( ) ( ) Ω={1,2,3,4,5,6} B B A Siano A e B due eventi di Ω: si definisce evento condizionato B A. Consideriamo il lancio di un dado:

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1 Eventi condizionati Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi sia subordinato al verificarsi di altri eventi, si è soliti distinguere tra eventi dipendenti(o condizionati ) e eventi indipendenti Siano A e B due eventi di Ω: si definisce evento condizionato B A Consideriamo il lancio di un dado: Ω={1,2,3,4,5,6} L evento B si verifica dato che si è verificato l evento A Qual è la probabilità che lanciando un dado sia uscito 5 sapendo che il risultato è un numero dispari? [evento B condizionato all evento A] B P B ( ) ( ) B A P B A

2 Probabilità condizionate P(B A)= n. dei casi favorevoli a (B A) n. dei casi favorevoli a A Ω A 5 B 6 C Numeri dispari P(B A) P(B A) = = P(A) 1/6 1/2 Si definisce probabilità condizionata di A dato B il rapporto tra la probabilità dell evento (A B) e la probabilità dell evento B Le probabilità devono essere ridefinite alla luce dell evento il risultato è un numero dispari (A) e riscalate in modo da ottenere somma 1 (evento certo)

3 Principio delle probabilità composte Dati 2 eventi compatibili A e B tali che P(A)>0 e P(B)>0 P (A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di B non influenza la probabilità di A e il verificarsi di A non influenza la probabilità di B P (A B) = P(A) P(B A) = P(B) Da ciò si ricava che: P A B = P A P B ( ) ( ) ( ) La probabilità dell evento intersezione A B, con A e B compatibili e indipendenti, è uguale al prodotto delle probabilità di A e B

4 Esempio (eventi dipendenti) Un urna contiene 4 biglie bianche e 2 biglie nere. Si estraggono senza reimmissionedue biglie. Qual è la probabilità che entrambe le biglie siano di colore bianco? L estrazione della prima biglia modifica lo spazio campionario B 1 = prima biglia bianca B 2 = seconda biglia bianca ( ) ( ) ( ) P B1 I B2 = P B1 P B2 B1 = = % Probabilità di estrarre una pallina bianca Probabilità di estrarre una pallina bianca dato che la prima pallina è bianca

5 Esempio (eventi indipendenti) In una gara di tiro al bersaglio il signor Rossi centra mediamente 3 bersagli su 5 tiri. Su due tiri qual è la probabilità che: a) Centri due bersagli b) Non centri alcun bersaglio c) Centri un bersaglio d) Centri almeno un bersaglio La probabilità di far centro è data da casi favorevoli sui casi possibili: E = centro il bersaglio => P(E) = 3/5 a) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 ) = (3/5) (3/5) = 9/25 b) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2 ) = (2/5) (2/5) = 4/25 c) P(E 1 E 2 ) P(E 1 E 2 ) = (3/5) (2/5) + (2/5) (3/5) = 12/25 d) [P(E 1 E 2 ) P(E 1 E 2 )] P(E 1 E 2 ) = (12/25) + (9/25)

6 Estrazione con e senza reimmissione Supponiamo di avere un urna con N palline numerate 1 La probabilità di estrarre una pallina è costante e pari a N Il reinserimento dopo l identificazione ricrea a ogni estrazione la situazione di partenza (eventi indipendenti) La probabilità di estrarre una pallina varia ad ogni estrazione e dipende dai risultati precedenti Il non reinserimento dopo l identificazione modifica a ogni estrazione la situazione di partenza (eventi dipendenti) Supponiamo di estrarre senza reimmissionedue palline da un urna che contiene 3 palline bianche e 7 nere. Qual è la probabilità di: 1) Estrarre una pallina bianca e una pallina nera 7 3 P ( N1I B2 ) = P ( N1) P ( B2 N1) = = , 23 2) Estrarre due palline dello stesso colore ( I ) U ( I ) P N N P B B = + = ,53

7 Assiomi della probabilità condizionata Le regole in base alle quali si calcola la probabilità che un evento si verifichi devono valore anche per gli eventi condizionati: Postulato 1 [ ] P E A 0 Postulato 2 P [ A] Ω = 1 Postulato 3 P ( E ) 1 E2 A = [ ] [ ] = P E A + P E A 1 2 (E 1 e E 2 sono incompatibili)

