) + P( A) P( B A) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = = = ) non vi sia alcun guasto ( ) S P A B secondo assioma di Kolmogorov ( di normalizzazione ) = =

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