Matematica Applicata L-A Definizioni e teoremi

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1 Definizioni e teoremi Settembre - Dicembre 2008 Definizioni e teoremi di statistica tratte dalle lezioni del corso di Matematica Applicata L- A alla facoltà di Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni tenute dalla prof. Nibbi, raccolte da Francesco Conti

2 Probabilità Definizione 1 - Spazio campionario ed evento Lo spazio campionario di un esperimento è l insieme di ogni possibile risultato, un evento è un qualunque suo sottoinsieme. Definizione 2 - σ-algebra di eventi Chiamiamo σ-algebra di eventi χ una famiglia di eventi sottoinsieme dello spazio campionario S tale che (i), S χ (ii) A χ A χ (iii) A, B χ A + B χ Definizione 3 - Probabilità Sia S uno spazio campionario, χ una σ-algebra di eventi su S. Definiamo probabilità un applicazione P : χ R + che associa A P (A) (dove A χ) tale che (i) P (A) 0, A χ (ii) P (S) = 1 (iii) P ( A i ) = P (A i ) se A i A j =, i j. Definizione 4 - Spazio di probabilità Si definisce spazio di probabilità una terna (S, χ, P ) dove S è uno spazio campionario, χ una σ-algebra di eventi, P una probabilità. Teorema 1 - Proprietà della probabilità (i) P (A) = 1 P (A) (ii) P (A) P (B) (iii) P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) (iv) P (A + B) P (A) + P (B) (v) Disuguaglianza di Bonferroni: P (AB) P (A) + P (B) 1 Francesco Conti 1

3 Definizione 5 - Probabilità di eventi equiprobabili Se gli eventi elementari sono equiprobabili con probabilità p, sono n e l evento A ha cardinalità K, P (A) = K n Definizione 6 - Probabilità condizionata Sia (S, χ, P ) uno spazio di probabilità, A, B due eventi con P (B) > 0. Si definisce probabilità condizionata dell evento A dato B P (A B) = P (AB) P (B) Teorema 2 - Regola di moltiplicazione P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 ) P (A n A 1 A n 1 ) Teorema 3 - Teorema della probabilità totale Sia (S, χ, P ) uno spazio di probabilità e {A i } una partizione nello spazio campionario S con P (A i ) > 0, i. Allora per ogni evento B, P (B) = i P (B A i )P (A i ) Dimostrazione. Infatti B = BS = B( i A i) = i BA i con (BA i )(BA j ) = i j. Dunque P (B) = P ( BA i ) = P (B A i )P (A i ) per la regola di moltiplicazione. Teorema 4 - Formula di Bayes Siano A, B eventi con P (A) > 0, P (B) > 0. Allora P (A B) = P (B A)P (A) P (A) Teorema 5 - Teorema di Bayes Sia (S, χ, P ) uno spazio di probabilità e {A i } una partizione dello spazio campionario S con P (A i ) > 0, i. Allora, per ogni evento B con P (B) > 0, P (A k B) = P (B A k)p (A k ) i P (B A i)p (A i ) Francesco Conti 2

4 Dimostrazione. Infatti per la formula di Bayes e per il teorema della probabilità totale (rispettivamente) P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) = P (B A k)p (A k ) P (B Ai )P (A i ) Definizione 7 - Eventi indipendenti Siano A, B due eventi. A e B si dicono indipendenti se P (AB) = P (A)P (B) Francesco Conti 3

5 Variabili aleatorie Definizione 8 - Variabile aleatoria Sia (S, χ, P ) uno spazio di probabilità, s S. Diciamo variabile aleatoria un applicazione X : S R, X : s X(s) R, tale che x R, {s S : X(s) x} χ. Se lo spazio campionario è discreto, ogni applicazione è una variabile aleatoria. Definizione 9 - Funzione di probabilità discreta { P ({X x P X (x) = k } k = 1,..., n Definizione 10 - Funzione di distribuzione o di ripartizione F X (x) = P ({X x}) Teorema 6 - Proprietà della funzione di distribuzione 0 F X (x) 1 x 1 < x 2 F X (x 1 ) F X (x 2 ) P ({X > x}) = 1 F X (x) P ({a < X b}) = F X (b) F X (a) lim F X(x) = 0 x lim F X(x) = 1 x + F (x) è continua a destra P ({X = x}) = F X ( x) F X ( x ) Definizione 11 - Funzione di densità + x f X 0 f X (t) dt = 1 f X (t) dt = F X (x) Francesco Conti 4