8 Altre proprietà delle probabilità condizionate Per gli eventi condizionati valgono le stesse proprietà viste per gli eventi elementari: 1) Probabilità dell evento contrario [ ] P E H = 1 P E H 2) Probabilità dell evento differenza ( ) = [ ] ( ) P E E H P E H P E E H ) Probabilità dell evento unione (probabilità totali) ( ) = [ ] + [ ] ( ) P E E H P E H P E H P E E H

9 Esercizio In un cassetto ci sono 10 lampadine di cui 6 funzionanti e 4 esaurite. Dal cassetto vengono prese a caso (in sequenza) 3 lampadine. Qual è la probabilità che le lampadine siano: a) Tutti e tre funzionanti b) Tutte e tre esaurite c) Due funzionanti e una esaurita d) Almeno una funzionante a) P(L 1 L 2 L 3 ) = P(L 1 ) P(L 1 L 2 ) P(L 2 L 2 L 3 ) = b) P(L 1 L 2 L 3 ) = P(L 1 ) P(L 1 L 2 ) P(L 2 L 2 L 3 ) = = = c) P(L 1 L 2 L 3 ) P(L 1 L 2 L 3 ) P(L 1 L 2 L 3 ) = = d)??? (la soluzione è 97%)

10 Probabilità condizionate su dati osservati (1) E possibile calcolare le probabilità condizionate anche a partire da dati osservati. Riprendiamo l esempio sull acquisto della TV: Acquisto Pianificato Acquisto Effettivo SI NO Totale SI NO Totale Qual è la probabilità che l acquisto della TV è stato effettuato nei 12 mesi dato che è stato pianificato? P(acquisto effettuato acquisto pianificato) = n soggetti che hanno pianificato ed effettuato l acquisto = = n n totale di soggetti che hanno pianificato l acquisto 11 /n 1.

11 Probabilità condizionate su dati osservati (2) Abbiamo detto che calcolare la probabilità condizionata significa riscalare la probabilità relativa all evento dipendente P(acquisto effettuato acquisto pianificato) = = P(a. effettuato e pianificato) / P(a. pianificato) = = (n 11 / n)/(n 1. / n) = (200/1000)/(250/1000)=200/250 La probabilità che un soggetto abbia acquistato una nuova TV dato che aveva pianificato l acquisto è pari a 0,8 (80%) Qual è la probabilità che la TV è stata acquistata dato che l acquisto non era stato pianificato? Qual è la probabilità che la TV non è stata acquistata dato che l acquisto era stato pianificato?

12 L albero delle decisioni Leggere la tabella può rivelarsi talvolta complicato, e allo stesso tempo è facile confondere le differenti combinazioni di eventi. Un modo diverso di rappresentare i dati è il cosiddetto albero delle decisioni C Acquisto pianificato ed effettuato(a C) SOGGETTI INTERVISTATI A B D C Acquisto pianificato e non effettuato(a D) Acquisto non pianificato e d effettuato(b C) D Acquisto non pianificato e non effettuato(b D)

13 Ad un gruppo di 173 studenti, suddiviso per genere, è stato chiesto qual è il loro atteggiamento verso il fumo Maschi Femmine Totale Fumatore Non Fumatore Totale C Maschio Fumatore (A C) A STUDENTI B D C Maschio non Fumatore(A D) Femmina Fumatrice (B C) D Femmina non Fumatrice(B D)

14 INDIPENDENZA STATISTICA Nell es. dei televisori: La probabilità per un soggetto di acuistarlo è pari a 0.3. Ma la stessa probabilità sale a 0.8 se condizionata al fatto che il soggetto ha pianificato l acquisto. La conoscenza a priori (in questo caso rappresentata dalla previsione di acquisto) influenza la probabilità. Esiste il caso diametralmente opposto:

15 Indipendenza in probabilità (o stocastica) DUE EVENTI EE FSONO INDIPENDENTI SE IL VERIFICARSI DELL UNO NON ALTERA LA PROBABILITA DELL ALTRO P( E F) = P( E ) l evento E è stocasticamente indipendente da F Tale interpretazione è coerente con la definizione di prob. Condizionata ( ) P( E F)= P E F P F ( ) P( E)* P( F) P( F) Il fatto che uno studente sia fumatore dipende o meno dal genere? = P( E)

16 VERIFICA DELL INDIPENZA SUPPONIAMO I DATI SIANO: Acquisto Pianificato Acquisto Effettivo SI NO Totale SI NO Totale P(ACQUISTO EFFETTIVO/ACQUISTO PIANIFICATO)= 75/1000: 250/1000=0.30 CHE COINCIDE CON LA PROBABILITA MARGINALE DELL ACQUISTO