Probabilità e Statistica per l Informatica Esercitazione 4

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1 Probabilità e Statistica per l Informatica Esercitazione 4 Esercizio : [Ispirato all Esercizio, compito del 7/9/ del IV appello di Statistica e Calcolo delle probabilità, professori Barchielli, Ladelli, Posta.] Sia X una variabile aleatoria con densità continua: c x x [, ] f X (x) altrove a) Determinare la costante c, E[ X ], E[X]. b) Determinare la funzione di ripartizione di X. c) Determinare la legge di X e riconoscerla. d) Calcolare P (X X /3). e) Calcolare la varianza di X. a) Dev essere f X (x) per ogni x R e f R X(x) + c x dx. Da cui si ottiene c. Inoltre, per parità della funzione di densità, E[X] E[ X ] + + x x dx x dx + x dx 3 b) Per definizione F X (x) P (X x) x f X(t)dt. Dunque x < x x ( t)dt x F X (x) + x +x tdt x x c) Calcoliamo innanzitutto la funzione di ripartizione di Y X, ovvero F Y (y) : P (Y y). Poiché la densità di X ha supporto in [, ], quella di Y ha supporto in [, ]. Dunque F Y (y) per ogni y < e F Y (y) per ogni y >. Per y [, ] si ha invece La densità f Y F Y (y) P (X y) P ( y X y y) xdx y uniforme sull intervallo [, ]. di Y è dunque la funzione f Y (y) I [,] (y), cioè si tratta della densità

2 d) Abbiamo P (X X /3) P (X, X /3) P (X /3) F X() F X ( / 3) F Y (/3) P ( / 3 X ) P (X /3) ( /3) 3 / /3 /3 e) Nei punti precedenti abbiamo trovato E[X] e, dal momento che X è distribuita come un uniforme su [, ], dev essere E[X ] /. Infine V ar(x) E[X ] E [X] Esercizio : In base all orario ufficiale delle Ferrovie dello Stato il treno Lecco-Milano delle ore 4.45 arriva nella stazione di Milano Centrale alle ore 5.3. Ma qualche volta subisce ritardi. Il ritardo espresso in minuti può essere modellato come una variabile aleatoria X assolutamente continua con densità uniforme sull intervallo [, 6]. a) Qual è la probabilità che il treno arrivi entro le ore 5.33? b) Qual è la probabilità che il treno abbia più di 5 minuti di ritardo sull orario previsto? c) Qual è la probabilità che il treno subisca un ritardo maggiore di minuti sull orario previsto, se alle 5:36 ancora non è a Milano Centrale? La densità della variabile X è x 6 6 f X (x) altrove a) Si chiede P (X 3): P (X 3) 3/6 /. b) P (X > 5) 5/6 55/6 /.967. c) Si chiede P (X > X > 6) P (X > ) P (X > 6) /6 6/6 49/ (Confrontate questo risultato con quello del punto precedente: al punto b), abbiamo la probabilità che il treno abbia più di 5 minuti di ritardo, al punto c), la probabilità che accumuli ulteriori 5 minuti di ritardo, se ne ha già più di 6).

3 Esercizio 3: La seguente funzione F (x) è una funzione di ripartizione? (Giustificare adeguatamente la risposta). x < F (x) x + 3 x x > Esercizio 4: Sia F definita come segue: x λ x > F (x) x a) Determinare per quali valori di λ la F è una funzione di ripartizione. b) Sia ora X una variabile aleatoria con funzione di ripartizione F. Determinare per quali valori di λ la X ammette media e varianza. c) Determinare la densità di Y ln(x). d) Sia ora λ /3; supponiamo che Y rappresenti la durata, in anni, di un certo tipo di batterie xxx. Determinare la probabilità che una batteria xxx duri più di due anni, e la probabilità che duri più di due ulteriori anni, se è in funzione già da tre anni; infine calcolare il valore atteso e la varianza di Y. a) Dal momento che F deve essere non decrescente, continua a destra e devono valere lim x + F (x) e lim x F (x), necessariamente deve essere λ >. b) Derivando la F, otteniamo la densità di probabilità di X: λx (λ+) x > f(x) x Affinché X ammetta valore atteso deve convergere l integrale xf(x)dx λx λ dx e ciò succede se e solo se λ >. Analogamente si ottiene che l integrale x f(x)dx λx λ+ dx converge se e solo se λ >. Dunque X ammette media se λ > ; se vale anche λ >, la variabile X ammette media e varianza. 3

