Vedi: Probabilità e cenni di statistica

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1 Vedi: Probabilità e cenni di statistica

2 Funzione di distribuzione discreta

3 Istogrammi e normalizzazione

4 Distribuzioni continue Nel caso continuo la probabilità può essere definita solo considerando un intervallo di valori della misura o dell evento evento Definisco f densità di probabilità fd : probabilità di trovare valore d p obab à d o a e a o e nell intervallo, +d

5 Definizioni 1/ 1/ f d 1/ f d f d 1 f d d

6 Definizione di valore di aspettazione d f g g Valore di aspettazione Definizione di valore di aspettazione per g d f g g d f g Il valor medio è il valore di aspettazione di per g La varianza è il valore di aspettazione di - Definizione di varianza σ d f g h Si Dimostrazione : ha : Si σ σ + cvd σ c.v.d.

7 Tschebyscheff

8 Conseguenze di Tschebyscheff Nelle misure di grandezze fisiche con errore casuale: media, varianza, etc, ricavate dal campione approssimano con la propria incertezza! le grandezze vere della misura, cioè queste grandezze sono buoni estimatori della parent distribution In soldoni: immagino che ogni variabile aleatoria casuale sia distribuita secondo una certa distribuzione ib i di probabilità o densità di probabilità nel caso continuo, che si chiama parent distribution per ricostruire la parent distribution avrei bisogno di infinite prove o misure sull evento casuale un numero finito it ma grande! di prove fornisce un campione che è rappresentativo della parent distribution postulo che valore medio, varianza, etc. della distribuzione del campione approssimino quelle della parent distribution tanto meglio quanto più grande è il campione

9 Distribuzione binomiale n k nk B n, k p q k n n! con : k n k! k!

10 sempio di binomiale La binomiale descrive bene lancio di dadi, testa o croce, successo/insuccesso, etc., quando le probabilità sono non trascurabili nellabinomialeil valoreattesomedia è np Bn,k k

11 Distribuzione di Poisson k p k e k! con npq np dato che q 1 p 1 per p << 1

12 Proprietà Poisson k p k e k! Probabilità che si verifichi l evento k su un totale di n p/ prove La Poissoniana deriva da binomiale per p<<1, n>>1, cioè ho molti eventi con successo molto basso distribuzione degli eventi rari La deviazione standard è pari alla radice della media aumenta in modo sublineare con l aumento del numero di misure, e quindi di np

13 Funzione Gaussiana G 1 σ σ e π

14 Distribuzione di Gauss Distribuzione di Gauss si ottiene formalmente: da binomiale, per n e p costante da Poisson, per molto grande In pratica: Gauss vale quando si fanno moltissime prove e la probabilità è molto bassa La distribuzione di Gauss è continua! Nota anche come distribuzione normale di variabili casuali Rappresenta la parent distribution nel caso di misure affette da errori di origine casuale

15 Integrale della Gaussiana standard Le tavole danno il valore dell integrale della funzione di Gauss standard con 0, σ 1 Servono per determinare la probabilità P0 a

16 Uso delle tavole

17 sempi sulla distribuzione Gaussiana

18 Distribuzione del chi-quadro Definizione χ a n gradi di χ n i 1 i con i libertà : variabili Gaussiane standard p n, C n n e C n 1 n / Γ n / Funzione Gamma nota numericamente pn, n1 n n3 n4 n5 n e σ n

19 stono delle tabelle che dicono l è il valore γ di S tale che la L'int egrale babilità sia p per un dato valore n γ : pn, S γ p C e d 0 n si trova calcolato numericamente in tabelle Tavola del chi-quadro Comunemente le tabelle del chi-quadro danno, per un certo valore di n gradi di libertà e per un certo valore del χ, la probabilità che si possano ottenere valori minori o maggiori, a seconda della tabella usata! di quello determinato sempio: Supponiamo n 9e supponiamo di calcolare, sulle nostre variabili aleatorie, χ 4. Sulle tabelle corrispondenti alla riga n 9 si vede che χ 4.17 simile al nostro valore corrisponde a un livello di probabilità o di confidenza di 0.90, cioè del 90%. Significa che, ripetendo la prova, cioè usando un altro set di variabili aleatorie, nel 90% dei casi avrei un valore di χ maggiore di Dunque possiamo concludere che il χ calcolato sulle nostre variabili aleatorie ha un livello di probabilità del 90%.