Tutorato 1 (20/12/2012) - Soluzioni

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1 Tutorato 1 (20/12/2012) - Soluzioni Esercizio 1 (v.c. fantasia) Si trovi il valore del parametro θ per cui la tabella seguente definisce la funzione di probabilità di una v.c. unidimensionale X. X P(x) 1/2 θ 2θ 1. Si calcolino P(0,5<X<2,5) e P(X>2,1). 2. Si calcolino il valore atteso e la varianza della v.c. 3. Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X. La funzione p(x) rappresenta la funzione di probabilità di una v.c. X. Deve valere P(X = x) = 1 e P(X = x) 0 x. Quindi θ = 1/6. X P(x) ½ 1/6 2/6 2 x = 0 1. P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=½ P(X>2,1)=0. 2. E(X)=0+1/6+4/6=5/6 Var(X)=E(X 2 ) E(X) 2 =3/2 (5/6) 2 =29/36=0.81, essendo E(X 2 ) =0+1/6+8/6=3/2. 3. La funzione di ripartizione della v.c. X è data da: (x) = P(X x) da cui: Φ X 0 x < 0 0,5 0 x < 1 ( x) = 0,667 1 x < 2 1 x 2 Φ X

2 Esercizio 2. Un sintomo S è riconducibile a tre patologie M 1, M 2 e M 3 a due a due incompatibili. Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la malattia M h è pari a h / 10 (h = 1, 2, 3), 1. si calcoli la probabilità di avere almeno una delle patologie, motivando la risposta; 2. dopo aver fornito la definizione di indipendenza di tre eventi, si stabilisca se i tre eventi M 1, M 2 e M 3 sono indipendenti. Sapendo, inoltre, che la probabilità che il sintomo S si manifesti in un soggetto affetto dalla malattia M h è pari a 1 / (h + 2), 3. si calcoli la probabilità di manifestazione del sintomo S, motivando la risposta; 4. si determini la probabilità che un individuo abbia la patologia M 2 dato che presenta il sintomo S, motivando la risposta; 5. data la presenza del sintomo S, qual è la malattia più probabile? (Si motivi la risposta). Un sintomo S è riconducibile a tre patologie M 1, M 2 e M 3 a due a due incompatibili. Sapendo che la probabilità che un individuo abbia la malattia M h è pari a h / 10 (h = 1, 2, 3) 1. P(M 1 M 2 M 3 ) = P(M 1 ) + P(M 2 ) + P(M 3 ) = ( ) / 10 = 3/5 = 0.6 per il terzo assioma di Kolmogorov (si veda pag.85 del libro di testo). 2. Per la definizione di indipendenza tra eventi si veda il libro di testo a pag.102. I tre eventi M 1, M 2 e M 3 non sono indipendenti, infatti basta dimostrare, per esempio, che: P (M 1 M 2 )= 0 P(M 1 ) P(M 2 ). Sapendo, inoltre, che P(S M h ) = 1 / (h+2), 3. P(S) = P(S M h ) P(M h ) = [h / (h+2)] / 10 = (1/3 + 2/4 + 3/5) / 10 = per la legge delle alternative (pag. 99 del libro di testo). 4. P(M 2 S) = P(S M 2 ) P(M 2 ) / P(S) = (1/20) / = per la formula di Bayes. 5. M 3, dato che P(M h S) = P(S M h ) P(M h ) / P(S) è massima per h = 3. Esercizio 3. Da un mazzo di 52 carte quanti modi possibili ci sono di scegliere 5 carte? Con la formula delle combinazioni otteniamo: C(52,5) =52!/(47!5!)= Esercizio 4. Si consideri un insieme di 11 studenti composto da 5 ragazzi e 6 ragazze. 1. In quanti modi diversi si possono sistemare in una fila di 11 sedie gli 11 studenti?