6 Teorema 7 - Proprietà della funzione di densità F X(x) = f X (x) Definizione 12 - Media o speranza matematica E[X] = i x i P X (x i ) (caso discreto) E[X] = + xf X (x) dx (caso continuo) Teorema 8 - Proprietà dell operatore media E[aX + B] = ae[x] + b E[λ 1 g 1 (X) + λ 2 g 2 (X)] = λ 1 E[g 1 (X)] + λ 2 E[g 2 (X)] g(x) 0 E[g(X)] 0 h(x) g(x) E[h(X)] E[g(X)] Definizione 13 - Varianza Var(X) = E[(X E[X]) 2 ] Var(X) = i (x i E[X]) 2 P X (x i ) (caso discreto) Var(X) = + (x E[X]) 2 f X (x) dx (caso discreto) Teorema 9 - Definizione alternativa di varianza Var(X) = E[X 2 ] E[X] 2 Teorema 10 - Disuguaglianza di Chebyshev ({ P X E[X] }) η Var(X) η 2, η > 0 ({ X }) P E[X] < η 1 Var(X) η 2, η > 0 Francesco Conti 5

7 Teorema 11 - Proprietà della varianza Var(aX + b) = a 2 Var(X) Teorema 12 - Disuguaglianza di Markov ({ }) P X η E[X] η, η > 0 Definizione 14 - Distribuzione binomiale X B(n, p) Modello di un esperimento con n prove indipendenti di probabilità p con lo schema successo - insuccesso. ( ) n p k (1 p) n k k = 0, 1,... p X (k) = k E[X] = np Var(X) = np(1 p) Definizione 15 - Distribuzione di Poisson X Poiss(λ) Approssimazione della binomiale per n grande e p piccolo. λ λk e k = 0, 1,... p X (k) = k! E[X] = λ Var(X) = λ È una buona approssimazione quando n 20 e p 0, 05, oppure n 100 e np 10. Definizione 16 - Distribuzione binomiale negativa X Bneg(p, l) Modello di esperimenti indipendenti con schema successo/insuccesso e probabilità p; la v.a. indica il numero di prove per ottenere l successi ( ) k 1 p l (1 p) k l k > l p X (k) = l 1 Francesco Conti 6

8 Definizione 17 - Distribuzione ipergeometrica X Ig(N, L, n) Modello successo-insuccesso con n prove su N elementi senza reimmissione, L è il numero di elementi con successo. ( L N L ) K)( n k ( p X (k) = N 0 k L, 0 n k N L n) E[X] = n L N = np Definizione 18 - Distribuzione uniforme X U(a, b) 1 a x b f X (x) = b a E[X] = a + b 2 (b a)2 Var(X) = 12 0 x < a x a F X (x) = a x b b a 1 x < b Definizione 19 - Distribuzione esponenziale X Exp(λ) { λe λx x > 0 f X (x) = 0 x 0 E[X] = 1 λ F X (x) = Var(X) = 1 λ 2 { 1 e λx x > 0 0 x 0 Se e solo se X è esponenziale, gode della proprietà di assenza di memoria: P (X > t + s X > t) = P (X > s) Francesco Conti 7

9 Definizione 20 - Distribuzione normale X N(µ, σ 2 ) f X (x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ E[X] = µ Var(X) = σ 2 F X (x) = x Φ (x) = 1 2π x 1 e (y µ)2 2σ 2 dy 2πσ e y2 2 F X (x) = Φ ( x µ σ ) dy Teorema 13 - Teorema di De Moivre - Laplace Per n +, ( ) P (X x) Φ x np np(1 p) È una buona approssimazione per np(1 p) 10 o np 5 e n(1 p) 5. Definizione 21 - Distribuzione log-normale X LogN(λ, ξ) (log x λ) f X (x) = 2πξ x e 2ξ 2 x > 0 0 x 0 E[X] = e ξ2 +2λ 2 Var(X) = e 2λ+ξ2 (e ξ2 1) Francesco Conti 8