4 c) Sia Y ln(x). Per determinarne la densità, ne calcoliamo prima la funzione di ripartizione F Y : per ogni y R F Y (y) P (Y y) P (ln(x) y) P (X e y ) F X (e y ) se e y < y (e y ) λ e λy se e y > y > Infine, derivando F Y (y), troviamo f Y (y) λe λy I (,+ ) (y), che è la densità di una v.a. esponenziale di parametro λ. In alternativa poiché la funzione g(x) ln(x) è invertibile con inversa g (x) e x, per calcolare la densità di Y possiamo applicare la Proposizione.6.5 pag 54 delle Dispense: f Y (y) f X (e y ) e y λ(e y ) λ e y y (g(), g(+ )) λe λy y (, + ) d) La durata delle batterie xxx ha distribuzione esponenziale di parametro /3. Dunque P (Y > ) P (Y > 5 Y > 3) + 3 e P (Y > 5, Y > 3) P (Y > 3) 3 x e P (Y > 5) P (Y > 3) e 3 5 e e E[Y ] λ 3 ; V ar(x) λ 9 4 L uguaglianza dei primi due risultati era prevedibile in base alla proprietà di assenza di memoria dell esponenziale: le batterie xxx non sono soggette a usura. Quanto al calcolo della varianza, abbiamo visto durante l esercitazione che E[Y ] /λ, da cui V ar(y ) /λ. Esercizio 5: [Ispirato all Esercizio, prima prova in itinere del 9//, corso di Statistica e Calcolo delle probabilità per Ingegneria Informatica] Il tempo di vita (in ore) di un certo componente elettronico è rappresentato dalla variabile aleatoria Y, che può essere espressa come Y e X, con X variabile aleatoria esponenziale di media /3. a) Calcolare la probabilità che il componente elettronico duri tra le e le 3 ore. b) Determinare media e varianza di X. c) Calcolare la probabilità che il componente elettronico, che ha funzionato per s ore, funzioni per altre t > ore, cioè calcolate P (Y > t + s Y > s). È preferibile il componente elettronico nuovo o usato? Confrontare il risultato con P (Y > t). d) Determinare l intensità di guasto λ Y di Y. 4

5 a) Innanzitutto osserviamo che X ha distribuzione esponenziale di parametro 3. Si chiede P ( < Y < 3) P (ln(3) < X < ln(4)) ln(4) ln(3) 3e 3x dx [ e 3x ] ln(4) ln(3) b) Osserviamo che E[Y ] E[e X ] e V ar(y ) V ar(e X ). Calcoliamo dunque + E[e X ] e x f X (x)dx e x 3e 3x dx 3 R + E[(e X ) ] E[e X ] e x f X (x)dx e x 3e 3x dx 3 Da cui R E[Y ] 3 V ar(y ) E[e X ] E [e X ] 3 4 c) Per la definizione di probabilità condizionata e per l assenza di memoria di X si ha: P (Y > t + s Y > s) P (e X > t + s e X > s) P (X > ln(t + s + ) X > ln(s + )) ( )) t + s + P (X > ln(t + s + ) ln(s + )) F X (ln s + { ( )} ( ) 3 ( ) 3 t + s + t + s + t exp 3ln s + s + s + + Analogamente si P (Y > t) (t + ) 3. Dato che P (Y > t + s Y > s) > P (Y > t), è preferibile il componente usato. Ora, d) Sia t >. Come già calcolato al punto precedente, F Y (t) P (Y > t) (t + ) 3 λ Y (t) d dt ln( F Y (t)) 3 d 3 ln(t + ) dt t + Notate che l intensità di guasto è strettamente decrescente, coerentemente con quanto trovato al punto precedente. Esercizio 6: Il tempo di vita, espresso in anni, di un certo tipo di batterie è una variabile aleatoria T con intensità di guasto pari a λ(t) 3 t3, per t >. a) Fornire l espressione della funzione di ripartizione e della densità di T. b) Calcolare la probabilità che una batteria funzioni più di anno. c) Sapendo che la batteria non si è consumata nei primi 3 anni, calcolare la probabilità che resista almeno un altro anno. 5