3 2. In quanti modi diversi si possono sistemare in una fila di 11 sedie gli 11 studenti, con la condizione che i ragazzi stiano tutti vicini tra loro così come anche le ragazze e che la prima sedia sia occupata da una ragazza? 1. Calcoliamo le permutazioni = k! = 11!= ! 5!= Esercizio 5. Da un urna contenente 44 palline, delle quali 11 sono bianche, si estraggono con reinserimento 3 palline. 1. Si calcoli la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca. 2. Si determini la probabilità che, fra le tre palline estratte, una sia bianca e le altre due non siano bianche. 3. Si calcoli la probabilità che almeno una delle tre palline estratte sia bianca. 1. La probabilità che la prima pallina estratta sia bianca coincide con la proporzione p di palline bianche nell urna: p = 11 / 44 = ¼ = Sia A = {una pallina della terna è bianca e le altre due non lo sono} Sia B i l evento elementare {pallina bianca nell estrazione i} allora A= B B v 1B B v e quindi P(A)= P( B )+P( B v 1B )+P( B v ) essendo le terne incompatibili. Per l indipendenza delle singole estrazioni (essendo con reimmissione) si a P( B )=P( B v 1B )=P( B v )p(1 p) 2 da cui P(A) 3p(1 p) 2 = (3/4) 3 = Si ottenga il risultato precedente utilizzando la definizione classica di probabilità calcolando quindi il rapporto tra il numero delle possibili terne con una pallina bianca e il numero delle terne possibili.

4 Si ottenga il risultato anche utilizzando la distribuzione binomiale essendo il numero delle palle bianche nel campione una Bin(p=0.25,n=3) 3. Sia D l evento almeno una delle tre palline estratte è bianca e C =BBB. Allora P(D)=P( C v ) =1 P(C) e quindi P(D) =1 (1 p) 3 = 1 (3/4) 3 = Esercizio 6. Sapendo che A, B e C sono tre eventi tali che P(A) = 0.6, P(B) = 0.65, P(C) = 0.5, P(A B) = 0.55, P(A C) = 0.4, P(B C) = 0.9 e P(B A C) = 0.875, 1. si calcolino P(A B) e P(B A); 2. si stabilisca se A e B sono incompatibili, motivando la risposta; si ripeta l esercizio per gli eventi A e C 3. si stabilisca se A e B sono indipendenti, motivando la risposta; si ripeta l esercizio per gli eventi A e C 4. si calcoli P(C B); 5. si calcoli P(A B C). 1. Si ricordi che P(A B) = P(A B) / P(B) per definizione di probabilità condizionata dell evento A all evento B. Si ottiene quindi P(A B) = P(A B) / P(B) = 0.55/0.65 = Analogamente per P(B A) si ha: P(B A) = P(A B) / P(A) = 0.55/0.6 = 0.917; 2. A e B non sono incompatibili. Infatti se A e B fossero incompatibili allora A B= per definizione di eventi incompatibili. Si avrebbe dunque che P(A B) = P( ) = 0 ma P(A B) = 0.55 e quindi A B Il lettore si accerti di saper verificare che P( ) = 0 (si veda libro di testo pag. 85) 3. A e B non sono indipendenti. Infatti se A e B fossero stocasticamente indipendenti allora P(A B)=P(A)P(B) per definizione di indipendenza stocastica (paragrafo 3.5 libro di testo). Ma dai dati dell esercizio si ottiene P(A)P(B)= = = P(A B). 4. Per determinare la probabilità ricercata si consideri che

5 P(C B) P(C) 0.5 P (C B) = = P(B C) = 0.9 = P(B) P(B) 0.65 Nella prima uguaglianza è stata applicata la definizione di probabilità condizionata, mentre nella seconda il principio della probabilità composta (pag del libro di testo). La prima uguaglianza potrebbe essere rimossa applicando il teorema di Bayes (pag del libro di testo) al caso particolare di un unica causa C ottenendo direttamente P(C) 0.5 P (C B) = P(B C) = 0.9 = P(B) Per determinare P(A B C) si ponga per comodità A C = E e quindi B E = A B C per la commutatività e l associatività dell intersezione fra insiemi (si veda libro di testo paragrafo 2.2). Si ottiene dunque: P(A B C) = P(B E) = P(B E) P(E) = P(B A C) P(A C) = =0.35.