6 a) Sappiamo che, se F è la f.d.r. della T, si ha F (t) e t λ(s)ds. Basta calcolare t λ(s)ds t s 3 3 ds [ s 4 ] t t4, ottenendo F (t) ( e t4 )I (,+ ) (x). Inoltre la densità di T è f(t) t3 t4 e I 3 (,+ ) (x). Osservate che T è distribuita come una Weibull di parametri α /, β 4. b) Abbiamo P (T > ) F () e.9. c) Si ha P (T > 4 T > 3) P (T > 4) P (T > 3) e 44/ e 34 / La batteria è quindi soggetta a usura. Questo risultato era prevedibile, dati i parametri della Weibull (β > ). Esercizio 7: Un test per il QI produce punteggi con distribuzione normale di media e deviazione standard. a) Qual è la probabilità che una persona scelta a caso abbia QI inferiore a 95? b) Si scelgono a caso 5 persone, le cui intelligenze sono indipendenti le une dalle altre; qual è la probabilità che abbiano tutte QI inferiore a 95? c) Qual è la probabilità che, tra 5 persone scelte a caso, con intelligenze indipendenti le une dalle altre, ce ne sia almeno una il cui QI supera? d) Che intervallo di punteggi raggiunge l % della popolazione formato dalle persone più intelligenti? Sia X il punteggio del test che rileva il QI: X N(µ, ), dove µ e. Ricordate che si avrà Z : X µ N(, ). a) Vogliamo calcolare la probabilità p che il QI di una persona sia inferiore a 95: ( X p P (X < 95) P < 95 ) P (Z <.35) Per simmetria della funzione di densità di Z, se indichiamo con Φ la f.d.r. di Z, p P (Z <.35) P (Z >.35) Φ(.35) b) Sia ora Y la variabile aleatoria che conta il numero di persone, tra 5, con QI inferiore a 95: Y Bin(5, p). La probabilità richiesta è P (Y 5) p

7 c) Calcoliamo innanzitutto p P (X > ): p ( ) P Z > P (Z >.4) Φ(.4) Se W è il numero di persone, tra 5, con QI superiore a, abbiamo W Bin(5, p ) e la probabilità richiesta è P (W ) P (W ) ( p ) d) Si richiede k tale che P (X k).. Ora, ( P (X k) P Z > k ) ( ) k Φ Dunque P (X k). se e solo se Φ( k ).99. Dalle tavole della normale standard ricaviamo k.33, da cui k 33, 9. Esercizio 8: (Ispirato all esercizio del compito del 3/9/3 di Statistica e Calcolo delle probabilità per Ingegneria Informatica.) La resistenza alla deformazione per trazione di una vite di classe A è una variabile aleatoria normale di media 8 N e varianza 3. N ; quella di una vite di classe B è una variabile aleatoria normale di media 77 N e varianza 4. N. Una vite viene presa a caso da una scatola contenente il 4% di viti di classe A e il 6% di viti di classe B e sottoposta a trazione con un carico di 8 N. a) Calcolare la probabilità che la vite non si deformi per questo carico. b) Assumendo che la vite non si sia deformata con il carico di 8 N calcolare la probabilità che sia di classe B. c) Assumendo che la vite non si sia deformata con il carico di 8 N calcolare la probabilità che non si deformi aumentando il carico a 8 N. d) Consideriamo ora una terza classe di viti, C. Supponiamo che la resistenza X C alla deformazione per trazione delle viti C sia normalmente distribuita, di media 83. Determinate per quali valori di si ha che almeno il 75% delle viti C resistono a un carico di almeno 8 N. a) Abbiamo X A N(8, 3.), e X B N(77, 4.), dove X A e X B sono le resistenza alla deformazione delle viti di classe A e B rispettivamente. Siano A e B gli eventi A : la vite scelta è di classe A B : la vite scelta è di classe B 7

8 Sia inoltre X la variabile resistenza alla deformazione per trazione di una vite della scatola. Si ha Poiché le variabili X A 8 3. P (X > 8).4 P (X > 8) P (X > 8 A)P (A) + P (X > 8 B)P (B).4 P (X A > 8) +.6 P (X B > 8) e X B b) Con il teorema di Bayes sono normali standard, possiamo scrivere, [ ( )] [ ( )] 8 8 x 77 Φ +.6 Φ P (B X > 8) P (X > 8 B)P (B) P (X > 8) P (X B > 8)P (B) P (X > 8).7 c) Usando il risultato del punto precedente, calcoliamo P (X > 8 X > 8) P (X > 8) P (X > 8).4[ Φ( 3. )] +.6[ Φ( 4 4. )].4[ Φ()] +.6[ Φ( 3 4. )].537 d) Si chiede di determinare tale che ( ) 8 83 P (X C > 8).75 Φ.75 dal momento che X C 83 N(, ). Ricordando che per ogni x, vale Φ(x) Φ( x) per simmetria della gaussiana standard, abbiamo ( ) ( ) Φ.75 Φ.75 3 Φ (.75).6745 Ne segue che dev essere Esercizio 9: Il peso (in kg) degli uomini di 48 anni di una certa città può essere modellato come una variabile aleatoria gaussiana X. Sapendo che il.3% degli uomini pesa più di 7 kg e il 6.3% pesa meno di 58 kg, determinare media e varianza di X. Dai dati del problema: ( P (X > 7) P Z > 7 µ ) ( ) 7 µ Φ.3 ( P (X < 58) P Z < 58 µ ) ( ) 58 µ Φ.63. 8

9 Dalla prima ricaviamo Φ( 7 µ ).877; la seconda va rielaborata, dal momento che.63 non è un valore che si trovi sulle tavole della normale: ciò significa che 58 µ <. Dunque abbiamo.63 Φ( 58 µ tavole: ) Φ( µ 58 Φ( 7 µ Φ( µ 58 ), da cui Φ( µ 58 ).877 ).937 da cui, finalmente, µ e (4.46). 7 µ.6 µ ).937. Dunque, usando le Esercizio : (Ispirato all Esercizio, prima prova in itinere del corso di Statistica e Calcolo delle Probabilità per Ingegneria Informatica del 9// ) Da un urna contenente 4 palline rosse e bianche si fanno 3 estrazioni con reimmissione. Sia X il numero di palline rosse nelle prime due estrazioni, e Y il numero di palline bianche nelle ultime due. a) Calcolare la densità congiunta e le marginali di X e Y, e riconoscerle. b) Calcolare P ( X Y ) e P (X > Y ). c) Ripetere il punto a), nel caso in cui le estrazioni avvengano senza reimmissione. Esercizio : Si lanciano dadi regolari a 4 facce. Sia X il minore dei due risultati, Y il maggiore dei due. a) Calcolare la densità congiunta di (X, Y ) e le densità marginali. b) Calcolare la densità di W Y X e la sua funzione di ripartizione. Esercizio : La densità di probabilità congiunta di X e Y è data da ( ) c x + xy, < x <, < y < f(x, y) altrove a) Determinare c tale che f sia una densità congiunta valida. b) Calcolare le densità di probabilità di X e di Y. c) Calcolare P (X > Y ). 9